manzonis
06-11-2021, 01:01
Buonasera a tutti!
Probabilmente molti di voi in questo forum avranno sentito parlare di geodetiche nell'ambito della relatività generale (altrimenti potrebbe essere questo un buon momento per curiosare in rete! ;) ) e magari vi è qualcuno che potrebbe storcere un po' il naso leggendo che una particella si "muove lungo linee dritte in spazi curvi".
Cosa significa realmente muoversi lungo traiettorie rettilinee in spazi curvi? Prima di tutto iniziamo dalle cose semplici: il moto di una particella non soggetta a forze nell'usuale piano euclideo bidimensionale in coordinate (x,y). Immaginiamo due punti A e B nel piano: il percorso più breve che li collega è proprio un segmento di retta! La natura, infatti, in uno spazio piatto predilige moti che minimizzano il tempo necessario per raggiungere un generico punto B partendo da un punto A.
Quindi, nello spazio bidimensionale, il percorso più breve per collegare due punti è, ovviamente, una retta.
È noto, dai principi della dinamica, che una particella non soggetta a forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme e soddisfa l'equazione \textbf{a}=0, cioè l'accelerazione totale è nulla. Analogamente si può scrivere
\frac{d^2 x}{dt^2}=0
che rappresenta completamente il moto rettilineo uniforme di una particella non soggetta a forze, nello spazio piatto.
Cosa succede però quando lo spazio inizia a curvarsi?
Iniziamo dicendo però cos'è uno spazio curvo: matematicamente uno spazio si dice curvo se un vettore, trasportato parallelamente lungo una curva chiusa, punta in una direzione diversa da quella di partenza. In parole più semplici immaginiamo uno spazio curvo come una superficie sferica. Prendiamo in esempio la figura seguente (tratta da General Relativity: An Introduction for Physicists by Hobson)
45663
A sinistra vediamo un triangolo sferico lungo cui viene trasportato un vettore e si può notare come il vettore torni in posizione A con un angolo diverso da quello di partenza: questo sarà quindi considerato uno spazio curvo. A destra si nota lo stesso procedimento in uno spazio piatto: il vettore, tornato in A, punta nella stessa direzione di partenza.
Per i matematici, questo si può dire in "matematichese" come
il trasporto parallelo lungo due direzione diverse non commuta in uno spazio curvo e cioè
\left[\nabla_\mu,\nabla_\nu\right]V^\alpha\equiv\nabla_\mu\left(\nabla_\nu V^\alpha\right)-\nabla_\mu\left(\nabla_\mu V^\alpha\right)\neq 0
dove \nabla_\mu indica la derivata covariante lungo la direzione \mu.
Purtroppo ora, entrando nella cosiddetta geometria differenziale, mi tocca usare un po' di matematica per rafforzare la spiegazione, ma cercherò comunque di essere molto divulgativo per coloro che non masticano la matematica!:sowsuser:
Facendo un po' di conticini e conoscendo la nozione di derivata e di derivata covariante, compare un nuovo simbolo, detto connessione affine o simbolo di Christoffel \Gamma^\alpha_{\mu\nu}. Questo simbolo contiene molte informazioni sulla forma dello spazio in cui stiamo lavorando, contiene infatti una combinazione (lineare) delle derivate della metrica ed è definito come
\Gamma^\alpha_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda }\left(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\mu\lambda}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\right)
Con un po' di algebra l'equazione (2) si può riscrivere utilizzando questi simboli di Christoffel, definendo il famoso tensore di Riemann R^\alpha_{\sigma\mu\nu} che compare nelle equazioni di campo di Einstein. Questo tensore descrive perfettamente la forma e la curvatura dello spazio in cui ci siamo "trasferiti".
Torniamo ora alle nostre geodetiche. Queste geodetiche sono una estensione nello spazio curvo del concetto della linea dritta dello spazio piatto! Quindi una geodetica non sarà altro che il percorso che minimizza il tempo per collegare due punti in un qualsiasi spazio, piatto o curvo!
Una geodetica nello spazio piatto soddisfa, come abbiamo visto prima, l'equazione (1). Ma in uno spazio curvo come possiamo estendere questa relazione?
Dopo molta matematica, possiamo scrivere le equazioni della geodetica in un qualsiasi spazio con una metrica g_{\mu\nu} per una particella
\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}+\Gamma^\alpha_{\beta\g amma}\frac{dx^\beta}{d\tau}\frac{dx^\gamma}{d\tau} =0
Nonostante il second\o termine possa spaventare, questa non è altro che l'equazione (1) nel caso la particella si stesse muovendo in uno spazio curvo: compare infatti il simbolo di Christoffel che "spiega" come sia la curvatura dello spazio, "correggendo" l'equazione (1).
È facile notare infatti che nello spazio piatto euclideo bidimensionale la metrica vale
g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
Tutti i simboli di Christoffel, che contengono derivate della metrica, saranno nulli poiché la metrica è costante, e la derivata di una costante è nulla.
L'equazione (4) tornerà quindi ad assumere la più semplice e nota forma
\frac{d^2 x}{dt^2}=0
Abbiamo quindi visto che una geodetica non è altro che una linea "dritta" nello spazio curvo, cioè è l'estensione del concetto di retta in uno spazio curvo.
Per i più curiosi ora dimostreremo che l'equazione della geodetica (4), nel caso di un basso campo gravitazionale, con una metrica stazionaria e a velocità molto basse (v \ll c), si riduce all'equazione del moto di una particella di massa m in un potenziale gravitazionale \Phi(\vec{x}).
In un basso campo gravitazionale la metrica g_{\mu\nu}\approx\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu} dove \eta_{\mu\nu} è la metrica di Minkowski \eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1) e h_{\mu\nu} è una piccola perturbazione. Inoltre sappiamo che la derivata temporale della metrica è nulla poiché questa è stazionaria. Nei conti seguenti verrà considerata c=1 per velocizzare i conti.
L'equazione della geodetica diventa
\frac{du^\alpha}{d\tau}+\Gamma^\alpha_{\beta\gamma }u^\beta u^\gamma=0
dove u^\alpha è la quadrivelocità della particella. Ricordando che la velocità è molto più bassa di quella della luce, solamente u^0u^0 sarà predominante e quindi, in prima approssimazione, possiamo considerare solo il simbolo di Christoffel \Gamma^\alpha_{00} che vale
\Gamma^\alpha_{00}=\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda}\le ft(\partial_0 g_{\lambda 0}+\partial_0 g_{0\lambda}-\partial_\lambda g_{00}\right)
i primi due termini sono nulli in virtù delle ipotesi. Ricordando l'approssimazione della metrica possiamo scrivere
\Gamma^\alpha_{00}=-\frac{1}{2}g^{\alpha i}\partial_i g_{00}=-\frac{1}{2}\left(\eta^{\alpha i} + h^{\alpha i}\right)\left( \partial_i \eta_{00}+\partial_i h_{00}\right)
Al primo ordine in h_{\mu\nu} otteniamo
\Gamma^\alpha_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{\alpha i}\partial_i h_{00}\right)=-\frac{1}{2}\partial_i h_{00}
Ricordando che u^0u^0=1 abbiamo che
\frac{du^i}{d\tau}=\frac{1}{2}\partial_i h_{00}=\frac{1}{2}\nabla^i h_{00}
la quale ricorda esattamente la nota equazione
\frac{du^i}{d\tau}=-\nabla^i \Phi(\vec{x})
quando la correzione vale h_{00}=-2\Phi(\vec{x})
Per esempio la correzione sulla superficie terrestre vale h_{00}\simeq 10^{-9}, sulla superficie del Sole vale circa h_{00}\simeq 10^{-6} e sulla superficie di una nana bianca vale h_{00}\simeq 10^{-4}.
Probabilmente molti di voi in questo forum avranno sentito parlare di geodetiche nell'ambito della relatività generale (altrimenti potrebbe essere questo un buon momento per curiosare in rete! ;) ) e magari vi è qualcuno che potrebbe storcere un po' il naso leggendo che una particella si "muove lungo linee dritte in spazi curvi".
Cosa significa realmente muoversi lungo traiettorie rettilinee in spazi curvi? Prima di tutto iniziamo dalle cose semplici: il moto di una particella non soggetta a forze nell'usuale piano euclideo bidimensionale in coordinate (x,y). Immaginiamo due punti A e B nel piano: il percorso più breve che li collega è proprio un segmento di retta! La natura, infatti, in uno spazio piatto predilige moti che minimizzano il tempo necessario per raggiungere un generico punto B partendo da un punto A.
Quindi, nello spazio bidimensionale, il percorso più breve per collegare due punti è, ovviamente, una retta.
È noto, dai principi della dinamica, che una particella non soggetta a forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme e soddisfa l'equazione \textbf{a}=0, cioè l'accelerazione totale è nulla. Analogamente si può scrivere
\frac{d^2 x}{dt^2}=0
che rappresenta completamente il moto rettilineo uniforme di una particella non soggetta a forze, nello spazio piatto.
Cosa succede però quando lo spazio inizia a curvarsi?
Iniziamo dicendo però cos'è uno spazio curvo: matematicamente uno spazio si dice curvo se un vettore, trasportato parallelamente lungo una curva chiusa, punta in una direzione diversa da quella di partenza. In parole più semplici immaginiamo uno spazio curvo come una superficie sferica. Prendiamo in esempio la figura seguente (tratta da General Relativity: An Introduction for Physicists by Hobson)
45663
A sinistra vediamo un triangolo sferico lungo cui viene trasportato un vettore e si può notare come il vettore torni in posizione A con un angolo diverso da quello di partenza: questo sarà quindi considerato uno spazio curvo. A destra si nota lo stesso procedimento in uno spazio piatto: il vettore, tornato in A, punta nella stessa direzione di partenza.
Per i matematici, questo si può dire in "matematichese" come
il trasporto parallelo lungo due direzione diverse non commuta in uno spazio curvo e cioè
\left[\nabla_\mu,\nabla_\nu\right]V^\alpha\equiv\nabla_\mu\left(\nabla_\nu V^\alpha\right)-\nabla_\mu\left(\nabla_\mu V^\alpha\right)\neq 0
dove \nabla_\mu indica la derivata covariante lungo la direzione \mu.
Purtroppo ora, entrando nella cosiddetta geometria differenziale, mi tocca usare un po' di matematica per rafforzare la spiegazione, ma cercherò comunque di essere molto divulgativo per coloro che non masticano la matematica!:sowsuser:
Facendo un po' di conticini e conoscendo la nozione di derivata e di derivata covariante, compare un nuovo simbolo, detto connessione affine o simbolo di Christoffel \Gamma^\alpha_{\mu\nu}. Questo simbolo contiene molte informazioni sulla forma dello spazio in cui stiamo lavorando, contiene infatti una combinazione (lineare) delle derivate della metrica ed è definito come
\Gamma^\alpha_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda }\left(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\mu\lambda}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\right)
Con un po' di algebra l'equazione (2) si può riscrivere utilizzando questi simboli di Christoffel, definendo il famoso tensore di Riemann R^\alpha_{\sigma\mu\nu} che compare nelle equazioni di campo di Einstein. Questo tensore descrive perfettamente la forma e la curvatura dello spazio in cui ci siamo "trasferiti".
Torniamo ora alle nostre geodetiche. Queste geodetiche sono una estensione nello spazio curvo del concetto della linea dritta dello spazio piatto! Quindi una geodetica non sarà altro che il percorso che minimizza il tempo per collegare due punti in un qualsiasi spazio, piatto o curvo!
Una geodetica nello spazio piatto soddisfa, come abbiamo visto prima, l'equazione (1). Ma in uno spazio curvo come possiamo estendere questa relazione?
Dopo molta matematica, possiamo scrivere le equazioni della geodetica in un qualsiasi spazio con una metrica g_{\mu\nu} per una particella
\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}+\Gamma^\alpha_{\beta\g amma}\frac{dx^\beta}{d\tau}\frac{dx^\gamma}{d\tau} =0
Nonostante il second\o termine possa spaventare, questa non è altro che l'equazione (1) nel caso la particella si stesse muovendo in uno spazio curvo: compare infatti il simbolo di Christoffel che "spiega" come sia la curvatura dello spazio, "correggendo" l'equazione (1).
È facile notare infatti che nello spazio piatto euclideo bidimensionale la metrica vale
g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
Tutti i simboli di Christoffel, che contengono derivate della metrica, saranno nulli poiché la metrica è costante, e la derivata di una costante è nulla.
L'equazione (4) tornerà quindi ad assumere la più semplice e nota forma
\frac{d^2 x}{dt^2}=0
Abbiamo quindi visto che una geodetica non è altro che una linea "dritta" nello spazio curvo, cioè è l'estensione del concetto di retta in uno spazio curvo.
Per i più curiosi ora dimostreremo che l'equazione della geodetica (4), nel caso di un basso campo gravitazionale, con una metrica stazionaria e a velocità molto basse (v \ll c), si riduce all'equazione del moto di una particella di massa m in un potenziale gravitazionale \Phi(\vec{x}).
In un basso campo gravitazionale la metrica g_{\mu\nu}\approx\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu} dove \eta_{\mu\nu} è la metrica di Minkowski \eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1) e h_{\mu\nu} è una piccola perturbazione. Inoltre sappiamo che la derivata temporale della metrica è nulla poiché questa è stazionaria. Nei conti seguenti verrà considerata c=1 per velocizzare i conti.
L'equazione della geodetica diventa
\frac{du^\alpha}{d\tau}+\Gamma^\alpha_{\beta\gamma }u^\beta u^\gamma=0
dove u^\alpha è la quadrivelocità della particella. Ricordando che la velocità è molto più bassa di quella della luce, solamente u^0u^0 sarà predominante e quindi, in prima approssimazione, possiamo considerare solo il simbolo di Christoffel \Gamma^\alpha_{00} che vale
\Gamma^\alpha_{00}=\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda}\le ft(\partial_0 g_{\lambda 0}+\partial_0 g_{0\lambda}-\partial_\lambda g_{00}\right)
i primi due termini sono nulli in virtù delle ipotesi. Ricordando l'approssimazione della metrica possiamo scrivere
\Gamma^\alpha_{00}=-\frac{1}{2}g^{\alpha i}\partial_i g_{00}=-\frac{1}{2}\left(\eta^{\alpha i} + h^{\alpha i}\right)\left( \partial_i \eta_{00}+\partial_i h_{00}\right)
Al primo ordine in h_{\mu\nu} otteniamo
\Gamma^\alpha_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{\alpha i}\partial_i h_{00}\right)=-\frac{1}{2}\partial_i h_{00}
Ricordando che u^0u^0=1 abbiamo che
\frac{du^i}{d\tau}=\frac{1}{2}\partial_i h_{00}=\frac{1}{2}\nabla^i h_{00}
la quale ricorda esattamente la nota equazione
\frac{du^i}{d\tau}=-\nabla^i \Phi(\vec{x})
quando la correzione vale h_{00}=-2\Phi(\vec{x})
Per esempio la correzione sulla superficie terrestre vale h_{00}\simeq 10^{-9}, sulla superficie del Sole vale circa h_{00}\simeq 10^{-6} e sulla superficie di una nana bianca vale h_{00}\simeq 10^{-4}.