astrifiammante
21-01-2018, 09:53
Salve a tutti. Volevo chiedere se qualcuno, magari per hobby, ha giocato con il modello a sfere omocentriche di Eudosso. Prendiamo il modello più semplice, quello a due sfere: quella delle stelle fisse che ruota da est a ovest con periodo \tau= 1 giorno e quella della rotazione attorno allo zodiaco con periodo T= 365 giorni (facciamo cifra tonda dimenticando per ora un quarto). Avrei due domande.
1) Non ho capito perchè¨ Eudosso utilizzasse tre circonferenze anche col sole. Da quanto ho letto sapevano già in passato che si trattava di un errore (successivamente da Tolomeo in poi), per quale ragione era stata scelta questa posizione?
Per la seconda domanda, che formulerò dopo aver chiarito qualche conto, ricaviamoci il moto del sole in questo modello. Riferiamoci alla figura qui sotto nella quale Nord Sud è l'asse di rotazione della prima sfera con velocità angolare \omega=2\pi/\tau da est a ovest, mentre CD è l'asse di rotazione della seconda circonferenza, incastonato nella prima, e AB che rappresenta l'eclittica ed è¨ percorsa con velocità angolare \Omega=2\pi/T in senso antiorario.
27633
L'eclittica AB forma l'angolo \alpha=23,5° con l'equatore. Fissiamo poi il sistema \hat{\imath}_4,\hat{\jmath}_4, \hat{k}_4, solidale con la terra ove \hat{k}_4 punta verso il nord, \hat{\imath}_4 verso ovest e \hat{\jmath}_4ortogonale ai due esce dall'origine O dalla figura. Consideriamo in oltre unitario il raggio delle sfere. Sulla circonferenza zodiacale prendiamo il sistema \hat{\imath}_1,\hat{\jmath}_1, \hat{k}_1 ove \hat{k}_1 è¨ sull'asse CD e punta verso C, mentre \hat{\imath}_1,\hat{\jmath}_1sono sul piano dell'eclittica e ruotano con velocità angolare \Omega . Sia \hat{\jmath}_1 il vettore posizione del sole. Perciò al tempo t =0 il sole si trova nella posizione (0,1,0). Consideriamo poi la terna \hat{\imath}_2,\hat{\jmath}_2, \hat{k}_2, identica alla prima eccetto il fatto che i primi due versori non ruotano con la seconda sfera (fig sotto)
27634
Allora avremo che il trasformato \vec{u} di \hat{\jmath}_1 è:
\ \vec{u} =
\begin{pmatrix}\cos\Omega t & -\sin\Omega t & 0 \\ \sin\Omega t &\cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \hat{\jmath}_1 =
\begin{pmatrix}-\sin\Omega t \\ \cos\Omega t \\ 0 \end{pmatrix}
Consideriamo ora un sistema \hat{\imath}_3,\hat{\jmath}_3, \hat{k}_3 nel quale \hat{k}_3 forma un angolo \alpha con \hat{k}_2 fig. sotto
27635
Allora il trasformato \vec{v} di \vec{u} è:
\ \vec{v} =
\begin{pmatrix}\cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{pmatrix} \vec{u} =
\begin{pmatrix}-\sin\Omega t \cos\alpha \\ \cos\Omega t \\ \sin\Omega t \sin\alpha \end{pmatrix}
Concludiamo passando al sistema \hat{\imath}_4,\hat{\jmath}_4, \hat{k}_4 solidale con la terra fig sotto.
27636
Perciò il trasformato di \ \vec{z} di \ \vec{v} , nonchè il vettore posizione del sole nel sistema solidale con la terra , sarà:
\ \vec{z} =
\begin{pmatrix}\cos\omega t & \sin\omega t & 0 \\ -\sin \omega t & \cos \omega t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{v} =
\begin{pmatrix}-\cos\omega t \sin\Omega t \cos\alpha+\sin\omega t \cos\Omega t \\
\sin\omega t \sin\Omega t \cos\alpha+\cos\omega t \cos\Omega t \\
\sin\alpha\sin\Omega t \end{pmatrix}
Il vettore \vec{z} ha norma unitaria e questo è ok. Se ora in \vec{z} pongo \ t = 0 + k \tau,\ k\in N ottengo la curva che descrive la posizione del sole ad ogni mezzodì (si noti che t = 0 è mezzogiorno). La mia seconda domanda è questa:
2) In base ai calcoli sopra fatti con tale modello è possibile descrivere l'analemma ad una data ora (mezzogiorno o un qualsiasi t)? riesco a ricavare l'analemma dall'espressione di \\vec{z} ?
1) Non ho capito perchè¨ Eudosso utilizzasse tre circonferenze anche col sole. Da quanto ho letto sapevano già in passato che si trattava di un errore (successivamente da Tolomeo in poi), per quale ragione era stata scelta questa posizione?
Per la seconda domanda, che formulerò dopo aver chiarito qualche conto, ricaviamoci il moto del sole in questo modello. Riferiamoci alla figura qui sotto nella quale Nord Sud è l'asse di rotazione della prima sfera con velocità angolare \omega=2\pi/\tau da est a ovest, mentre CD è l'asse di rotazione della seconda circonferenza, incastonato nella prima, e AB che rappresenta l'eclittica ed è¨ percorsa con velocità angolare \Omega=2\pi/T in senso antiorario.
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L'eclittica AB forma l'angolo \alpha=23,5° con l'equatore. Fissiamo poi il sistema \hat{\imath}_4,\hat{\jmath}_4, \hat{k}_4, solidale con la terra ove \hat{k}_4 punta verso il nord, \hat{\imath}_4 verso ovest e \hat{\jmath}_4ortogonale ai due esce dall'origine O dalla figura. Consideriamo in oltre unitario il raggio delle sfere. Sulla circonferenza zodiacale prendiamo il sistema \hat{\imath}_1,\hat{\jmath}_1, \hat{k}_1 ove \hat{k}_1 è¨ sull'asse CD e punta verso C, mentre \hat{\imath}_1,\hat{\jmath}_1sono sul piano dell'eclittica e ruotano con velocità angolare \Omega . Sia \hat{\jmath}_1 il vettore posizione del sole. Perciò al tempo t =0 il sole si trova nella posizione (0,1,0). Consideriamo poi la terna \hat{\imath}_2,\hat{\jmath}_2, \hat{k}_2, identica alla prima eccetto il fatto che i primi due versori non ruotano con la seconda sfera (fig sotto)
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Allora avremo che il trasformato \vec{u} di \hat{\jmath}_1 è:
\ \vec{u} =
\begin{pmatrix}\cos\Omega t & -\sin\Omega t & 0 \\ \sin\Omega t &\cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \hat{\jmath}_1 =
\begin{pmatrix}-\sin\Omega t \\ \cos\Omega t \\ 0 \end{pmatrix}
Consideriamo ora un sistema \hat{\imath}_3,\hat{\jmath}_3, \hat{k}_3 nel quale \hat{k}_3 forma un angolo \alpha con \hat{k}_2 fig. sotto
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Allora il trasformato \vec{v} di \vec{u} è:
\ \vec{v} =
\begin{pmatrix}\cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{pmatrix} \vec{u} =
\begin{pmatrix}-\sin\Omega t \cos\alpha \\ \cos\Omega t \\ \sin\Omega t \sin\alpha \end{pmatrix}
Concludiamo passando al sistema \hat{\imath}_4,\hat{\jmath}_4, \hat{k}_4 solidale con la terra fig sotto.
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Perciò il trasformato di \ \vec{z} di \ \vec{v} , nonchè il vettore posizione del sole nel sistema solidale con la terra , sarà:
\ \vec{z} =
\begin{pmatrix}\cos\omega t & \sin\omega t & 0 \\ -\sin \omega t & \cos \omega t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \vec{v} =
\begin{pmatrix}-\cos\omega t \sin\Omega t \cos\alpha+\sin\omega t \cos\Omega t \\
\sin\omega t \sin\Omega t \cos\alpha+\cos\omega t \cos\Omega t \\
\sin\alpha\sin\Omega t \end{pmatrix}
Il vettore \vec{z} ha norma unitaria e questo è ok. Se ora in \vec{z} pongo \ t = 0 + k \tau,\ k\in N ottengo la curva che descrive la posizione del sole ad ogni mezzodì (si noti che t = 0 è mezzogiorno). La mia seconda domanda è questa:
2) In base ai calcoli sopra fatti con tale modello è possibile descrivere l'analemma ad una data ora (mezzogiorno o un qualsiasi t)? riesco a ricavare l'analemma dall'espressione di \\vec{z} ?