Giuseppe Luigi De La Grangia e i suoi punti speciali

I francesi sono sempre pronti a considerarsi i migliori in tutto. Per dimostralo non disdegnano nemmeno di imporre la loro nazionalità a chi mostra una mente fuori dal comune. Capita al giorno d’oggi (esperienza diretta con molti colleghi) e -ancor più- in epoche passate, quando la Francia permetteva un’esistenza più agiata e remunerativa ai geni italiani. Un caso tipico è quello di Lagrange, francese italianissimo, scopritore dei celebri punti di equilibrio che portano il suo nome.

Giuseppe Luigi De La Grangia nasce a Torino nel 1736 da famiglia di umili origini. Compie i suoi studi nella stessa città, ma, come spesso capita, la Germania prima e la Francia poi, gli danno la possibilità di essere riconosciuto come uno dei più grandi matematici della storia. A parte i campanilismi, a noi interessa, comunque, una sua fondamentale ricerca zeppa di risvolti astronomici ancora oggi fondamentali.

Si sa molto bene che mentre è semplice dedurre il moto di un corpo attorno a un altro (problema dei due corpi) o, più esattamente, attorno al comune baricentro, diventa analiticamente impossibile risolvere le equazioni del moto di tre corpi legati gravitazionalmente tra loro. Ancora oggi, per affrontare il problema, sono necessarie integrazioni numeriche e supercomputer in grado di svolgere calcoli di portata spaventosa.

Il nostro De La Grangia aveva cercato una soluzione particolare del problema dei tre corpi, una che gli desse la possibilità di risolverlo matematicamente e che d’altra parte, avesse anche un campo di applicazione molto vasto. La sua ipotesi fu allora quella di considerare la massa del terzo corpo trascurabile rispetto a quella degli altri due. In tale situazione l’equazione del moto aveva alcune particolari soluzioni analitiche perfette. Vi sembra troppo riduttiva? Nemmeno per sogno. Pensate al moto degli asteroidi e delle comete sotto l’effetto preponderante delle masse del Sole e di Giove o, problema ancora più attuale, al moto dei satelliti artificiali nel sistema Terra-Luna e dei telescopi spaziali nel Sistema Sole-Terra.

De La Grangia non lo sapeva ancora, ma le ripercussioni sui sistemi stellari binari avrebbe permesso a Roche (ne parleremo tra breve) di descrivere la fisica delle binarie semi-staccate e a contatto. Cosa sono allora i punti lagrangiani? Consideriamo un sistema formato da due masse considerevoli e come la loro forza di gravità agisce nei dintorni. Così ad occhio potremmo facilmente dire che in certe posizioni si sente quasi solo la forza di una delle due masse e in altre quella di entrambe. Per De La Grangia non fu difficile descrivere il campo gravitazionale di tale sistema (due corpi) e poi introdurre un terzo corpo (di massa trascurabile) libero di muoversi in questo campo. E’ fu anche facile (si fa per dire…) descrivere le superfici equipotenziali, luogo dei punti in cui le forze agenti sul piccolo intruso si equivalevano. In altre parole, superfici che avevano la stessa energia gravitazionale regalatagli dalle forze combinate delle due masse principali.

A De La Grangia interessava, in modo speciale, trovare su queste superfici le posizioni particolari in cui il terzo corpo potesse trovarsi in perfetto equilibrio tra le forze gravitazionali e quella centrifuga, ossia rimanesse immobile rispetto al sistema rotante. Come si può disegnare questa configurazione? Semplice, considerando le due masse fisse e descrivendo le linee di uguale energia potenziale attorno ad esse (Fig. 1). Se, in tutte le posizioni, si introducesse un terzo oggetto in movimento questo descriverebbe una certa traiettoria, a volte attorno a una massa, a volte attorno all’altra, a volte alternando il suo attrattore principale e via dicendo. Ma a De La Grangia non interessava descrivere tutte le possibili orbite, voleva trovare matematicamente quelle che avrebbero inserito il terzo corpo in una situazione di equilibrio, ossia tale da farlo rimanere immobile rispetto alle altre due masse. In altre parole, tale da essere rappresentato come un punto nel diagramma della Fig. 1.

curve equipotenziali
Figura 1. Le curve equipotenziali di un sistema formato da due masse rotanti attorno al comune baricentro. Sono anche indicati i cinque punti lagrangiani.

Le soluzioni esistevano ed erano addirittura cinque, i cosiddetti punti lagrangiani. Ripeto ancora il concetto: essi sono punti immobili rispetto al sistema rotante delle due masse attorno al proprio baricentro. I corpi che li occupano si muovono anch’essi, ma in modo solidale con le due masse principali. Diventano punti singoli se li disegno nella rappresentazione della Fig.1. Questo concetto è fondamentale se si vogliono capire le infinite applicazioni fisiche successive.

Vediamo adesso, uno per uno, questi cinque punti, alcuni dei quali non sembrerebbero proprio poter essere di equilibrio. Ah… la magia della matematica. Li ho segnati nella Fig.1. Il più semplice e intuitivo è sicuramente L1. Esso si trova lungo la linea retta che congiunge le due masse del sistema rotante ed è posto proprio dove le forze di gravità dei due corpi si equivalgono. Ovviamente, se mettessimo in rotazione il sistema, questo punto -come gli altri suoi fratelli- manterrebbe sempre la stessa posizione relativamente alle due masse principali. E’ un punto magnifico sia perché sarà importantissimo nello studio del trasferimento di massa nelle stelle doppie strette, sia perché è un punto ideale per osservare il Sole e per mantenere contatti con la Terra. Quest’ultima non gli passerà mai davanti (eclisse) e nemmeno sparirà dietro alla stella. Non per niente alcuni telescopi spaziali solari sono stati inseriti su quella particolare orbita (SOHO, Ace).

Il punto L2 è molto meno intuitivo. Sta tutto da una parte e non sembrerebbe proprio essere di equilibrio. Per capire come funziona la faccenda basta, però, pensare che la gravità dovuta ai due corpi massicci è bilanciata dalla forza centrifuga. Anche questo è un punto utilissimo. Un telescopio messo in quella posizione ha il Sole sempre coperto dalla Terra e può osservare tranquillamente il cielo profondo con la Terra sempre a portata di mano (Planck, WMAP, Herschel, e tra poco GAIA e il Webb Space Telescope).  Il punto L3 funziona perfettamente come il suo gemello L2, solo che sta dall’altra parte.

Gli ultimi due sono davvero geniali. Si trovano sulla stessa orbita della massa più piccola, ma a pari distanza da lei e dalla più grande. In altre parole formano un triangolo equilatero con le due masse. Le forza risultante dalla combinazione delle due forze di gravità che agiscono su di essi è diretta esattamente verso il baricentro del sistema formato dalle due masse e quindi in perfetto equilibrio. L4 e L5 sono quelli meglio sfruttati dalla Natura vicino a noi. Gli asteroidi troiani di Giove sono infatti rintanati proprio attorno a questi due punti e non vengono disturbati dalle perturbazioni del gigante planetario.

Che tipo di equilibrio hanno questi cinque punti?  Beh… L1, L2, L3 sono instabili, mentre L4 e L5 sono stabili (per certi valori del rapporto tra le due masse principali). Cosa vuol dire equilibrio stabile e instabile? Non è difficile spiegarlo con un banalissimo esempio.

Prendiamo una scodella senza basamento (in pratica, una semisfera cava). Mettiamola con la concavità verso l’alto (Fig. 2a). Poi prendiamo una pallina abbastanza pesante (di ferro o di vetro o di quello che volete) e lasciamola cadere dentro la scodella. Cosa succede alla pallina? Comincia a ondeggiare su e giù lungo la superficie interna della scodella, finché l’attrito non la fa posare sul fondo. Se le diamo un colpetto, si rimette in oscillazione, ma, alla fine, torna a posarsi sul fondo. Questo è un equilibrio STABILE. In realtà, esso non è rappresentato proprio da un punto, ma da una oscillazione continua, proprio come un pendolo. Senza attrito, la nostra pallina continua, infatti, a ondeggiare su e giù passando ogni volta per il punto di equilibrio. La stessa cosa capita agli asteroidi troiani. Essi non hanno orbite tutte uguali tra loro, ma tali da descrivere oscillazioni, anche molto grandi, attorno ai punti L4 e L5.

Adesso capovolgiamo la scodella (Fig 2b). Posiamoci sopra la pallina. Se non facciamo troppa attenzione, il 99.9999….% delle volte essa scivola lungo i fianchi della scodella e finisce sul tavolo o per terra. Tuttavia, se stiamo molto attenti, abbiamo la mano ferma e anche un po’ di fortuna, riusciamo a farla stare immobile sul punto più alto della scodella. La pallina è in equilibrio INSTABILE. Provate infatti a dare un colpetto impercettibile alla scodella o alla pallina e questa cadrà nuovamente sul tavolo. Questi sono i punti L1, L2 e L3. Bisogna riuscire a mantenere il nostro telescopio proprio in quel punto (o al massimo permettergli piccole oscillazioni controllate) se no  se ne andrebbe per i fatti suoi.

Esempio di punti di equilibrio stabile e instabile

Per adesso fermiamoci qui, ma tra un po’ torneremo ai nostri punti lagrangiani per vedere come un francese (vero questa volta), Edouard Roche, sia stato capace di inserirli perfettamente nell’evoluzione fisica di una stella doppia. Mah…sì, anche i francesi -ogni tanto- sono veramente in gamba!

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24 Commenti    |    Aggiungi un Commento

  1. Veramente un'articolo magnifico, Enzo!!! Straordinario come la matematica rappresenti fedelmente la natura....
    Di De La Grangia sapevo molto poco. Occasione ghiottissima per documentarsi....
    A quanto pare, era amico di Eulero e da lui fu chiamato addirittura come successore alla presidenza della classe di scienze dell'Accademia di Berlino.
    Divenne poi presidente della commissione che fissò un nuovo sistema di pesi e misure, il sistema metrico decimale dal quale nascerà l'attuale Sistema Internazionale.
    Mica male, no?

  2. Grazie per l'articolo Enzo.
    Bellissimo l'esempio della scodella e la distinzione tra equilibrio stabile e instabile. Mi fa riflettere sulle condizioni "energetiche" per ottenerli e mantenerli...
    Comincio a considerare la matematica come una lingua, che usa numeri e simboli invece che lettere per descrivere concetti

  3. Citazione Originariamente Scritto da Andrea I. Visualizza Messaggio
    Grazie per l'articolo Enzo.
    Bellissimo l'esempio della scodella e la distinzione tra equilibrio stabile e instabile. Mi fa riflettere sulle condizioni "energetiche" per ottenerli e mantenerli...
    Comincio a considerare la matematica come una lingua, che usa numeri e simboli invece che lettere per descrivere concetti

  4. Citazione Originariamente Scritto da Andrea I. Visualizza Messaggio
    Grazie per l'articolo Enzo.
    Bellissimo l'esempio della scodella e la distinzione tra equilibrio stabile e instabile. Mi fa riflettere sulle condizioni "energetiche" per ottenerli e mantenerli...
    Comincio a considerare la matematica come una lingua, che usa numeri e simboli invece che lettere per descrivere concetti
    caro Andrea,
    hai detto due verità più che sacrosante.

    1) La scodella con la pallina che ondeggia è un perfetto esempio di conversione di energia: quella cinetica si trasforma in potenziale poi di nuovo in cinetica e via dicendo. In fondo è lo stesso principio delle montagne russe. Tra gli asteroidi si nota benissimo nelle orbite dei troiani. Ben lungi dall'essere orbite fisse, hanno gli elementi orbitali che ondeggiano in modo da andare di qua e di là dal punto lagrangiano. A volte le oscillazioni possono anche raggiungere 180° e perfino di più, diventando orbite a ferro di cavallo. Se non ci fossero stati gli asteroidi, sarebbe mancato il banco di prova ideale per la meccanica celeste (tra poco uscirà un articolo su di loro, anzi due...)

    2) la matematica E' esattamente ciò che dici, ossia il linguaggio della fisica. Entrando in questa visione la solita frase: "Io non capisco la matematica" diventa un controsenso. Senza matematica potresti descriverei i fenomeni fisici con la stessa precisione di coloro che non conoscono la tua lingua e tentano comunque di indicarti un luogo o spiegarti una cosa: a gesti e a grugniti... O, ancora meglio, è come se uno si fcesse raccontare la Divina Commedia o i promessi Sposi, senza averli mai letti. Non penso che avrebbe le stesse emozioni e capirebbe il genio dei due sommi artisti. Analogo discorso se mi facessi raccontare a parole una statua, un dipinto o un sinfonia...

  5. Nell'immagine 2A, i punti non dovrebbero essere L4 e L5 invece che L4 e L3?
    Per altro L3 è ripetuto anche nell'immagine 2B.
    C'è anche un refuso nella didascalia: Esempio di punti di equilibrio stabiloe e instabile

  6. Citazione Originariamente Scritto da nelchael81 Visualizza Messaggio
    Nell'immagine 2A, i punti non dovrebbero essere L4 e L5 invece che L4 e L3?
    Per altro L3 è ripetuto anche nell'immagine 2B.
    C'è anche un refuso nella didascalia: Esempio di punti di equilibrio stabiloe e instabile
    hai ovviamente ragione. nalla parte a) della figura vi sono L4 e L5. Correggo il refuso, anche nella didascalia...
    GRAZIE!!!

  7. rimango sempre affascinato dalla matematica come linguaggio per spiegare la fisica e come metodo per calcolare e delle volte prevedere in anticipo effetti fisici ed astronomici..... così su due piedi mi viene in mente a Le Verrier che ipotizzò la presenza di un pianeta gigante (Nettuno) osservando e calcolando l'insolito "spostamento"al perielio dell'orbita di Urano..... oppure al grande fisico Murray Gell Mann che matematicamente con largo anticipo calcolò gli stati (simmetrie) dei quark ......
    pur non essendo in grado di scendere nel profondo dei calcoli matematici rimango sempre estasiato dalla potenza dei calcoli...

  8. Citazione Originariamente Scritto da Vincenzo Zappalà Visualizza Messaggio
    hai ovviamente ragione. nalla parte a) della figura vi sono L4 e L5. Correggo il refuso, anche nella didascalia...
    GRAZIE!!!
    Di niente, è un piacere contribuire.