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Visualizza Versione Completa : stelle binarie e metodi di risoluzione



mazzolatore
04-03-2017, 14:05
un sistema binario Ŕ un sistema composto da 2 stelle che ruotano una intorno all'altra
circa 1/3 delle stelle nella nostra galassia appartengono a un sistema binario
ursula mayoris per esempio fa parte di un sistema a 7 stelle.

esistono 4 tecniche per determinare le caratteristiche de sistema.

visuali
spettroscopiche
fotometriche
astrometriche.

le binarie astrometriche sono binarie dove le caratteristiche del sistema vengono determinate dopo lunghi periodi di osservazione dove si mappa la posizione delle stelle in funzione del tempo.
Queste osservazioni sono molto precise perci˛ non possiamo spingerci a misurare stelle troppo lontane , Ŕ una tecnica poco usata perchÚ tale precisione si pu˛ avere solo per stele entro un raggio di 10 parsec da noi.

le binarie visuali sono stelle le cui componenti sono abbastanza lontane per far si che si possano distinguere anche con telescopi amatoriali, ma sufficientemente vicine per autogravitare l'una sull'altra.
ursula majoris ne Ŕ un esempio.
per determinare le masse di queste stelle usiamo la terza legge di kepleriano e il problema dei 2 corpi (che pu˛ essere risolto come il problema di un corpo di massa ridotta che ruota attorno al centro di massa del sistema)

perci˛ se c mettiamo nel sistema di riferimento del centro di massa

m_1/m_2 = a_2 /a_1
il rapporto delle masse Ŕ pari a l'inverso del rapporto dei 2 semiassi maggiori.

ora il semiasse maggiore diviso la distanza della stella a/d = sin(▀) sarebbe un triangolo rettangolo
ma visto che la distanza "d" Ŕ moooolto maggiore del semiasse "a" possiamo sviluppare in serie di taylor al 1░ ordine il seno allora diciamo che sin(▀) = ▀
perci˛:
m_1/m_2 = ▀_2/▀_1
e gli angoli ▀ sono misure che noi possiamo fare da terra con i nostri strumenti.

utilizzando la 3Ó legge di kepler P^2 = 4*a^3*π^2 /G(m_1 + m_2) dove a = a_1 + a_2
a_1 + a_2 = sin(▀_1)*d + sin(▀_2)*d = ▀_1 +▀_2
allora P^2 = 4*π^2*d^3*(▀_1+▀_2)/G(m_1 + m_2)

perci˛ abbiamo 2 equazioni in 2 incognite che sono le masse

P^2 = 4*π^2*d^3*(▀_1+▀_2)/G(m_1 + m_2)
m_1/m_2 = ▀_2/▀_1
risolviamo il sistema e otteniamo le masse.


Nel caso il piano orbitale non sia ortogonale alla nostra linea di vista i calcoli si complicano leggermente, perche il semiasse maggiore legato ad un angolo deve essere proiettato rispetto la nostra linea di vista.

allora m_1/m_2 = a_2/a_1 =▀-2/▀-1= ▀_2cos(i)/▀_1cos(i) = ▀_2/▀_1

sulla prima equazione il coseno dell'angolo si semplifica e rimane uguale

ma la somma delle masse data dalle 3Ó legge di keplero e riarrangiando i termini diventa

m_1 + m_2 = (4π^2/G)*(ad)^3/P^2 = 4π^2/G * (d/cos(i))^3 * (▀-2 + ▀-1)^3/P^2

quindi per risolvere il sistema dobbiamo conoscere l'angolo di inclinazione "i"

mazzolatore
05-03-2017, 18:48
Vediamo come ricavare le caratteristiche del sistema usando tecniche spettroscopiche.

mazzolatore
06-03-2017, 16:17
Con le binarie spettroscopiche sfruttiamo gli effetti doppler delle righe di assorbimento degli spettri stellari per via del fatto che si stanno muovendo.
Esistono binarie a doppia riga e a singola riga.
Doppia riga significa che riusciamo a misurare lo spettro di entrambe le stelle.
Singola riga significa che ne vediamo uno solo.

Vediamo le binarie a doppia riga.
Se si allontanano avremo un red shift se si avvicinano un blue shift.
Per fare tale misura il piano orbitale non pu˛ essere ortogonale alla nostra linea di vista , altrimenti non vedremmo effetti doppler.
Necessitiamo di un piano inclinato, tanto pi¨ inclinato meglio Ŕ poiche la velocitÓ della stella pu˛ essere scomposta in velocitÓ radiale e tangenziale. A noi interessa la velocitÓ radiale (responsabile dell'effetto doppler)

V_r = v*sin(i) e tanto Ŕ piu grande tanto pi¨ l'effetto doppler Ŕ visibile tanto pi¨ l'angolo di inclinazione deve essere grande se i = 90 , sin(i) = 1 ed Ŕ il massimo.

visto che abbiamo 2 stelle
V_r2 = v_2 sin(i)
V_r1 = v_1 sin(i)

se facciamo il rapporto:
V_r2/V_r1 = v_2/v_1

approssimiamo il problema a orbite circolari:

V=s/t
lo spazio Ŕ quello di una circonferenza , il tempo Ŕ il periodo.

V = 2πa/P

visto che abbiamo 2 componenti nel sistema:

v_1 = 2πa_1 /p
v_2 = 2πa_2/p

allora
V_r2/V_r1 = v_2/v_1 = a_2/a_1 = m_1/m_2
perci˛ dal rapporto di velocitÓ radiali siamo arrivati al rapporto tra masse.

ora sostituiamo nella 3Ó legge di keplero.

m_1 + m_2 = (4π^2)/(GP^2) * a^3
a Ŕ sempre la somma di a_1 + a_2 che per via delle orbite circolari valgono a_1 = v_1P/2π a_2 = v_2P/2π
sostituendo
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_2 + v_1)^3
ma v_2 e v_1 valgono v_r /sin(i)
sostituendo
m_1 + m_2 = P/(2πG) * 1/(sin(i))^3 * (v_r2 + v_r1)
abbiamo scritto la somma delle masse in funzione delle velocitÓ radiali che possiamo misurare.
Nota importante Ŕ che dobbiamo conoscere l'angolo di inclinazione.

mazzolatore
06-03-2017, 16:49
Per binarie a singola riga riusciamo a dare una stima della massa della stella i cui non vediamo lo spettro.
Per la precisione riusciamo a dare un limite inferiore della massa.

La prima equazione rimane la stessa.
v_2/v_1 = v_r2/v_r1 = m_1 /m_2


nella terza legge di kepleriano per˛:

m_1 + m_2 = (4π^2)/(GP^2) * a^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_2 + v_1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * 1/(sin(i))^3 * (v_r2 + v_r1)^3

raccogliendo v_r1

m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * (v_r2/vr_1 + 1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * (m_1/m_2 + 1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * ((m_1+m_2)/m_2)^3
(m_2)^3/(m_1+m_2)^2 * sin^3(i) = P/(2πG) * (v_r1)^3

il membro a sinistra sarÓ sempre minore di m_2 perci˛ anche quello a destra.
allora
P/(2πG) * (v_r1)^3 < m_2

perci˛ abbiamo trovato una stima inferiore della massa di m_2 (stella di cui non vediamo lo spettro )

Red Hanuman
06-03-2017, 17:48
mazzolatore, Latex ha ripreso a funzionare, puoi inserire le formule come si deve...;)

mazzolatore
11-03-2017, 12:10
binarie a eclissi o fotometriche.



Per individuare le caratteristiche di stelle binarie con il metodo delle eclissi, si sfruttano misure di flusso(o luminositÓ) in funzione del tempo, poichÚ le stelle si eclissano a vicenda.
Le caratteristiche del sistema per fare tali misure sono:
- stelle vicine il che implica periodi corti allora cambiamento di magnitudini veloci visto che quando c'Ŕ un eclissi la luminositÓ diminuisce, inoltre il fatto che siano vicine aumenterÓ la probabilitÓ di vedere un eclissi.
- piano orbitale tangenziale alla linea di vista cioŔ i \approx 90░

Vediamo come.

22936

Questa foto forse ci chiarisce l'idea.
Quando una stella passa davanti all'altra la eclissa allora la luminositÓ misurata sarÓ minore della luminositÓ di quando sono visibili entrambe le stelle.

Inoltre se una stella Ŕ piu grade dell'altra avremmo che le "buche" su grafico saranno una piu profonda dell'altra.
In particolare la buca pi¨ profonda indica quando alla stella pi¨ piccola passa dietro, la buca meno profonda indica quando la stella piu piccola passa davanti.

Allora se definiamo la velocitÓ relativa come:

v = {v}_{s} + {v}_{l}

dove:
{v}_{s } velocitÓ stella small
{v}_{l } velocitÓ stella large

allora abbiamo che il raggio della stella small
{r}_{s } = \frac{v}{ 2}({t}_{b } - {t}_{ a})

mentre il raggio della stalla large

{r}_{l } = \frac{v}{ 2}({t}_{c }-{t}_{a }) = {r}_{s } +\frac{v}{ 2}({t}_{c }-{t}_{b })

E cosi abbiamo trovato i raggi, inoltre possiamo trovare alche il rapporto tra le temperature superficiali.

Ricordando che il FLUSSO Ŕ:
F = \delta{T}^{4 }

allora la luminositÓ sarÓ L = 4\pi{r}^{2}F

{L}_{0} = luminositÓ di quando entrambe le stelle sono visibili... sarÓ la somma delle luminositÓ delle singole stelle

{L}_{0} =k[(π{r}_{l })^{2}{F}_{rl} + (π{r}_{s })^{2}{F}_{rs}]

{L}_{1} = luminositÓ di quando la stella piccola passa dietro ... allora vedremo solo la luminositÓ della stella grande.

{L}_{1} =k[(π{r}_{l })^{2}{F}_{rl}]

{L}_{2} = luminositÓ di quando la stella piccola passa davanti.
Qui vedremo la luminositÓ della stella piccola + la luminositÓ della stella grande - luminositÓ della stella grande come se fosse grande come la stella piccola(la stella piccola sta davanti alla grande allora dobbiamo sottrarre la luminositÓ di una porzione di quella grande)
In formule:

{L}_{2} = k[(π{r}_{l })^{2} - (π{r}_{s })^{2}]{F}_{rl} + kπ{r}_{s })^{2}{F}_{rs}]


svolgendo i calcoli e facendo

\frac{{L}_{0} - {L}_{1}}{{L}_{0} - {L}_{2}}
che poi non sarebbe nient altro che il rapporto tra i minimi si semplificano i termini e troviamo

\frac{{L}_{0} - {L}_{1}}{{L}_{0} - {L}_{2}} = \frac{{F}_{rs}}{ {F}_{rl}} = \frac{\delta({T}_{s})^{4 }}{\(delta{T}_{l})^{4 } }

semplificando = {\frac{{T}_{ s}}{ {T}_{l }}}^{4 }

mazzolatore
11-03-2017, 12:11
A quanto pare latex mi ha abbandonato alla sesta riga :hm: