Dentro le fauci del mostro

Ultimamente ho cercato di trattare molto argomenti astrofisici in modo estremamente elementare per cercare di trasmettere al maggior numero di persone una -seppur pallida- immagine di quanto sia bello, affascinante, misterioso, armonioso e -in fondo- semplice, l’Universo che ci circonda. Sono iniziate piccole “lezioni” per i meno esperti. Per fare un paragone con le piste da sci, argomenti “azzurri”, facili, anche se comunque il più possibile esaustivi.

Ogni tanto è capitato, però, qualche articolo “rosso”, dove magari erano necessarie poche conoscenze in più. Le domande e i commenti ricevuti mi hanno fatto immediatamente capire che non solo gli argomenti erano stati perfettamente digeriti, ma che molti lettori erano già più avanti e ben pronti ad affrontare qualcosa di più impegnativo. Potevo non provare a fornirvelo? E così eccomi qua con un argomento abbastanza ostico (anche per me, siatene certi) che volevo discutere con voi e vedere se era possibile descriverlo e cercare di farlo comprendere senza l’utilizzo di formule. Una descrizione puramente matematica e astratta senza formule? Ma sì, proviamoci. Al limite mi manderete al diavolo e mi farete rinsavire. Insomma, una pista “nera”, magari non per tutti, ma chissà… I lettori di “astronomia.com” sono speciali!

Basta con le parole e veniamo al dunque. Vi ricordate che qualche tempo fa avevo descritto un viaggio verso un buco nero? Eravamo arrivati al bordo, all’orizzonte degli eventi, ma non eravamo entrati nelle “fauci del mostro”. Non me ne ero dimenticato… ma, non è facile descrivere cosa capita all’interno di una zona dove le leggi fisiche giungono ai loro limiti: massa infinita, tempo che si ferma, spostamenti infiniti verso il rosso, buchi bianchi, e mille altri concetti quasi assurdi da recepire e comprendere. Potevo descriverli un po’ tutti insieme, condendoli di qualche immagine fantasiosa e più o meno me la sarei cavata. Ma non sarei stato soddisfatto. Mi sarebbe sembrato di essere sleale con voi.

Ciò che si “vede” all’interno dell’orizzonte degli eventi, non può essere descritto attraverso gli effetti a cui siamo abituati quotidianamente e che -pur se con difficoltà- possiamo ancora usare per altri fenomeni celesti di immane energia. L’interno di un buco nero è un altro Universo, dove spazio e tempo perdono il significato che conosciamo normalmente. Dovremmo cambiare i nostri occhi e tutte le sensazioni per descrivere la fenomenologia che avviene.

Potrei dirvi che la forza di marea causa la “spaghettificazione” delle cose, allungando la materia in una sola direzione, quella che termina inesorabilmente nella singolarità finale. Oppure che è necessario un terzo occhio per vedere. O ancora che la curvatura dello spazio-tempo diventa infinita. E che dire dello sdoppiamento dell’orizzonte? Parole di effetto, ma con poco riscontro razionale. Ho preferito, allora, prendere il “toro per le corna” e descrivere cosa sia in realtà un buco nero nell’insieme generale dello spazio-tempo, rappresentandolo graficamente in un diagramma bidimensionale, perfettamente logico e preciso, in cui un concetto aleatorio e intangibile come l’infinito sia “facilmente” e concretamente rappresentabile.

Il merito non è certo mio. Il merito è di Roger Penrose, fisico matematico britannico nato nel 1931. Partendo dalla straordinaria rappresentazione dello spazio-tempo di Minkowski e del suo cono di luce, egli è andato oltre e con un po’ di lucide e “azzeccate” trasformazioni di coordinate ha rappresentato in un singolo quadrato tutto l’Universo e non solo…

Quello che ho cercato di fare io è stato soltanto tentare di spiegarvelo senza l’uso di alcuna formula. Costruendo un po’ alla volta il digramma, con un piccolo sforzo di visione astratta e di sintesi, dando -ovviamente- per scontata la validità delle trasformazioni matematiche di Penrose (di lui possiamo fidarci, ve lo assicuro!), arriveremo a descrivere situazioni altrimenti quasi incomprensibili.

E’ necessario un chiarimento, prima di partire per questo fantastico viaggio all’interno di un buco nero e anche oltre: il diagramma di Penrose NON rappresenta gli effetti visibili o quantomeno descrivibili dell’Universo, ma le cause che li generano, collegandole tra loro. Capiremo meglio questo concetto a mano a mano che la spiegazione andrà avanti.

Per iniziare, dobbiamo riprendere un concetto già ben noto, ma fondamentale: il cono di luce. Non fa mai male richiamarlo…

Per cono ci luce intendiamo il possibile passato e futuro di un dato evento. Per rappresentarlo su un foglio bidimensionale dobbiamo immaginare che lo spazio sia l’asse delle ascisse (una sola dimensione invece di tre) e che il tempo sia l’asse delle ordinate che può scorrere solo in un senso, verso l’alto, ossia verso il futuro. Il cono di luce è l’insieme di tutte le possibili posizioni che un certo evento (o se preferite, un certo oggetto) potrà assumere nel suo futuro e che avrebbe potuto assumere nel suo passato. Il vertice del cono rappresenta l’evento al tempo presente e nella posizione attuale. Ovviamente la sezione del cono con il piano del foglio dà luogo a due rette che si incrociano nel vertice e che si protendono verso l’infinito futuro e quello passato (attenzione: questo è uno dei punti limitativi del suddetto cono, la non quantificazione grafica dell’infinito).

I bordi del cono (ossia le due rette della figura) sono inclinate di 45° e rappresentano il limite invalicabile per un corpo in movimento, ossia le traiettorie descritte dalla luce. In altre parole, qualsiasi posizione futura (o passata) di un oggetto o di un evento non potrà andare al di là di tali linee, perché per poterlo fare dovrebbe superare la velocità della luce. Tutto ciò è rappresentato in Fig. 1.

Figura 1. Il cono di luce

Lo spazio-tempo di Minkowski è proprio quello in cui la Fig. 1 ha descritto il cono di luce. La sua visione più generale è rappresentata dalla Fig. 2, dove abbiamo inserito i coni di luce di due eventi. Le rette verticali e orizzontali (parallele agli assi del tempo e dello spazio) definiscono la linea in cui lo spazio r rimane costante (l’oggetto non si muove) e quella in cui è riportata la posizione allo stesso tempo t di tutti gli oggetti dello spazio. Le rette rosse a 45° sono le traiettorie della luce che parte (o che arriva) dall’oggetto-evento.

Figura 2. Lo spazio-tempo di Minkowski

Nello spazio-tempo di Minkowski e con il cono di luce si riescono a spiegare moltissimi effetti del Cosmo e li abbiamo già usato per dimostrare che il Big Bang si vedrebbe dappertutto, per descrivere correttamente l’espansione dell’Universo e per un ipotetico viaggio verso il passato.

Può anche permetterci di descrivere un buco nero, ma avrebbe delle forti limitazioni o quanto meno non potrebbe spiegare e visualizzare “tutto”. Usiamolo, comunque, come “aperitivo” per renderci conto molto meglio della genialità del diagramma di Penrose. Nello spazio-tempo di Minkowski, un buco nero può essere identificato da due linee verticali parallele che rappresentano l’orizzonte degli eventi e che hanno al loro interno la linea che rappresenta la singolarità vera e propria, il buco nero teorico (altro non è che la sezione di un cilindro con il piano del foglio). L’orizzonte degli eventi e la singolarità centrale non si muovono nello spazio e quindi danno appunto luogo a rette verticali (Fig. 3).

Figura 3. I dintorni di un buco nero nello spazio-tempo di Minkowski

Un oggetto che gli si avvicina vede deformare e piegarsi il suo cono di luce in quanto anche la luce viene deviata dalla curvatura dello spazio-tempo. Giunti all’orizzonte degli eventi il cono di luce ha il lato sinistro del futuro (e il destro del passato) coincidenti con la linea dell’orizzonte. In tali condizioni, anche la luce non può più uscire verso l’esterno. Superato questo limite di “non-ritorno” la deformazione aumenta ancora di più e il cono di luce tende ad appiattirsi nella sua inesorabile caduta verso la singolarità. Bellissima rappresentazione, senza dubbio, ma dov’è la possibile uscita o -se preferite- il buco bianco? E dov’è il “buco del verme” (wormhole) che potrebbe permettere il passaggio verso un universo parallelo? E dove è situato questo universo parallelo? E quali sono le “cause” dello sdoppiamento dell’orizzonte? Ecc., ecc. La rappresentazione precedente non riesce a visualizzare questa serie di fenomeni o -meglio- le cause che potrebbero crearli. Il diagramma di Penrose ci riesce con pochi tratti e con un piccolo sforzo di concentrazione.

E’ ora di passare ai fatti. Iniziamo dallo spazio-tempo precedente e dalla retta orizzontale che rappresenta lo spazio a una sola dimensione. Essa, ovviamente, è infinita sia verso destra che verso sinistra. Invece noi la trasformiamo in un segmento e gli estremi di questo li identifichiamo come i punti all’infinito dello spazio (Fig. 4). Bastano poche trasformazioni matematiche di coordinate. L’effetto più “visibile” di questa operazione è che le linee del passato e del futuro descrivibili nello spazio ad un tempo t, saranno delle curve e non più rette orizzontali parallele come nello spazio-tempo di Minkowski. In altre parole è come se “stringessimo” lo spazio, rappresentando concretamente i suoi punti all’infinito e facendo convergere le rette parallele proprio verso questi punti.

Un’analoga operazione possiamo effettuarla per l’asso del tempo. In questo caso le linee descritte da un corpo fermo nello spazio, saranno curve che terminano nei punti all’infinito del passato e del futuro.

Figura 4. La costruzione del diagramma di Penrose

A questo punto possiamo tranquillamente collegare tra loro i punti all’infinito e ottenere un quadrato. I lati del quadrato, dato che uniscono punti all’infinito, sono anch’essi situati all’infinito e rappresentano l’infinito dello spazio-tempo (Fig. 5).

Figura 5. Lo spazio-tempo nel diagramma di Penrose

Ancora più interessante è però il fatto che in questo tipo di diagramma i coni di luce NON si deformano e restano sempre gli stessi. Le traiettorie della luce (a 45° rispetto agli assi del tempo e dello spazio) terminano proprio lungo i lati del quadrato. Questi, allora, possono anche essere considerati come l’infinito passato e futuro della luce (Fig. 6).

Figura 6. Il diagramma di Penrose e le traiettorie della luce

Attenzione adesso…

Consideriamo, ad esempio, l’infinito futuro (sinistro) della luce (il lato in alto a sinistra del quadrato). Esso è il luogo dove terminano i raggi di luce di qualsiasi oggetto. Non è difficile, allora, dedurre che rappresenta proprio l’orizzonte degli eventi di un buco nero. La sua definizione, in fondo, è proprio quella e la trasformazione di Penrose lo dimostra perfettamente. Al di là dell’orizzonte dovrà esserci il buco nero, ma… aspettiamo ancora un attimo.

Lasciatemi fare un paio di ipotesi importantissime. Innanzitutto, il buco nero che andiamo a studiare è un’entità “eterna”, che esiste da sempre e che non si è formata per collasso stellare. Un caso ideale, insomma. Inoltre, esso non ha rotazione, ossia rappresenta quello che si chiama buco nero statico o di Schwarzschild. E’ la rappresentazione più semplice. Se si aggiunge la rotazione diventa un buco nero di Kerr. Se, infine si assume che sia statico, ma con carica elettrica, prende il nome di buco nero di Reissner-Nordstrøm. In questo articolo consideriamo solo il caso più semplice (anche se meno realistico). Non è detto, però, che non si possa andare oltre…

Immaginiamo di avvicinarci all’orizzonte degli eventi lungo la traiettoria verde della Fig. 7. Non dobbiamo deformare niente, in quanto sappiamo bene che il diagramma di Penrose lascia immutati i coni di luce. Riusciamo a vedere l’orizzonte degli eventi? Intuitivamente diremmo forse di sì. E’ lì davanti a noi con tutta la materia che vi sta precipitando. Se non lo vediamo praticamente ne intuiamo, comunque, la posizione. Ebbene NO. Niente di più sbagliato. Noi non possiamo vedere l’orizzonte degli eventi, perché la sua luce non può assolutamente raggiungerci. Per farlo dovrebbe muoversi verso il passato, ma sappiamo bene che il tempo viaggia solo verso il futuro.

Figura 7. L’orizzonte degli eventi e la sua controfigura

Ma, allora, cos’è che vediamo? Vediamo un orizzonte degli eventi immaginario che diventerà, però, estremamente interessante tra poco. E’ una specie di illusione ottica: noi pensiamo di vedere il lato sinistro in alto del quadrato e invece ciò che vediamo è il lato sinistro in basso, quello che rappresenta l’infinito passato della luce. In realtà è ovvio: solo lui può averci inviato la luce che ci sta raggiungendo. Esso, proprio perché è quello che si rende visibile e che ci inganna sulla reale posizione dell’orizzonte degli eventi, prende il nome di antiorizzonte.

E’ ora di andare al di là dell’orizzonte degli eventi, ben sapendo che qualsiasi via di fuga ci è ormai preclusa. La voglia di conoscere è tale da farci superare il limite dell’infinito. Il diagramma di Penrose non ha problemi e ci svela cosa si nasconde al di là dell’orizzonte. Il quadrato si amplia, mostrandoci un triangolo grigio, il buco nero vero e proprio (Fig. 8).

Figura 8. Nel diagramma di Penrose appare il buco nero

Esso viene facilmente costruito allungando l’antiorizzonte fino alla singolarità. Quest’ultima è descritta da una linea, posta all’infinito del tempo, che rappresenta, però, il luogo in cui r = 0. Vi sembra assurdo? Una linea orizzontale dovrebbe descrivere lo spazio e invece ha le caratteristiche della linea del tempo. Ci ricordiamo benissimo che r = 0, nello spazio-tempo precedente, altri non era che l’asse del tempo. Se Penrose non ha sbagliato a scrivere (e non l’ha fatto di certo!), questo può voler dire soltanto che spazio e tempo si sono scambiati il ruolo. In realtà è anche “logico”. Oltrepassato l’orizzonte degli eventi è lo spazio che diventa unidirezionale (come prima era il tempo), trascinandoci nell’unica direzione possibile, la singolarità.

A mano a mano che cadiamo verso di lei attraversiamo curve con r = cost., ribaltate di 90° rispetto alla posizione che avevano nello spazio-tempo esterno. Per capire meglio (spero), immaginiamo di essere un pesce che si muova alla velocità della luce e che tenti di risalire la corrente di una cascata. Al di fuori dell’orizzonte degli eventi la gravità che lo trascina verso il buco nero può essere controbilanciata in quanto la velocità di caduta dell’acqua è inferiore alla velocità del pesce. Sull’orizzonte degli eventi le due velocità si equivalgono e il pesce resta immobile (ed è cosi che un osservatore esterno lo vedrebbe per sempre). Una volta superato questo limite, però, per quanto sforzo faccia, il pesce viene trascinato verso il basso, precipitando in una caduta senza possibilità di spostamento se non lungo la verticale. La velocità dello spazio (ossia dell’acqua) ha superato la velocità della luce (ossia del pesce) e lo spazio diventa direzione obbligatoria, trascinando tutto con sé, come nello spazio-tempo esterno faceva il tempo. E’ lo spazio che scorre ineluttabilmente e non più il tempo. In altre parole, potremmo dire che la curvatura dello spazio-tempo è diventata infinita.

In questa irrefrenabile caduta, molte altre cose avvengono. Improvvisamente, ad esempio, si riesce a scorgere l’orizzonte degli eventi. Quello reale, però. La sua luce può adesso raggiungerci mentre cadiamo, anch’essa costretta a cadere verso la singolarità. Ci accorgeremmo di vedere doppio (sempre che ci riuscissimo, ovviamente): vedremmo l’orizzonte sdoppiarsi, in quanto oltre quello reale continuerebbe a essere visibile anche l’antiorizzonte.

Il viaggio si è concluso? In questo caso particolare (buco nero statico) il nostro destino è segnato. Il diagramma di Penrose può, però, mostrarci molto di più e magari darci una speranza. La figura, infatti, può ancora svilupparsi. Ne vedremo delle belle!

Non è certo difficile prolungare qualche linea e ripetere le considerazioni precedenti. Quello che otterremmo è la Fig. 9. Simmetricamente al triangolo del buco nero si può facilmente costruire un triangolo uguale e opposto. Anch’esso contiene una singolarità, ma essa ha una caratteristica inversa: da lei si può solo scappare (la direzione della cascata è invertita). Un oggetto posto al suo interno verrebbe espulso verso il nostro Universo attraverso l’antiorizzonte. Insomma, altri non è che un buco bianco.

Figura 9. Buco bianco e Univero parallelo. Purtroppo, senza vie di “transito”

Non solo però… Si può anche costruire un quadrato uguale a quello che ha dato il via al diagramma: un Universo parallelo, con le stesse caratteristiche del nostro, ma irraggiungibile. Perché irraggiungibile? Basterebbe riuscire a entrare dentro al buco bianco e potremmo essere cacciati fuori nell’altro Universo. Purtroppo no. Per entrare nel buco bianco dovremmo viaggiare o più veloci della luce oppure verso il passato. Sfortunatamente, entrambe le cose ci sono vietate. Analoghe condizioni sarebbero valide per gli abitanti dell’Universo parallelo. E pensare che i due “buchi” hanno un punto in comune, un passaggio segreto, ma non praticabile (wormhole). In esso il flusso va verso l’alto e -al limite- potrebbe essere utilizzato per trasferirsi da un buco bianco a uno nero e non il viceversa.

Niente da fare. Il diagramma di Penrose applicato a un buco nero statico ammette e descrive benissimo i buchi bianchi e gli Universi paralleli, ma non lascia speranze di contatti “alieni” tra Universi. Noi non potremmo raggiungere i nostri amici e nemmeno potremmo vederne sbucare qualcuno da un buco bianco, in quanto non ci sarebbero potuti entrare. Che peccato! Riusciamo a vedere il loro confine (l’antiorizzonte) che ci ha ingannato facendosi passare per orizzonte degli eventi, ma mai potremo vedere uscire qualcosa da lui. Una magnifica porta aperta, ma sempre vuota. Non disperiamo però… considerando un buco nero rotante o carico elettricamente le cose potrebbero anche andare diversamente. Chissà!

Alla prossima volta amici, anche se sarà ancora più difficile. Intanto, aspetto le vostre reazioni…

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