M.Vaglieco
05-09-2017, 14:40
L’OROLOGIO DI TYCHO BRAHE E LE LEGGI DI KEPLERO
Se Tycho Brahe avesse avuto sul comodino una sveglia anziché una clessidra…………………
25796
In un orologio che per comodità facciamo girare in senso antiorario, indichiamo l’estremità delle lancette: con S quella corta (r) delle ORE (rossa) e con P quella più lunga (R) dei MINUTI (verde), possiamo notare che quando esse sono in linea la loro distanza è una volta minima (come fosse un Perielio) e un’altra massima (come fosse un Afelio) e tutte le altre distanze intermedie sono comprese tra questi due valori.
Il valore delle loro distanze è facile calcolarla conoscendo l’angolo (E) tra le lancette R (verde) e r (rossa).
Sia allora l’Applet: https://www.geogebra.org/m/FXbsrwDn
CLICCA QUI per vedere l’Applet che mostra il grafico e lo sviluppo di una equazione, come indicata nell’applet stesso in “Valore del Punto Ell”.
PRIMA PARTE: DESCRIZIONE DELL’APPLET
a) In un orologio se facciamo partire le lancette dalla posizione ORE 12 in cui la distanza tra S e P è minima, ad ogni giro della lancetta lunga R pari a 360°=1h la corta r deve avanzare di 30°=1h con un rapporto V =360°/30°=12, come in figura.
Quando il punto P ha percorso 360°(1h) il punto S ne ha percorsi 30°(1h), ma il punto P non è ancora alla distanza minima da S, perché S si è anche lui spostato. Pertanto per poter arrivare nuovamente alla distanza minima da S cioè alla posizione di partenza, dovrà ancora percorrere 30° + C° gradi; perché mentre P si muove per percorrere i 30° contemporaneamente il punto S continuerà a muoversi come in Achille e la tartaruga.
b) La situazione a questo punto è:
• S e P sono in linea (distanza minima);
• P avrà infine percorsi 360°+30°+C°=360°+30°+2,5°=392,5° (arrotondato a 393° in applet).
Si tenga presente che l’applet dà la possibilità mediante le sue variabili (indicate) varie ipotesi grafiche; una importante di queste è la (V), che rapporta le velocità angolari delle lancette e per V=12 dà l’orologio come presentato, mentre per V=0 considera il punto S fermo sull’ascissa.
c) Notiamo che l’angolo compreso tra le lancette R e r è dato dalla differenza degli angoli α-δ= E (per V=0 è δ=0): allora la formula(Carnot) che fornisce tutti i valori delle distanze compresi anche un minimo (Pe) ed un massimo (Af) è:
*** SP=\sqrt{(R^2+r^2-2Rr\cos^2 E)} ***
d) Raccolti in una “Tavola” tutti i dati delle distanze SP, si presenteranno proprio come la «Tavola» compilata da Tycho Brahe, con le distanze tra Sole e Marte, lasciata in eredità a Keplero.
Da i valori delle misurazioni della Tavola di Tycho Brahe, Keplero dedusse e formulò la sua ipotesi supponendo che il punto P=(Marte) si muovesse secondo una curva ellittica ed il punto S=(Sole) doveva essere fisso nel punto fuoco.
Non aveva altra scelta!
Pertanto, se avessimo presentato i punti S e P, come due Pianeti, e il centro dell’orologio come il loro Centro di Massa, avrebbe considerato anche la nostra “Tavola” alla stessa stregua di quelle di Tycho e applicato ad essa le sue leggi.
SECONDA PARTE: ANALISI DELLA FORMULA ***
e) Nel caso in esame, non abbiamo bisogno di ipotizzare una Ellisse: l’abbiamo! è SP.
Nell’esempio dell’orologio, e non solo, la stessa equazione ci fornisce e le distanze, e la relativa ellisse (tracciata in blu nell’applet), senza la necessità di interpretazioni o ipotesi, come è costretto a fare Keplero.
Infatti l’equazione in SP fornisce non soltanto i valori delle distanze, ma esso stesso rappresenta una ellisse, come sappiamo dal “Teorema dei Pianeti”, di cui l’enunciato:
«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il suo centro.».
Che in formule vuol dire:
SP=\sqrt{(R^2+r^2-2Rr\cosE)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2 \frac{E}{2}+(R+r)^2 \sin^2 \frac{E}{2} }
dove l'ultima espressione è l'equazione di una ellisse, con (R+r) distanza massima e semi asse maggiore e con (R-r) distanza minima e semi asse minore, scritte come Af e Pe:
SP=\sqrt{(P_e^2 \cos^2 E/2+A_f^2 \sin^2 E/2 )} =\sqrt{1/2[P_e^2 (1+\cos E )+A_f^2 (1-\cos E)]}
y/x=\tan \beta=A_f/P_e \tan E/2
dove (beta) è l'angolo al centro dell'ellisse.
Nell’analisi di tale teorema il punto-fisso S e la circonferenza sono considerati complanari (per la dimostrazione di questo teorema nello SPAZIO vedi (www.Geometriaparametrica.it Equazione di Vag nello Spazio Indice Cap III Pag14).
La nostra complanarità è una esemplificazione discorsiva.
f) Il Teorema citato con le sue prerogative dimostra:
1. Corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse.
2. Velocità Areale (doppia sulla circonferenza che sull’ellisse)
3. Nell’ellisse Aree uguali in tempi uguali.
4. Perimetri uguali tra circonferenza e relativo ellisse:
2Rπ=(Af+Pe)π ma, attenzione, gli archi non sono uguali nei valori intermedi. Infatti gli archi di settore minore dei quarti di ellisse non sono uguali tra loro.
Grande importanza riveste il punto 1. perché risolve l’esempio empirico:
«Se prendo un anello (di metallo ad esempio) e lo stringo su due poli, l’anello si allarga assumendo la forma di una ellisse e più stringo più si allarga. Notiamo che l’area originale della circonferenza tende a zero se continuiamo a stringere, mentre il suo perimetro rimane sempre uguale a quello dell’anello iniziale».
Questa identità perimetrica e i valori degli archi sono in «www.geometriaparametrica.it Cap.VII “Area e Perimetro Ellisse”»
g) Mediante le formule sopra, ottenute dai valori delle distanze SP, nell’applet è tracciata una ellisse di raggio C-Ell=SP, ellisse di riferimento di raggi uguali alle distanze dei punti S, P e ricavata, non da una ipotesi, ma dalla stessa formula.
Tale ellisse rappresenta l’effettivo comportamento del punto P rispetto al punto S, per cui i valori dei suoi semiassi Af e Pe non possono risultare mai in linea, come invece vediamo sulla circonferenza: ciò è dovuto al principio fondamentale della loro Velocità Areale, doppia sulla circonferenza rispetto a quella dell’ellisse, com’è indicata chiaramente dall’analisi e che solo la nostra ellisse mette in evidenza.
TERZA PARTE: COMPARAZIONE
h) Supposti gli estremi P e S punti massa, le lancette la loro distanza dal Centro di Massa, vediamo che essi interagiscono tra loro secondo una distanza ellittica su un piano di riferimento che rappresenta quello in cui i veri punti massa si muovono.
Nell’applet, per comodità visiva abbiamo posto l’ellisse nello stesso piano del moto delle lancette, con centro in C, dove S≡C. Ed è giusto che l’ellisse non sia posizionale, perchè Newton, considera le interazioni delle masse tra loro e non la loro posizione rispetto ad un qualunque riferimento. Conoscere le distanze di due Masse e studiarle, non ci dice qual è la loro posizione nello spazio. Tuttavia anche Newton nelle sue formulazioni conclude con una conica (ellisse) che noi otteniamo, non secondo una ipotesi ma traendola direttamente dal valore SP come indicato in e).
i) LA TRAIETTORIA CIRCOLARE. Il “Teorema dei Pianeti” definito in e), nel suo enunciato, non indica la traiettoria circolare; questo perché nel caso è implicita: un uomo fermo all’equatore gira secondo una circonferenza e quindi rispetto ad un qualunque punto fermo dello spazio secondo una traiettoria ellittica, ma rispetto ad un qualunque punto della perpendicolare al centro dell’equatore come ad esempio il Polo, gira secondo una circonferenza di raggio costante ed uguale alla distanza tra l’uomo e il Polo.
l) Se mediante lo studio di un orologio abbiamo potuto ricavare un esempio che mi permette di ottenere quei valori che normalmente si ottengono mediante la diversa considerazione di Keplero
POSSIAMO ALLORA CONCLUDERE:
“I Pianeti ruotano secondo proprie Orbite Circolari e tutti, uno rispetto all’altro, secondo traiettorie Ellittiche”
Quindi la Luna (un Pianeta) che giri secondo una circonferenza avrà una traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche rispetto al Sole e così tutti i Pianeti!
Una legge Universale per tutti i corpi celesti.
################################################## ###############
APPLICAZIONI
Le leggi e i principi di Newton non essendo stati toccati, perché si rifanno proprio ad una ellisse di riferimento come da noi indicata, data non da una ipotesi ma ricavata da considerazioni prettamente matematiche, dovranno rimanere inalterati.
ATTENZIONE: CONTINUA SOTTO!
Se Tycho Brahe avesse avuto sul comodino una sveglia anziché una clessidra…………………
25796
In un orologio che per comodità facciamo girare in senso antiorario, indichiamo l’estremità delle lancette: con S quella corta (r) delle ORE (rossa) e con P quella più lunga (R) dei MINUTI (verde), possiamo notare che quando esse sono in linea la loro distanza è una volta minima (come fosse un Perielio) e un’altra massima (come fosse un Afelio) e tutte le altre distanze intermedie sono comprese tra questi due valori.
Il valore delle loro distanze è facile calcolarla conoscendo l’angolo (E) tra le lancette R (verde) e r (rossa).
Sia allora l’Applet: https://www.geogebra.org/m/FXbsrwDn
CLICCA QUI per vedere l’Applet che mostra il grafico e lo sviluppo di una equazione, come indicata nell’applet stesso in “Valore del Punto Ell”.
PRIMA PARTE: DESCRIZIONE DELL’APPLET
a) In un orologio se facciamo partire le lancette dalla posizione ORE 12 in cui la distanza tra S e P è minima, ad ogni giro della lancetta lunga R pari a 360°=1h la corta r deve avanzare di 30°=1h con un rapporto V =360°/30°=12, come in figura.
Quando il punto P ha percorso 360°(1h) il punto S ne ha percorsi 30°(1h), ma il punto P non è ancora alla distanza minima da S, perché S si è anche lui spostato. Pertanto per poter arrivare nuovamente alla distanza minima da S cioè alla posizione di partenza, dovrà ancora percorrere 30° + C° gradi; perché mentre P si muove per percorrere i 30° contemporaneamente il punto S continuerà a muoversi come in Achille e la tartaruga.
b) La situazione a questo punto è:
• S e P sono in linea (distanza minima);
• P avrà infine percorsi 360°+30°+C°=360°+30°+2,5°=392,5° (arrotondato a 393° in applet).
Si tenga presente che l’applet dà la possibilità mediante le sue variabili (indicate) varie ipotesi grafiche; una importante di queste è la (V), che rapporta le velocità angolari delle lancette e per V=12 dà l’orologio come presentato, mentre per V=0 considera il punto S fermo sull’ascissa.
c) Notiamo che l’angolo compreso tra le lancette R e r è dato dalla differenza degli angoli α-δ= E (per V=0 è δ=0): allora la formula(Carnot) che fornisce tutti i valori delle distanze compresi anche un minimo (Pe) ed un massimo (Af) è:
*** SP=\sqrt{(R^2+r^2-2Rr\cos^2 E)} ***
d) Raccolti in una “Tavola” tutti i dati delle distanze SP, si presenteranno proprio come la «Tavola» compilata da Tycho Brahe, con le distanze tra Sole e Marte, lasciata in eredità a Keplero.
Da i valori delle misurazioni della Tavola di Tycho Brahe, Keplero dedusse e formulò la sua ipotesi supponendo che il punto P=(Marte) si muovesse secondo una curva ellittica ed il punto S=(Sole) doveva essere fisso nel punto fuoco.
Non aveva altra scelta!
Pertanto, se avessimo presentato i punti S e P, come due Pianeti, e il centro dell’orologio come il loro Centro di Massa, avrebbe considerato anche la nostra “Tavola” alla stessa stregua di quelle di Tycho e applicato ad essa le sue leggi.
SECONDA PARTE: ANALISI DELLA FORMULA ***
e) Nel caso in esame, non abbiamo bisogno di ipotizzare una Ellisse: l’abbiamo! è SP.
Nell’esempio dell’orologio, e non solo, la stessa equazione ci fornisce e le distanze, e la relativa ellisse (tracciata in blu nell’applet), senza la necessità di interpretazioni o ipotesi, come è costretto a fare Keplero.
Infatti l’equazione in SP fornisce non soltanto i valori delle distanze, ma esso stesso rappresenta una ellisse, come sappiamo dal “Teorema dei Pianeti”, di cui l’enunciato:
«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il suo centro.».
Che in formule vuol dire:
SP=\sqrt{(R^2+r^2-2Rr\cosE)}=\sqrt{(R-r)^2 \cos^2 \frac{E}{2}+(R+r)^2 \sin^2 \frac{E}{2} }
dove l'ultima espressione è l'equazione di una ellisse, con (R+r) distanza massima e semi asse maggiore e con (R-r) distanza minima e semi asse minore, scritte come Af e Pe:
SP=\sqrt{(P_e^2 \cos^2 E/2+A_f^2 \sin^2 E/2 )} =\sqrt{1/2[P_e^2 (1+\cos E )+A_f^2 (1-\cos E)]}
y/x=\tan \beta=A_f/P_e \tan E/2
dove (beta) è l'angolo al centro dell'ellisse.
Nell’analisi di tale teorema il punto-fisso S e la circonferenza sono considerati complanari (per la dimostrazione di questo teorema nello SPAZIO vedi (www.Geometriaparametrica.it Equazione di Vag nello Spazio Indice Cap III Pag14).
La nostra complanarità è una esemplificazione discorsiva.
f) Il Teorema citato con le sue prerogative dimostra:
1. Corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse.
2. Velocità Areale (doppia sulla circonferenza che sull’ellisse)
3. Nell’ellisse Aree uguali in tempi uguali.
4. Perimetri uguali tra circonferenza e relativo ellisse:
2Rπ=(Af+Pe)π ma, attenzione, gli archi non sono uguali nei valori intermedi. Infatti gli archi di settore minore dei quarti di ellisse non sono uguali tra loro.
Grande importanza riveste il punto 1. perché risolve l’esempio empirico:
«Se prendo un anello (di metallo ad esempio) e lo stringo su due poli, l’anello si allarga assumendo la forma di una ellisse e più stringo più si allarga. Notiamo che l’area originale della circonferenza tende a zero se continuiamo a stringere, mentre il suo perimetro rimane sempre uguale a quello dell’anello iniziale».
Questa identità perimetrica e i valori degli archi sono in «www.geometriaparametrica.it Cap.VII “Area e Perimetro Ellisse”»
g) Mediante le formule sopra, ottenute dai valori delle distanze SP, nell’applet è tracciata una ellisse di raggio C-Ell=SP, ellisse di riferimento di raggi uguali alle distanze dei punti S, P e ricavata, non da una ipotesi, ma dalla stessa formula.
Tale ellisse rappresenta l’effettivo comportamento del punto P rispetto al punto S, per cui i valori dei suoi semiassi Af e Pe non possono risultare mai in linea, come invece vediamo sulla circonferenza: ciò è dovuto al principio fondamentale della loro Velocità Areale, doppia sulla circonferenza rispetto a quella dell’ellisse, com’è indicata chiaramente dall’analisi e che solo la nostra ellisse mette in evidenza.
TERZA PARTE: COMPARAZIONE
h) Supposti gli estremi P e S punti massa, le lancette la loro distanza dal Centro di Massa, vediamo che essi interagiscono tra loro secondo una distanza ellittica su un piano di riferimento che rappresenta quello in cui i veri punti massa si muovono.
Nell’applet, per comodità visiva abbiamo posto l’ellisse nello stesso piano del moto delle lancette, con centro in C, dove S≡C. Ed è giusto che l’ellisse non sia posizionale, perchè Newton, considera le interazioni delle masse tra loro e non la loro posizione rispetto ad un qualunque riferimento. Conoscere le distanze di due Masse e studiarle, non ci dice qual è la loro posizione nello spazio. Tuttavia anche Newton nelle sue formulazioni conclude con una conica (ellisse) che noi otteniamo, non secondo una ipotesi ma traendola direttamente dal valore SP come indicato in e).
i) LA TRAIETTORIA CIRCOLARE. Il “Teorema dei Pianeti” definito in e), nel suo enunciato, non indica la traiettoria circolare; questo perché nel caso è implicita: un uomo fermo all’equatore gira secondo una circonferenza e quindi rispetto ad un qualunque punto fermo dello spazio secondo una traiettoria ellittica, ma rispetto ad un qualunque punto della perpendicolare al centro dell’equatore come ad esempio il Polo, gira secondo una circonferenza di raggio costante ed uguale alla distanza tra l’uomo e il Polo.
l) Se mediante lo studio di un orologio abbiamo potuto ricavare un esempio che mi permette di ottenere quei valori che normalmente si ottengono mediante la diversa considerazione di Keplero
POSSIAMO ALLORA CONCLUDERE:
“I Pianeti ruotano secondo proprie Orbite Circolari e tutti, uno rispetto all’altro, secondo traiettorie Ellittiche”
Quindi la Luna (un Pianeta) che giri secondo una circonferenza avrà una traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche rispetto al Sole e così tutti i Pianeti!
Una legge Universale per tutti i corpi celesti.
################################################## ###############
APPLICAZIONI
Le leggi e i principi di Newton non essendo stati toccati, perché si rifanno proprio ad una ellisse di riferimento come da noi indicata, data non da una ipotesi ma ricavata da considerazioni prettamente matematiche, dovranno rimanere inalterati.
ATTENZIONE: CONTINUA SOTTO!