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Il celebre paradosso dei gemelli chiarisce molto bene la differenza tra relatività ristretta e relatività generale. Spieghiamone la risoluzione!
La spiegazione
Un punto P rappresentato nello
spazio cartesiano a 3 dimensioni
“Lo spazio che tutti conosciamo molto bene ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza ed altezza. Ogni punto può quindi essere individuato nello spazio cartesiano, individuato dai tre assi x, y, z, dalle sue coordinate relative, come si vede bene nella figura a fianco.
Ma oggi sappiamo che lo spazio ed il tempo sono strettamente collegati ed è quindi essenziale rappresentare anche quest’ultima coordinata. Per far questo avremmo bisogno di quattro dimensioni e noi non siamo assolutamente capaci di disegnare niente di questo tipo. Possiamo però fare un’approssimazione. Immaginiamo che lo spazio abbia solo due dimensioni (un po’ come i dipinti degli antichi egizi) e diamo al tempo la terza dimensione. La figura rimane la stessa di prima, ma al posto della z inseriamo il tempo t. Adesso per un certo punto A (o evento) disegnamo la sua possibilità di interagire con il tempo: questa viene rappresentata da un cono, detto cono di luce. La superficie del cono rappresenta tutte le possibili posizioni future del punto A se si muovesse alla velocità della luce. All’interno del cono vi è il futuro possibile muovendosi a velocità inferiori. Al di fuori del cono è ovviamente impossibile andare (si supererebbe la velocità della luce). Il prolungamento del cono in direzione opposta rappresenta il passato dell’evento A, in cui non si potrà più tornare (vedi figura in basso). Se A non si muovesse mai, il suo futuro sarebbe ovviamente rappresentato dalla retta AA’.
Sopra: il cono di luce del punto (o evento A). La sua superficie esterna è limitata dalla velocità della luce. Non si può quindi “uscire” dal cono, ma solo muoversi al suo interno. Il cono rappresenta quindi tutte le possibili azioni future di A. La parte grigia rappresenta il passato di A e non si può più raggiungerlo.
Adesso semplifichiamo ancora la figura ed immaginiamo che lo spazio sia rappresentato da una sola dimensione. La nostra Terra e l’astronave sranno inserite in questo semplice schema. Cominciamo con la Terra che si muove con velocità che si può considerare costante. Per lei lo spazio è la linea sT ed il tempo è la linea tT. Il gemello Carlo si muoverà quindi lungo la retta tT, perché in questo sistema di riferimento nessuno si muove (ricordate qual è il futuro di un punto immobile nel cono di luce?). Ossia Carlo ed i suoi simili viaggiano con la Terra e quindi stanno fermi nel suo sistema di riferimento (a parte i trascurabili movimenti lungo la superficie del pianeta). Ma l’astronave invece ha un diverso sistema di riferimento, in quanto si muove nello spazio. Non chiedete di più, perché le cose sarebbero molto complicate e bisognerebbe tenere conto che per raggiungere una certa velocità si deve applicare un’accelerazione e cose del genere (e questa è la vera differenza tra le due teorie). Ma vi assicuro che il suo sistema di riferimento si deforma in quello rappresentato da sA e tA (l’angolo tra di loro non è casuale, ma segue precise formule matematiche). L’astronave si muoverà lungo il “suo” tempo tA che forma ovviamente un angolo con l’asse del tempo della Terra (infatti si muove rispetto al sistema di riferimento della Terra). Ad un certo punto arriva alla sua meta , la stella B. In che momento? Beh, nel sistema di riferimento terrestre questo istante è rappresentato dal punto B’ (per trovarlo bisogna infatti muoversi parallelamente al “suo” spazio sA).
L’astronave però adesso inverte immediatamente la rotta e torna verso la Terra (decelerazione e poi accelerazione in senso inverso …). Facendo questa manovra però cambia nuovamente il sistema di riferimento che adesso è rappresentato da sR e tR. Accidenti! Allora dobbiamo subito segnare il tempo relativo al punto di “inizio ritorno” nel sistema terrestre. Questa volta, per farlo, dobbiamo muoverci parallelamente alla linea sR (anzi proprio lungo la linea) e non più lungo la “vecchia” linea sA. Troveremo il punto B” ben più avanti rispetto a B’. Sulla Terra c’è stato un salto temporale, ma, per l’astronave, B è un punto unico: è solo cambiato il sistema di riferimento e quindi la posizione relativa nel sistema terrestre. Finalmente la nave torna a casa (nel punto C, che essendo sulla Terra, dovrà essere ovviamente contenuto nella retta tT). A questo punto è facile calcolare il tempo passato sulla Terra e quindi anche per Carlo: il tratto completo AC. Per Gianni, il tempo passato sull’astronave sarà stato AB + BC. Ma quando torna a Terra, il tempo passato con il metro terrestre sarà stato solamente AB’ + B’’C.
Sopra: utilizzando il diagramma di Minkowski, le cose si semplificano molto e il tempo passato per i due gemelli si può calcolare facilmente sommando segmenti di tempo.
Niente da fare, nella relatività generale Gianni ha vissuto veramente meno di Carlo: il paradosso non esiste più!!” Carlo non capisce subito, ma riflettendoci sopra e vedendo gli stretti collegamenti con il cono di luce che varia, cambiando sistema di riferimento, alla fine si convince della validità della spiegazione. Il buon vecchietto ha proprio ragione: non è sicuramente uno stupidotto … Anzi! E gli stringe vigorosamente la mano ed è contento di aver capito, malgrado il fratello se la stia godendo con otto anni di meno. Lo scienziato lo saluta con una promessa eccitante: “la prossima volta ti farò vedere come si potrebbe viaggiare nel passato, utilizzando il cono di luce e le caratteristiche dei buchi neri … A presto!!”. E Carlo resta in trepida attesa della nuova avventura … teorica.
E magari anche voi, cari amici …
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72 Commenti a “Il paradosso dei gemelli - parte 2”
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gent. Aurora, egregi
quello che io chiamo il primo livello del paradosso dei gemelli (ovvero: chi dei due invecchia di meno?) si spiega con ciò che ti ha detto Enzo: e cioè scoprendo chi dei due è stato accelerato, vedi anche i precedenti commenti miei, di Lampo, Angelo, ecc.. Il problema è che siccome l’accelerazione è anch’essa “relativa”, e non assoluta come riteneva Galileo, vi è un secondo livello del paradosso dei gemelli (ovvero: chi ci dice che sia uno e non l’altro ad essere stato accelerato?). Questo è il vero dilemma! Infatti, come giustamente sostieni anche tu, se esistessero solo le due navicelle di carlo e gianni, se non avessimo quindi un qualunque sistema di riferimento privilegiato con cui confrontarci (es. il firmamento), come caspita facciamo a discernere fra i due? La r. generale ha cercato proprio di scoprire come mai non c’è totale simmetria, mentre invece, stando ai postulati iniziali della r.speciale, avrebbe dovuto esserci, ma se così fosse entrambi i gemelli risuterebbero ringiovaniti (!?) - cosa ovviamente assurda. La risposta è assai enigmatica: se guardi i miei precedenti commenti vedrai che ho più volte richiamato il “principio di Mach”, che, in realtà, è contenuto della versione “divulgativa” (per modo di dire, naturalmente) della r.generale di Einstein.
Ed è proprio qui che la ns. indagine fisica sconfina nella metafisica: giungiamo al concetto quasi sovrannaturale dell’unione fra l’uno ed il tutto, scoprendo che ogni cosa, anche la più lontana da noi, influenza proprio noi e proprio adesso…
La gravità, cara Aurora, carissimi, non soltanto attrae corpi lontani con la famosa legge di Newton, ma influenza corpi anche infinitamente più lontani “creando” la stessa inerzia, “creando” lo stesso spazio, che altrimenti non esisterebbe proprio, non avrebbe alcun senso…. questa forma di interazione fra le minuscole creature gianni e carlo e le stelle che gli stanno intorno, molto più fine della legge di Newton, molto più impalpabile, è l’idea dell’universo di Einstein… solo le stelle lontanissime ci possono suggerire chi dei due ha accelerato… rispetto ad esse… e solo costui subirà gli effetti relativistici. Ecco rotta la simmetria…
Quando penso a queste cose mi viene quasi il magone poiché le belle equazioni di Riemann ed altri non riescono a dipingere l’immensità di questo pensiero, che ci fa cogliere, secondo me, quanto Dio, Allah o come lo volete chiamare, abbia unito tutti noi in un unico invisibile abbraccio…
Forte!!!
Uzzi
premetto un grazie mille per la rapidità delle riposte che ho trovato molto interessanti…ad ogni modo, credo che il mio dubbio nasca dal fatto che i libri che ho trattanti l’argomento relatività generale, la introducono sempre facendola scaturire dalla convinzione di Einstein che i sistemi di riferimento accelerati non debbano avere nulla di speciale rispetto agli altri sistemi di riferimento inerziali come invece accadeva nella fisica newtoniana, leggere che il paradosso dei gemelli venga spiegato dalla relatività generale proprio affermando la non simmetria di questi due sistemi mi ha fatto venire molti dubbi sul fatto di aver compreso davvero gli obiettivi di questa teoria…quello che mi ha sorpreso di più delle risposte è stato leggere: la relatività generale ha cercato proprio di capire come mai non c’è simmetria tra i due sistemi, quando io credevo esattamente l’opposto!andrò a vedere questo principio di Mach al più presto, con la speranza di riuscirne a cogliere anche io gli aspetti più profondi…
Sarebbe anche bene a volte ritornare con i piedi per terra e ricordarci per esempio che questo paradosso inventato da Einstein altro non è che un gioco di fantasia, uno sforzo immaginativo che tenta di capire come possono scorrere gli eventi e le leggi fisiche in una situazione fin’ora solo astratta, dal momento che le velocità relativistiche sono ben lontane dalla nostra esperienza reale.
Certo, è interessante, affascinante e anche divertente cimentarsi in queste tematiche così complesse cercando di carpirne il succo, i risvolti impensabili o le conseguenze estreme, e penso che fosse stato anche il passatempo preferito del grande Albert. Ma almeno io, non vorrei cadere nell’errore di credere che questo dei gemelli sia un problema reale a cui va trovata una soluzione reale.
Che la matematica possa arrivare a dimostrare che delle forti accelerazioni (positive o negative) possano contrarre le lunghezze e rallentare il tempo o che lo stesso venga visto scorrere in modo diverso da un ooservatore posto in un diverso sistema di riferimento è un conto, ma che queste cose accadano veramente in una condizione fisica reale, lo sapremo solo quando la tecnologia aerospaziale giungerà a costruire velivoli talmente veloci da dar conto di quegli effetti.
D’altra parte anche Galileo aveva le argomentazioni copernicane che spiegavano la teoria eliocentrica, ma si dovette aspettare l’arrivo del cannocchiale per averne una conferma definitiva e inoppugnabile. …no? Saluti a tutti.
@Lorenzo,
noi come uomini non siamo ancora arrivati a queste velocità, ma altre particelle nello spazio e nei laboratori lo fanno costantemente e le possiamo osservare. Quindi, quanto tu dici, non è esatto. Oltretutto, con la precisione che ormai abbiamo nelle misure degli oggetti del cosmo, sarebbe impossibile lavorare senza tener conto degli effetti relativistici. Ormai fa parte essenziale del cosmo che conosciamo e che si cerca di studiare. Einstein non è più fantasia, ma realtà di tutti i giorni. Guarda ad esempio le lenti gravitazionali e quello che hanno permesso di scoprire….
@Enzo, naturalmente mi riferivo esclusivamente a questa storiella dei gemelli poi denominata “paradosso” e non a tutte le altre intuizioni e postulati affermati da Einstein e poi confermati dalle verifiche sperimentali, nè metto in dubbio che la tecnologia attuale permetta di misurare la velocità delle particelle che viaggiano a velocità luminali; ma converrai anche tu che un conto è misurare il tempo di decadimento di particelle che giungono dalla spazio o le velocità che raggiungono negli acceleratori, o misurare la flessione di un raggio di luce in corrispondenza di un centro di gravità, e un conto è sostenere di saper calcolare di quanti anni resta indietro un meccanismo così complesso come il metabolismo umano o l’orologio che regola le funzioni organiche-cellulari. Funzioni che esistono da milioni di anni e che si trasmettono di generazione in generazione con variazioni impercettibili.
Io credo che su questo aspetto si pecchi di un pò di ingenuità o di eccessiva sicurezza.
Non sappiamo con certezza come potrebbe reagire l’organismo umano in condizioni fisiche relativistiche nelle quali non si è mai trovato, quindi pretendere di calcolare con formule matematiche che invecchierà di tot anni anzichè di tot, viaggiando e subendo delle forti accelerazioni, a me sembra più una speculazione concettuale che una realistica e obiettiva analisi di un fenomeno.
Questo è più o meno quello che volevo dire. Grazie e ciao
@Lorenzo,
ci siamo capiti male … ovviamente sono anch’io d’accordo con te che il corpo umano ha problemi ben diversi. Ma l’applicazione del paradosso era senz’altro più stimolante se applicata all’uomo che non a un coniglio. ma la sua motivazione è quella di essere un paradosso e tale resta. Altro non è che una trasposizione umana di un concetto fondamentale. poco importa che l’uomo possa o non possa resistere….Nessuno pretende (per adesso) di verificare il paradosso utilizzando veramente un uomo. Non si tratta assolutamente di leggerezza o di ingenuità, ma solo di una descrizione matematica e fisica applicata, per convenienza spettacolare, all’uomo. D’accordo? 
@Lorenzo
Le storielle servono a capire. Se si parlasse semplicemente dello scorrere del tempo non avrebbe la stessa efficacia. E’ come dire che se una persona finisse entro l’orizzonte degli eventi di un buco nero con una torcia puntata davanti a se vedrebbe la luce tornare indietro a causa della curvatura dello spazio. Naturalmente, nessuno attraverserà mai l’orizzonte degli eventi, con o senza torcia…Almeno non credo…però la storiella aiuta a comprendere la fisica, aggiungendo anche un po’ di intrattenimento. 
Infatti Francesca, è proprio così… è quello che intendevo quando ho scritto che questa storiella è un gioco di fantasia, uno sforzo immaginativo che tenta di capire come possono scorrere gli eventi e le leggi fisiche in una situazione astratta.
E’ come se per spiegare il principio di Archimede ad un bambino di 10 anni usassi l’immagine di un ippopotamo immerso nell’acqua e tanti minuscoli puffetti acquatici che lo spingono verso l’alto. Sarebbe interessante e divertente mettersi a studiare il caso e calcolare quanti puffetti servirebbero per tenere a galla l’ippopotamo, ma l’adulto che ricorre a questa immagine sa che è funzionale alla spiegazione, ma che non ha collegamenti con la realtà, e che se anche si verificasse una situazione del genere interverrebbero tante altre variabili di cui in un racconto non si tiene conto.
Non capisco perchè non fosse chiaro fin dal mio primo intervento….. 
Salve,
Ho letto con interesse il racconto dei 2 gemelli Carlo e Gianni e la relativa spiegazione apprezzandone molto il tono colloquiale e l’assenza di formule matematiche inaccessibili per i non addetti ai lavori come me.
La mia impressione è che il vecchio saggio abbia tralasciato alcuni aspetti: quando ho letto la frase “cominciamo con la terra che si muove ad una velocità che si può considerare costante” le mie aspettative sono state un po’ deluse.
In pratica il vecchio saggio liquida la cosa dicendo che il sistema di riferimento della terra è l’unico valido perché l’astronave ha subito un’accelerazione, poi riporta il viaggio di Gianni sul sistema di riferimento di Carlo, lo schema è di immediata comprensione ma non è che un modo più dettagliato per rifare i calcoli sempre dal punto di vista di Carlo: non dimostra il paradosso.
Se mettiamo una cinepresa sull’astronave di Gianni e riprendiamo tutta la scena e poi, senza preconcetti, la riguardiamo apparirebbe che è la terra ad accelerare sempre più fino a raggiungere la velocità di crociera per poi decelerare ed accelerare nuovamente all’inizio del viaggio di ritorno …
Il vecchio saggio da per scontato che è Gianni ad avvertire la sensazione di accelerazione ma non spiega il perché, non spiega rispetto a cosa la terra si muove ad una velocità che si può considerare costante e non sarebbe forse questo “qualcosa” un punto di riferimento valido la base per poi scegliere ?
Secondo me entrambi i sistemi di riferimento (quello terrestre e quello dell’astronave) portano a dei risultati approssimati, se potesse fare misurazioni più precise il vecchio saggio probabilmente si accorgerebbe che l’età di Gianni (il fratello che ha viaggiato sull’astronave) si avvicina di molto a quella calcolata da Carlo ma non vi coincide esattamente.
Grazie 1000
Manuel
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@Aurora,
penso che il vero succo stia nel fatto che tutti i sitemi sono simmetrici SOLO se sono in moto rettilineo unforme. Se uno dei due accellera e decelera la simmetria non è più rispettata, anche in relatività generale. In quella ristretta il problema dell’accelerazione non era trattato ed allora si arrivava alla totale simmetria dei sistemi. E’ questo il punto?