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Anche senza andare nei dettagli troppo teorici, penso risulti comprensibile abbastanza facilmente, sempre che si semplifichino leggermente le cose. Cercherò di spiegarlo raccontando una specie di novella …

Prefazione

Cari amici, ho letto con interesse l’articolo dell’anno scorso sulla relatività ristretta ed ho notato qualche inesattezza nelle risposte e nei tentativi di spiegazione. Nessuno si senta però imbarazzato. Molti ricercatori hanno spesso dato interpretazioni diverse e spesso non del tutto corrette. L’argomento è davvero molto ostico e si presta a differenti modi di analisi. Lungi da me però cercare di descrivere in queste pagine i concetti base e le ripercussioni delle teorie di Einstein. Sarebbe troppo ambizioso e pesante e sicuramente non ne sarei nemmeno capace.

Tuttavia, per cercare di far capire in modo semplice ed abbastanza intuitivo la differenza tra relatività ristretta (la prima formulata) e relatività generale (la sua estensione) può essere molto interessante affrontare il celebre, e spesso non compreso, paradosso dei gemelli. Attraverso esso capiremo anche qualcosa sui sistemi di riferimento e sui concetti dello spazio-tempo. Ma soprattutto vedremo che quello che sembra un paradosso nella relatività ristretta non lo è più nella relatività generale. Inoltre prenderemo un po’ di dimestichezza con il diagramma di Minkowski (non spaventatevi!), che ci permetterà in un articolo futuro di affrontare adeguatamente i viaggi nel tempo attraverso i buchi neri.

Due gemelli molto diversi

Carlo e Gianni sono due fratelli gemelli. Ma i loro interessi sono molto diversi. Carlo è un sedentario e non ama viaggiare. Fosse per lui se ne starebbe sempre a casa a lavorare sul computer. Conosce bene la fisica, ma non vuole certo mettere in pratica le sue grandi possibilità. Gianni, invece, è un uomo d’azione. Forse meno preparato scientificamente, ha però una forte dote di coraggio ed una sete di avventura senza limiti.

Appena la tecnologia spaziale riesce finalmente a permetterlo, ecco che si candida ad essere il primo viaggiatore interstellare. Non si pone nessun problema e non ha alcuna paura ad essere un pioniere, accettando tutti i rischi del caso. Carlo accompagna Gianni allo spazioporto e gli augura buona fortuna, senza però nessuna invidia. Lui è ben contento di restare con i piedi ben fermi sulla Terra. Gianni invece non vede l’ora di partire. La sua avventura lo porterà su una stella che dista 10 anni luce di distanza e viaggerà alla non trascurabile velocità di 200.000 chilometri al secondo, una bella frazione della velocità della luce (2/3).

Carlo, come già detto, è un ottimo scienziato e ha già calcolato esattamente che a quella velocità il fratello impiegherà 15 anni a raggiungere la meta ed altrettanti a tornare. Un tempo piuttosto lungo, ma spera ardentemente di essere ancora in vita per riabbracciarlo: in fondo hanno solo 20 anni! arriva finalmente il momento della partenza tanto atteso. L’astronave si lancia nello spazio e Gianni ammira sempre più emozionato tutte le meraviglie che lo circondano attraverso l’enorme oblò di bordo.

Sopra: Carlo che rimane sulla Terra calcola il tempo che dovrà aspettare per rivedere il fratello Gianni che parte con l’astronave

Il Viaggio

All’interno dell’astronave ci sono tutte le comodità del caso ed il soggiorno è in fondo estremamente piacevole, malgrado la solitudine. Ma quella è un peso che deve sopportare per poter vivere una simile avventura. Chissà cosa si era immaginato il nostro Gianni: pensava di subire forze strane o di vedere cose assurde andando a quella velocità. Invece niente, gli sembra di essere nel salotto di casa davanti alla televisione. Anche l’orologio che domina la parete sembra andare normalmente. Avevano cercato di spiegargli tante teorie difficili, ma a lui ora sembra tutto talmente normale da esserne quasi annoiato. L’unica cosa che nota con sicurezza è che la Terra si allontana ad una velocità spaventosa. A lui sembra di essere fermo, mentre il pianeta viaggia sicuramente ad almeno 200.000 chilometri al secondo.

Passa molto tempo, ma finalmente ecco che l’oblò si riempie della infuocata immagine della stella, meta della sua “gita”. Deve stare attento adesso a non passare troppo vicino. Comincia infatti a fare un po’ caldo. Poche sapienti correzioni di rotta e l’astronave compie un largo giro intorno all’astro e si rimette in direzione del Sistema Solare. Si torna a casa. In fondo anche per un avventuriero come lui è diventato adesso un magnifico pensiero. Bisogna però fare passare il tempo (il paesaggio è lo stesso dell’andata). Malgrado non sia un vero esperto, si mette a fare un po’ di conti e cerca di applicare quella formuletta che il fratello gli aveva mostrato e spiegato varie volte prima della partenza. In fondo non è difficile, anche se a lui sembra un po’ assurda:

Gianni gli aveva detto che t₀ è il tempo di chi sta fermo, v è la velocità a cui sta viaggiando uno che si muove e c è la velocità della luce. Applicando la formula si ricava il tempo relativo a chi è in movimento. In altre parole si trova che andando sempre più veloce il tempo rallenta. Infatti se uno sta fermo, v = 0, la radice quadrata di 1 è sempre 1 e quindi t = t₀. Banale! Se invece si andasse alla velocità della luce, v sarebbe proprio c (circa 300000 chilometri al secondo) e dentro la radice quadrata si avrebbe 1-1, ossia 0. Ma t₀ ∙ 0 = 0. Ossia t = 0. Il tempo si fermerebbe … Accidenti!!

Tuttavia Gianni si sente così “normale” dentro l’astronave che pensa di applicare la formula a suo fratello che è rimasto sulla Terra. Ha visto perfettamente con i suoi occhi che la Terra viaggiava ad una velocità spaventosa, gli sembra di ricordare a circa 200.000 chilometri al secondo. Inserisce quindi questo valore nella formula e trova facilmente che t = 11 anni per l’andata e lo stesso valore per il ritorno. Ossia il tempo passato per suo fratello sulla Terra dovrebbe essere stato di 22 anni quando tornerà a casa. Quindi Carlo avrà 20 + 22 = 42 anni quando lo riabbraccerà.

E lui ? Si ricorda perfettamente cosa gli aveva detto il fratello prima della partenza. Per andare e tornare ci vogliono 30 anni, 15 per l’andata e 15 per il ritorno. La stella dista 10 anni luce e per arrivare ci vogliono proprio 15 anni (il calcolo è banale se si sa che si viaggia a 2/3 della velocità dalla luce). Porca miseria, allora avrà 20 + 30 = 50 anni e sarà più vecchio di quel pigro di Carlo. Non è giusto!! Eppure questo è quello che viene fuori dai calcoli. Ovviamente sta facendo un grande errore perché pensa di essere fermo, mentre in realtà viaggia a grande velocità. Ma ha anche ragione a dire che è la Terra che viaggia a 200.000 chilometri al secondo. Accidenti che pasticcio e che confusione. Non resta che aspettare e saprà tutto al suo ritorno.

Sopra:il ragionamento di Gianni. Lui si sente fermo, mentre è la Terra (e quindi Carlo) ad andare a 200.000km/sec. Ed ha ragione…

Il ritorno

Finalmente a casa! Che avventura, ma che noia anche! Tanti anni da solo, a pensare e pensare, ed alla fine fare soltanto un mucchio di confusione. Gianni scende dalla scaletta dell’astronave e vede tra la folla la ben nota figura del fratello che gli viene incontro. Si, è proprio lui, Carlo. Gli anni sono sicuramente passati anche per lui. Se lo aspettava più giovane … Forse perché ha già i capelli quasi completamente bianchi? Oppure per quelle rughe che gli solcano il viso? Dovrebbe avere soltanto 42 anni e invece ne dimostra almeno 50, come lui, anzi sembra più vecchio.

Carlo lo abbraccia ed esclama: “come sei in forma caro Gianni. D’altra parte hai solo 42 anni, otto in meno di un “vecchietto” come me, che ha appena superato i fatidici 50!” Per Gianni è il caos completo e lo dice subito al fratello: “sei tu che dovresti essere il più giovane. Ho fatto i calcoli sull’astronave! Proprio quelli che mi avevi spiegato tu”. Carlo sorride e gli risponde: “guarda che eri tu che andavi a grande velocità nello spazio, non io, e quindi sei tu che sei più giovane. Per me sono passati 30 anni, ma per te che viaggiavi a 200.000 chilometri al secondo soltanto 22!!”. Gianni non demorde: “sarà quel che sarà. Ma ti ho visto io con questi occhi viaggiare con la Terra alla stessa velocità. Non lo puoi negare”. Carlo sembra imbarazzato e comincia a pensare.

Qualcosa non torna nemmeno a lui. In fondo il fratello ha ragione: nel suo sistema di riferimento era la Terra a viaggiare. Ma anche il suo ragionamento è giusto. Tutti possono confermare, anche lo stesso Gianni, che l’astronave ha veramente raggiunto la stella così lontana e per farlo doveva per forza andare a quella enorme velocità. Balbetta qualcosa e poi è costretto ad ammettere ad alta voce: ”abbiamo ragione tutti e due, accidenti! Ma allora perché sono io il più vecchio? Questo è un vero PARADOSSO!!”. Infatti il paradosso non sta nel fatto che uno possa essere più giovane dell’altro (come molti pensano), ma nel fatto che entrambi sembrano aver ragione mentre invece la verità è una sola!

Quale sarà?