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Il celebre paradosso dei gemelli chiarisce molto bene la differenza tra relatività ristretta e relatività generale. Spieghiamone la risoluzione!
La spiegazione
Un punto P rappresentato nello
spazio cartesiano a 3 dimensioni
“Lo spazio che tutti conosciamo molto bene ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza ed altezza. Ogni punto può quindi essere individuato nello spazio cartesiano, individuato dai tre assi x, y, z, dalle sue coordinate relative, come si vede bene nella figura a fianco.
Ma oggi sappiamo che lo spazio ed il tempo sono strettamente collegati ed è quindi essenziale rappresentare anche quest’ultima coordinata. Per far questo avremmo bisogno di quattro dimensioni e noi non siamo assolutamente capaci di disegnare niente di questo tipo. Possiamo però fare un’approssimazione. Immaginiamo che lo spazio abbia solo due dimensioni (un po’ come i dipinti degli antichi egizi) e diamo al tempo la terza dimensione. La figura rimane la stessa di prima, ma al posto della z inseriamo il tempo t. Adesso per un certo punto A (o evento) disegnamo la sua possibilità di interagire con il tempo: questa viene rappresentata da un cono, detto cono di luce. La superficie del cono rappresenta tutte le possibili posizioni future del punto A se si muovesse alla velocità della luce. All’interno del cono vi è il futuro possibile muovendosi a velocità inferiori. Al di fuori del cono è ovviamente impossibile andare (si supererebbe la velocità della luce). Il prolungamento del cono in direzione opposta rappresenta il passato dell’evento A, in cui non si potrà più tornare (vedi figura in basso). Se A non si muovesse mai, il suo futuro sarebbe ovviamente rappresentato dalla retta AA’.
Sopra: il cono di luce del punto (o evento A). La sua superficie esterna è limitata dalla velocità della luce. Non si può quindi “uscire” dal cono, ma solo muoversi al suo interno. Il cono rappresenta quindi tutte le possibili azioni future di A. La parte grigia rappresenta il passato di A e non si può più raggiungerlo.
Adesso semplifichiamo ancora la figura ed immaginiamo che lo spazio sia rappresentato da una sola dimensione. La nostra Terra e l’astronave sranno inserite in questo semplice schema. Cominciamo con la Terra che si muove con velocità che si può considerare costante. Per lei lo spazio è la linea sT ed il tempo è la linea tT. Il gemello Carlo si muoverà quindi lungo la retta tT, perché in questo sistema di riferimento nessuno si muove (ricordate qual è il futuro di un punto immobile nel cono di luce?). Ossia Carlo ed i suoi simili viaggiano con la Terra e quindi stanno fermi nel suo sistema di riferimento (a parte i trascurabili movimenti lungo la superficie del pianeta). Ma l’astronave invece ha un diverso sistema di riferimento, in quanto si muove nello spazio. Non chiedete di più, perché le cose sarebbero molto complicate e bisognerebbe tenere conto che per raggiungere una certa velocità si deve applicare un’accelerazione e cose del genere (e questa è la vera differenza tra le due teorie). Ma vi assicuro che il suo sistema di riferimento si deforma in quello rappresentato da sA e tA (l’angolo tra di loro non è casuale, ma segue precise formule matematiche). L’astronave si muoverà lungo il “suo” tempo tA che forma ovviamente un angolo con l’asse del tempo della Terra (infatti si muove rispetto al sistema di riferimento della Terra). Ad un certo punto arriva alla sua meta , la stella B. In che momento? Beh, nel sistema di riferimento terrestre questo istante è rappresentato dal punto B’ (per trovarlo bisogna infatti muoversi parallelamente al “suo” spazio sA).
L’astronave però adesso inverte immediatamente la rotta e torna verso la Terra (decelerazione e poi accelerazione in senso inverso …). Facendo questa manovra però cambia nuovamente il sistema di riferimento che adesso è rappresentato da sR e tR. Accidenti! Allora dobbiamo subito segnare il tempo relativo al punto di “inizio ritorno” nel sistema terrestre. Questa volta, per farlo, dobbiamo muoverci parallelamente alla linea sR (anzi proprio lungo la linea) e non più lungo la “vecchia” linea sA. Troveremo il punto B” ben più avanti rispetto a B’. Sulla Terra c’è stato un salto temporale, ma, per l’astronave, B è un punto unico: è solo cambiato il sistema di riferimento e quindi la posizione relativa nel sistema terrestre. Finalmente la nave torna a casa (nel punto C, che essendo sulla Terra, dovrà essere ovviamente contenuto nella retta tT). A questo punto è facile calcolare il tempo passato sulla Terra e quindi anche per Carlo: il tratto completo AC. Per Gianni, il tempo passato sull’astronave sarà stato AB + BC. Ma quando torna a Terra, il tempo passato con il metro terrestre sarà stato solamente AB’ + B’’C.
Sopra: utilizzando il diagramma di Minkowski, le cose si semplificano molto e il tempo passato per i due gemelli si può calcolare facilmente sommando segmenti di tempo.
Niente da fare, nella relatività generale Gianni ha vissuto veramente meno di Carlo: il paradosso non esiste più!!” Carlo non capisce subito, ma riflettendoci sopra e vedendo gli stretti collegamenti con il cono di luce che varia, cambiando sistema di riferimento, alla fine si convince della validità della spiegazione. Il buon vecchietto ha proprio ragione: non è sicuramente uno stupidotto … Anzi! E gli stringe vigorosamente la mano ed è contento di aver capito, malgrado il fratello se la stia godendo con otto anni di meno. Lo scienziato lo saluta con una promessa eccitante: “la prossima volta ti farò vedere come si potrebbe viaggiare nel passato, utilizzando il cono di luce e le caratteristiche dei buchi neri … A presto!!”. E Carlo resta in trepida attesa della nuova avventura … teorica.
E magari anche voi, cari amici …
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72 Commenti a “Il paradosso dei gemelli - parte 2”
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Ciao, è da un po di anni che mi sono appassionato a tutto ciò che riguarda l’astrofisica l’astronomia e le cose complicate come la relatività…
Una cosa che non ho mai capito è proprio questa del tempo che si ferma per un viaggiatore X che si muove alla velocitò della luce. Cioè il fatto che non ho capito è il perchè. E’ un fatto chimico-fisico proveniente dalle parti più piccole della materia, per esempio l’elettrone che gira più piano intorno al nucle e quindi tutto rallenta, oppure è solo un fatto matematico?
Secondo il tuo schema, o in modo più corretto, secondo quello che io ho capito dal tuo schema, il tempo non rallenta realmente, semplicemente salta un “pezzo”, e questo avviene solo se cè un cambio di rotta e quindi un conseguente cambio di punti di riferimento. ma se invece il viaggiatore andasse dritto per altri 15 anni, e poi si fermerebbe la sua età sarebbe uguale a quella del gemello? Da quel che ne sapevo no, ma secondo quello che ho capito adesso si perchè non cè stato cambio di rotta….
Aiutami…
La simmetria con cui ciascun sistema vede le lunghezze ed i tempi dell’altro “distorti” non è un paradosso.
Possiamo immaginarcela come la distorsione prospettica delle misure di cose che si allontanano da noi. Io vedo il mio gemello posto a distanza come rimpicciolito e viceversa anche lui mi vede più piccolo. Tale distorsione dipende dalla distanza e si annulla quando torniamo a riincontrarci.
La distorsione relativistica vale anche per la misura del tempo ed è perfettamente simmetrica. Dipende però dalla velocità relativa tra i due sistemi di riferimento (e quasi sicuramente anche dall’accelerazione).
In mancanza di gravità (o senza le masse distanti dell’universo) tale situazione simmetrica dovrebbe comportare l’annullamento delle differenze al ritorno.
Uzzi, e tu definiresti “forma di vita complessa” quella dei muoni che precipitano a terra?
E riguardo il rallentamento di orologi atomici posti su aerei che viaggiano a grandi altezze: come si sa un orologio atomico basa il suo funzionamento sui cicli della radiazione corrispondente alla transizione tra due specifici livelli energetici dello stato fondamentale dell’atomo di un elemento (per esempio il cesio133). Chi ci dice che viaggiando a grandi velocità e a un diverso valore di gravità, questo elemento non perda la sua stabilità e non si alteri la frequenza con cui emette radiazioni?
E che quindi il presunto rallentamento non sia del tempo in sè, ma del sistema adottato per misurarlo? E’ come se per misurare la lunghezza di un oggetto in un ambiente ad alta temperatura usassi un metro di metallo…
Naturalmente gli scienziati che si sono prefissi con questo esperimento di dimostrare la dilatazione temporale sono rimasti soddisfatti dell’esito raggiunto e non si sono preoccupati di indagare su altre possibili cause che potrebbero avere rallentato l’orologio, all’infuori di quello che loro si aspettavano…
Un vero esperimento dovrebbe essere realizzato trasportando su un aereo che raggiunge elevate velocità, diversi orologi molto precisi, ma basati su differenti principi di funzionamento. Se il tempo rallenta veramente, questa distorsione deve essere rilevata da tutti gli orologi o da gran parte essi. Saluti
Ringrazio tantissimo l’autore di questo articolo: dopo 3 mesi di V liceo scientifico ho finalmente capito il paradosso dei gemelli.. e spero di saperlo spiegare domani all’orale di maturità!
Ancora GRAZIE
Una piccola considerazione sul tempo, in merito all’intervento di Lorenzo.
In un universo immutabile, la nozione di tempo non avrebbe senso.
Del tempo noi possiamo solo percepire lo scorrerre dello stesso, osservando i cambiamenti, per lo più irreversibili che avvengono nelle cose che ci circondano.
Sono i cambiamrnti irreversibili (o perlomene giudicati tali) che ci fanno decidere, quando vediamo un filmato proiettato all’indietro in quale direzione punta la freccia del tempo (passato verso > futuro).
Per dare corpo alla nozione di “Tempo” abbiamo inventato gli orologi, i più moderni dei quali sono basati su fenomeni fisici che in modo periodico, fanno assumere ad una variabile fisica lo stesso valore e contano quante volte questo succede tra un evento e l’altro (misurando così il tempo che ne separa l’accadimento).
Nel quadro relativistico e fisico in generale, possiamo solo chiederci che effetto hanno certe variazioni, (es.: di potenziale gravitazionale o di velocità) sullo svolgersi dei suddetti fenomeni periodici, esaminati uno per uno, ma non in “assoluto”, sullo sfuggevole concetto di “Tempo”.
Auguro nel frattempo ad Elena, di essere riuscita nel suo intento.
Sull’intervento di Angelo: Infatti il tuo commento conferma un pò le mie considerazioni: se le condizioni fisiche sono tali da influenzare il funzionamento di un orologio e rallentarne la ritmicità, allora il rallentamento temporale registrato non è da imputare alla grandezza posta sotto osservazione (il tempo), ma agli strumenti adoperati per misurarne la variazione.
Spingendoci in tale direzione potremmo quindi affermare che in condizioni relativistiche (forti velocità) i fenomeni fisici e le proprietà della materia subiscono delle variazioni tali da influenzare gli strumenti che l’uomo ha inventato per misurare gli intervalli temporali tra un evento e l’altro (ergo lo scorrere del tempo).
Per maggiore chiarezza ribadisco il concetto: se uso un metro di metallo per misurare le dimensioni di un forno che si trova a 200 °C, non posso aspettarmi una misura attendibile e non posso quindi dimostrare che le pareti del forno si sono dilatate (anche se questo tipo di fenomeno è certo).
Se voglio ottenere una misura certa, devo adoperare un metro fatto di materiale che non risente del calore emesso dal forno.
Grazie
Per Lorenzo.
Vorrei sottolineare, che per me non ha senso parlare del tempo come di un concetto assoluto, mettendolo sullo stesso piano della temperatura di un forno.
Possiamo solo tenere in conto degli effetti che alcune variabili fisiche (velocità, potenziale gravitazionale,…) hanno sugli orologi (a seconda del principio fisico utilizzato come campione di tempo).
Nel senso che il tempo misurato da un orologio atomico non è più vero del tempo misurato da una clessidra e vanno bene entrambi a misurare il tempo, con l’avvertenza di indicare oltre alla misura, l’orologio utilizzato per registrarla.
Andare oltre queste considerazioni non credo sia possibile.
complimenti per la semplicità didattica dell’articolo.
ciao a tutti. Non mi e’ difficile comprendere il concetto di relativita’ anzi lo sostengo proprio perche’ ritengo che nell’universo esiste niente di assoluto (anzi neanche niente perche’ esiste anche lui). Detto cio’: in riferimento alle coordinate: io mi occupo di grafica 3D da anni ormai, la rappresentazione a tre assi XYZ e’ pane quotidiano ma e’ una rappresentazione contenuta in un cubo perfetto. Mi piace immaginare la quarta dimensione come esistente in un sistema sferico ove la Y e’ il movimento verso l’alto, la X verso i lati sx e dx e la Z avanti ed indietro ma: come spiegato nel cono di luce se ti muovi sulla Z senza spostarti sugli altri due assi vai in linea retta e quindi non modifichi il tempo. Nel momento in cui tendi a muoverti verso gli altri due assi ti allontani da Z ed influisci sulla tua posizione geometrica rispetto alle rette Y ed X. Cioe’: se fai X=0 Y=0 Z=1 il tempo non esiste. Se fai X=0.1 Y=0 Z=1 ti sei spostato producendo una sorta di distorzione che produce tempo, il tempo prodotto lo puoi ottenere calcolando l’angolo tra X e Z escluso Y perche’ =0.
Gian Claudio
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egregio Manuel, e a tutti gli interessati,
che bella immagine hai dato del paradosso dei gemelli!
Il vero paradosso consiste proprio in quello che hai “distillato” nel tuo esempio: e cioè non è per niente vero che ciò che chiamiamo “accelerazione” serve a capire chi dei due ha subìto l’effetto relativistico, poiché anche l’”accelerazione” è simmetrica come hai ben descritto tu. Però è altrettanto certo che solo uno dei due deve aver subìto il rallentamento del proprio scorrere del tempo. E allora chi?
Devo aggiungere, visto la piega di incertezza che sta prendendo il blog, che non è nemmeno vero che le misure siano approssimate, o che le equazioni non siano applicabili alle forme di vita complesse.
Al riguardo vi cito esempi concreti invitandovi a riflettere sull’allungamento della vita dei muoni che precipitano sulla terra (che dimostra, malgrado un’apparente simmetria, che solo uno dei due gemelli ringiovanisce) ed al rallentamento gravitazionale che fu misurato su un orologio atomico posto in un aereo a grande altezza della terra (che dimostra che tutto l’aereo rallentava, compreso il pilota che lo guidava e gli scienziati che prendevano le misure).
L’assurda ed inaccettabile simmetria, che almeno una volta ha fatto vacillare le nostre convinzioni sulla relatività e che in effetti esiste nella teoria, è rotta dalla gravitazione poiché l’accelerazione gravitazionale si sviluppa in un’unica direzione, ovvero verso il centro di gravità. In quel caso converrai con me che non c’è più simmetria poiché l’accelerazione è subìta da chi cade per terra e non dalla terra che viene addosso a noi che stiamo in piedi, e quindi è dimostrabile che è la “massa” a dare un significato corretto alle definizioni teoriche di spaziotempo, velocità ed accelerazione.
Il passo successivo è dimostrare, come credo ci abbiano fatto meglio capire Mach e Berkeley, che anche la stessa “inerzia” (concetto che ci permette di creare l’impalcatura teorico/matematica della cinematica moderna e decidere chi dei due gemelli ringiovanisce) è frutto dell’influenza esercitata dalla massa delle stelle lontanissime da noi. Vedi miei precedenti commenti specie l’ultimo.
Siccome le misure sono state fatte in maniera più che precisa (per i curiosi suggerisco di approfondire, ad es., l’”effetto Mossbauer”) non scherziamo su queste cose: la relatività è inoppugnabile.
Ed allo stesso tempo spirituale, quindi scusami se declino l’invito, caro Lorenzo, a restare coi piedi per terra, temo che chi si appassiona di relatività non potrà mai farlo, è nel nostro dna.
Saluti e ben tornati dalle ferie