etruscastro
18-01-2013, 08:30
CALCOLO MAGNITUDINE LIMITE TEORICA
Quanti di noi sanno calcolare la magnitudine limite teorica dei nostri strumenti?
Pochi….. veramente pochi..... fino a qualche giorno fa, pensavo anche io (senza la minima umiltà! ) di saper svolgere il procedimento.
Soltanto qualche sera fa, durante una riunione sociale della mia associazione astrofila, è salito a galla il vero problema che riguarda il calcolo, durante una discussione che più tardi ve ne farò partecipi.
Vediamo come possiamo districarci in questi calcoli, la formula che regola il valore è questa:
ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10
dove ml sta per magnitudine limite, mv sta per magnitudine visuale, 5 è il logaritmo per la magnitudine, D sta per diametro e p sta per pupilla di uscita….
E' bene ricordare che la scala delle magnitudini è logaritmica, in base 2.5 ( arrotondata perché in realtà è 2.512 ), questo significa che la differenza di luminosità fra una stella di magnitudine 0 e una di magnitudine 1 è pari a 2.512 .
Vediamo di attuarla con dei semplici esempi di modo che tutti sappiano come regolarsi:
ipotizziamo di avere un classico telescopio da 8” quindi 200mm di diametro ( in realtà è 203mm ma semplifichiamo all’inverosimile) e supponiamo anche che il nostro occhio si dilati al buio fino a 7mm (in realtà, come già sappiamo è già tanto arrivare a 5mm), il guadagno luminoso sarà pari al rapporto del quadrato dei due obbiettivi in questo caso la formula sarà 200^2/7^2, cioè 816.
Un telescopio da 200mm dunque raccoglie 816x più luce dell'occhio umano, dilatato a 7mm,come nel caso che abbiamo preso in considerazione.
Dato che, come detto, la scala delle magnitudini segue un log in base 2.5, dovremmo trovare l'esponente da dare a 2.5 per avere 816, esponente che rappresenterà il guadagno di magnitudini osservando direttamente al telescopio, in questo preciso caso il valore è pari a 7.3 (arrotondato),…… se dunque la magnitudine del nostro cielo sarà ad esempio 5.5 (imparate a valutarlo da qui: http://www.astronomia.com/forum/showthread.php?339-scala-di-Bortle ) allora la magnitudine limite all'oculare del nostro telescopio sarà 7.3 + 5.5 = 12.8
la magnitudine limite del nostro strumento da 200mm sotto un cielo da mv 5.5 sarà dunque 12.8!
domanda lecita:
E se la magnitudine limite del cielo anziché 5.5 sia 6.5 ?
All'oculare arriveremo a mag. 13.8 …. Semplice no!
I più sagaci potrebbero fare il discorso inverso e farmi la domanda:
e se volessimo arrivare a magnitudine 13.8 partendo da un cielo di 5.5?
allora avremo bisogno di un' obbiettivo che offra un valore di magnitudine di 8.3 ( = 13.8 - 5.5 ), ossia un obbiettivo da 320mm!
Infatti 320x320/49 (ricordate? 7^2 della pupilla di uscita?) fa 2090, e l'esponente da dare a 2.5 per ottenere 2090 è proprio 8.3!
In poche parole un 320mm sotto un cielo di magnitudine 5.5 mostra gli stessi oggetti di uno strumento da 200mm sotto un cielo buono!
Tutto bene?
Scommetto che quasi tutti i lettori di questa discussione, con carta e penna e, soprattutto una calcolatrice scientifica, abbiano eseguito i relativi calcoli del proprio strumento…. Ci sarà chi avrà ottenuto una mag. di 12.5 e chi, con soddisfazione arriva a 14…. Sicuramente ci sarà anche chi avrà sbagliato i calcoli….. :)
Ma sarà tutto giusto? Ci fidiamo di questa formulina e dei soli logaritmi?
Niente di più sbagliato…… ragionandoci sopra con i miei soci di associazione e, soprattutto con gli scambi di pareri del mio amico/socio e prof. di matematica Bellini, spulciando fra numeri e su internet in cerca di lavori in merito svolti da professionisti ci siamo imbattuti sul lavoro di Bradley Shaefer e Blackwell ( qua il lavoro originale: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1990PASP..102..212S (http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1990PASP..102..212S) )
vediamo di esaminare il tutto con occhio pratico, scientifico e professionale:
secondo il lavoro degli illustri professionisti ( Shaefer è professore di astronomia e astrofisica ) la magnitudine limite dipende non solo dall’ apertura….. ma anche dall'ingrandimento (e questo fattore inficia non poco).
come mai la magnitudine limite dipende dall'ingrandimento?
Risposta: per il contrasto!
Una stella infatti è una sorgente puntiforme, e tale resta aumentando l'ingrandimento.
Il cielo invece è una sorgente estesa, il contrasto quindi aumenta all'aumentare dell'ingrandimento almeno fino a quando la stella non comincia ad apparire di diametro finito a causa del seeing o della diffrazione.
Del resto pensiamoci bene, e seguite il mio ragionamento di base:
ipotizziamo di avere un rifrattore APO da 100mm (trattiamoci bene sulle qualità delle lenti!) e puntiamo un ammasso aperto mediamente denso ed esteso, composto da circa 40 stelle ben visibili ad un binocolo da 10x50 …… immaginiamo di osservare l’ammasso a 40x, cosa vedremo?
Sicuramente vedremo tutte e le 40 stelle dell’ammasso con l’aggiunta di piccole stelline di fondo (e quindi magnitudine minore!) che prima al binocolo non scorgevamo!
Ora pensiamo di salire con gli ingrandimenti a ……. 80x, cosa vedremo?
Vedremo non più le 40 stelle dell’ammasso, ma ne vedremo magari 30 ma con un sottofondo di stelline più ricche!
Ultima ipotesi, immaginiamo di osservare l’ammasso a 140x , che risultato otterremmo? Sicuramente vedremo 20 delle stelle dell’ammasso, ma potremmo definire con sufficiente precisione buona parte di quelle stelline di fondo con una mag. molto più positiva!
Come mai? Eppure il diametro è sempre lo stesso! Dove sta l’inghippo?
Nessun inghippo, questo è il risultato naturale del lavoro di Schaefer e Blackwell, ci avevate mai pensato?
Eppure qualcuno potrebbe dire:
ma sul mio manuale di istruzioni riporta che il mio strumento da 8” arriva ad una magnitudine limite di +13.5?
quasi giusto… ma lo avete mai testato direttamente?
Cosa ci insegna l’esempio sopra descritto del 100mm?
la considerazione da fare quando si riportano le magnitudini limite, sarebbe di specificare sempre anche l'ingrandimento al quale è fatta l'osservazione, dal seeing e dalla luminanza del cielo ( il valore SQM)….. quindi una piccola tirata di orecchie ai fabbricanti!.
tornando a noi:
La vecchia formula della magnitudine limite diceva:
ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10
In questo modo il Log(D/p) rappresenta il guadagno di luce del telescopio, se la si applica ad un 127 mm con p=6 mm e mv =6 produce 12.7.
Tuttavia questa formula è sbagliata ( o non del tutto corretta!), come spiega bene Shaefer nell'articolo sopra citato….. L'errore sta nell'assumere che se un telescopio "guadagna" un fattore 100 in luce (5 magnitudini) allora si vedranno stelle di 5 magnitudini in più rispetto all'occhio nudo.
Questa cosa è vera solo se l'ingrandimento del telescopio è tale da produrre una pupilla di uscita uguale a p così che il fondo cielo abbia la stessa luminanza.
Tuttavia, aumentando l'ingrandimento il fondo cielo si scurisce e, dato che la visibilità delle stelle rispetta le stesse regole studiata da Blackwell (dipende dal contrasto) si riescono a raggiungere magnitudini limiti più alte (fino a circa 2 mv in più). Un 10 cm in condizioni ideali consente di raggiungere una mag. di circa 14.
Comunque la formula corretta (o meglio, quella più vicina alla realtà) è questa:
SB = 28.57 - 2.814LM + 0.3694LM^2 + 5 log (MAG fratto DIAM radice quadrata di t)
TLM = -22.81 + 1.792SB + 0.02949SB ^2 + 2.5 log ( DIAM^2 X t )
dove:
LM indica la magnitudine limite, MAG l'ingrandimento usato, DIAM il diametro del telescopio in mm, t il coefficiente di trasmissione (perdite) (si può omettere), SB è la brillanza del cielo ( SQM ), TLM è la magnitudine limite raggiunta
La prima formula tiene conto del fatto che il cielo aumentando l'ingrandimento si scurisce, la seconda utilizza il valore della brillanza del cielo appena trovata per dare una stima della magnitudine limite.
Ma siccome sono un moderatore buono e comprensivo, vi allego un’interessante link dove potrete calcolare semplicissimamente il vostro valore usando la forza di calcolo “bruta” dei computers (non ditelo a Zappalà! ;)):
http://www.cruxis.com/scope/limitingmagnitude.htm
questa discussione non vuole essere un punto di arrivo, bensì una base da cui partire tutti insieme con delle ottime riflessioni, anche io ho dovuto sfatare diversi falsi miti su questo calcolo.
Vorrei ringraziare i VERI professionisti che hanno contribuito decisamente a questo risultato, anche se magari non lo sapranno mai, e tutto il gruppo Tau per avermi dato l’input per questa riflessione… e soprattutto il mio prof di matematica che scoccio ogni volta ho dei dubbi matematici…..
Etruscastro
N.B. il post riporta citazioni tratte direttamente dal lavoro originale.
Quanti di noi sanno calcolare la magnitudine limite teorica dei nostri strumenti?
Pochi….. veramente pochi..... fino a qualche giorno fa, pensavo anche io (senza la minima umiltà! ) di saper svolgere il procedimento.
Soltanto qualche sera fa, durante una riunione sociale della mia associazione astrofila, è salito a galla il vero problema che riguarda il calcolo, durante una discussione che più tardi ve ne farò partecipi.
Vediamo come possiamo districarci in questi calcoli, la formula che regola il valore è questa:
ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10
dove ml sta per magnitudine limite, mv sta per magnitudine visuale, 5 è il logaritmo per la magnitudine, D sta per diametro e p sta per pupilla di uscita….
E' bene ricordare che la scala delle magnitudini è logaritmica, in base 2.5 ( arrotondata perché in realtà è 2.512 ), questo significa che la differenza di luminosità fra una stella di magnitudine 0 e una di magnitudine 1 è pari a 2.512 .
Vediamo di attuarla con dei semplici esempi di modo che tutti sappiano come regolarsi:
ipotizziamo di avere un classico telescopio da 8” quindi 200mm di diametro ( in realtà è 203mm ma semplifichiamo all’inverosimile) e supponiamo anche che il nostro occhio si dilati al buio fino a 7mm (in realtà, come già sappiamo è già tanto arrivare a 5mm), il guadagno luminoso sarà pari al rapporto del quadrato dei due obbiettivi in questo caso la formula sarà 200^2/7^2, cioè 816.
Un telescopio da 200mm dunque raccoglie 816x più luce dell'occhio umano, dilatato a 7mm,come nel caso che abbiamo preso in considerazione.
Dato che, come detto, la scala delle magnitudini segue un log in base 2.5, dovremmo trovare l'esponente da dare a 2.5 per avere 816, esponente che rappresenterà il guadagno di magnitudini osservando direttamente al telescopio, in questo preciso caso il valore è pari a 7.3 (arrotondato),…… se dunque la magnitudine del nostro cielo sarà ad esempio 5.5 (imparate a valutarlo da qui: http://www.astronomia.com/forum/showthread.php?339-scala-di-Bortle ) allora la magnitudine limite all'oculare del nostro telescopio sarà 7.3 + 5.5 = 12.8
la magnitudine limite del nostro strumento da 200mm sotto un cielo da mv 5.5 sarà dunque 12.8!
domanda lecita:
E se la magnitudine limite del cielo anziché 5.5 sia 6.5 ?
All'oculare arriveremo a mag. 13.8 …. Semplice no!
I più sagaci potrebbero fare il discorso inverso e farmi la domanda:
e se volessimo arrivare a magnitudine 13.8 partendo da un cielo di 5.5?
allora avremo bisogno di un' obbiettivo che offra un valore di magnitudine di 8.3 ( = 13.8 - 5.5 ), ossia un obbiettivo da 320mm!
Infatti 320x320/49 (ricordate? 7^2 della pupilla di uscita?) fa 2090, e l'esponente da dare a 2.5 per ottenere 2090 è proprio 8.3!
In poche parole un 320mm sotto un cielo di magnitudine 5.5 mostra gli stessi oggetti di uno strumento da 200mm sotto un cielo buono!
Tutto bene?
Scommetto che quasi tutti i lettori di questa discussione, con carta e penna e, soprattutto una calcolatrice scientifica, abbiano eseguito i relativi calcoli del proprio strumento…. Ci sarà chi avrà ottenuto una mag. di 12.5 e chi, con soddisfazione arriva a 14…. Sicuramente ci sarà anche chi avrà sbagliato i calcoli….. :)
Ma sarà tutto giusto? Ci fidiamo di questa formulina e dei soli logaritmi?
Niente di più sbagliato…… ragionandoci sopra con i miei soci di associazione e, soprattutto con gli scambi di pareri del mio amico/socio e prof. di matematica Bellini, spulciando fra numeri e su internet in cerca di lavori in merito svolti da professionisti ci siamo imbattuti sul lavoro di Bradley Shaefer e Blackwell ( qua il lavoro originale: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1990PASP..102..212S (http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1990PASP..102..212S) )
vediamo di esaminare il tutto con occhio pratico, scientifico e professionale:
secondo il lavoro degli illustri professionisti ( Shaefer è professore di astronomia e astrofisica ) la magnitudine limite dipende non solo dall’ apertura….. ma anche dall'ingrandimento (e questo fattore inficia non poco).
come mai la magnitudine limite dipende dall'ingrandimento?
Risposta: per il contrasto!
Una stella infatti è una sorgente puntiforme, e tale resta aumentando l'ingrandimento.
Il cielo invece è una sorgente estesa, il contrasto quindi aumenta all'aumentare dell'ingrandimento almeno fino a quando la stella non comincia ad apparire di diametro finito a causa del seeing o della diffrazione.
Del resto pensiamoci bene, e seguite il mio ragionamento di base:
ipotizziamo di avere un rifrattore APO da 100mm (trattiamoci bene sulle qualità delle lenti!) e puntiamo un ammasso aperto mediamente denso ed esteso, composto da circa 40 stelle ben visibili ad un binocolo da 10x50 …… immaginiamo di osservare l’ammasso a 40x, cosa vedremo?
Sicuramente vedremo tutte e le 40 stelle dell’ammasso con l’aggiunta di piccole stelline di fondo (e quindi magnitudine minore!) che prima al binocolo non scorgevamo!
Ora pensiamo di salire con gli ingrandimenti a ……. 80x, cosa vedremo?
Vedremo non più le 40 stelle dell’ammasso, ma ne vedremo magari 30 ma con un sottofondo di stelline più ricche!
Ultima ipotesi, immaginiamo di osservare l’ammasso a 140x , che risultato otterremmo? Sicuramente vedremo 20 delle stelle dell’ammasso, ma potremmo definire con sufficiente precisione buona parte di quelle stelline di fondo con una mag. molto più positiva!
Come mai? Eppure il diametro è sempre lo stesso! Dove sta l’inghippo?
Nessun inghippo, questo è il risultato naturale del lavoro di Schaefer e Blackwell, ci avevate mai pensato?
Eppure qualcuno potrebbe dire:
ma sul mio manuale di istruzioni riporta che il mio strumento da 8” arriva ad una magnitudine limite di +13.5?
quasi giusto… ma lo avete mai testato direttamente?
Cosa ci insegna l’esempio sopra descritto del 100mm?
la considerazione da fare quando si riportano le magnitudini limite, sarebbe di specificare sempre anche l'ingrandimento al quale è fatta l'osservazione, dal seeing e dalla luminanza del cielo ( il valore SQM)….. quindi una piccola tirata di orecchie ai fabbricanti!.
tornando a noi:
La vecchia formula della magnitudine limite diceva:
ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10
In questo modo il Log(D/p) rappresenta il guadagno di luce del telescopio, se la si applica ad un 127 mm con p=6 mm e mv =6 produce 12.7.
Tuttavia questa formula è sbagliata ( o non del tutto corretta!), come spiega bene Shaefer nell'articolo sopra citato….. L'errore sta nell'assumere che se un telescopio "guadagna" un fattore 100 in luce (5 magnitudini) allora si vedranno stelle di 5 magnitudini in più rispetto all'occhio nudo.
Questa cosa è vera solo se l'ingrandimento del telescopio è tale da produrre una pupilla di uscita uguale a p così che il fondo cielo abbia la stessa luminanza.
Tuttavia, aumentando l'ingrandimento il fondo cielo si scurisce e, dato che la visibilità delle stelle rispetta le stesse regole studiata da Blackwell (dipende dal contrasto) si riescono a raggiungere magnitudini limiti più alte (fino a circa 2 mv in più). Un 10 cm in condizioni ideali consente di raggiungere una mag. di circa 14.
Comunque la formula corretta (o meglio, quella più vicina alla realtà) è questa:
SB = 28.57 - 2.814LM + 0.3694LM^2 + 5 log (MAG fratto DIAM radice quadrata di t)
TLM = -22.81 + 1.792SB + 0.02949SB ^2 + 2.5 log ( DIAM^2 X t )
dove:
LM indica la magnitudine limite, MAG l'ingrandimento usato, DIAM il diametro del telescopio in mm, t il coefficiente di trasmissione (perdite) (si può omettere), SB è la brillanza del cielo ( SQM ), TLM è la magnitudine limite raggiunta
La prima formula tiene conto del fatto che il cielo aumentando l'ingrandimento si scurisce, la seconda utilizza il valore della brillanza del cielo appena trovata per dare una stima della magnitudine limite.
Ma siccome sono un moderatore buono e comprensivo, vi allego un’interessante link dove potrete calcolare semplicissimamente il vostro valore usando la forza di calcolo “bruta” dei computers (non ditelo a Zappalà! ;)):
http://www.cruxis.com/scope/limitingmagnitude.htm
questa discussione non vuole essere un punto di arrivo, bensì una base da cui partire tutti insieme con delle ottime riflessioni, anche io ho dovuto sfatare diversi falsi miti su questo calcolo.
Vorrei ringraziare i VERI professionisti che hanno contribuito decisamente a questo risultato, anche se magari non lo sapranno mai, e tutto il gruppo Tau per avermi dato l’input per questa riflessione… e soprattutto il mio prof di matematica che scoccio ogni volta ho dei dubbi matematici…..
Etruscastro
N.B. il post riporta citazioni tratte direttamente dal lavoro originale.