Onde elettromagnetiche nei plasmi

[mazzolatore]

Immaginiamo di inviare un onda elettromagnetica all'interno di un plasma
Si può fare?
Cosa succede?
E' possibile avere delle applicazioni sperimentali?

Ebbene un onda elettromagnetica può essere inviata all'interno del plasma, sotto opportune condizioni che vedremo.

Il procedimento logico che seguiamo è lo stesso del caso delle onde sonore all'interno dei fluidi. Un'onda è una perturbazione che si propaga in un mezzo, perciò nel caso delle onde sonore possiamo considerare le variabili tipiche che descrivono i fluidi, più delle perturbazioni a loro stesse di norma molto più piccole.

Le variabili sono densità, pressione, e velocità; le tipiche 5 grandezze che servono per descrivere il sistema che regola i fluidi.

\rho = \rho_0 + \rho '
P = P_0 + P '
\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v} '

Partendo da le equazioni che descrivono il sistema, le si sviluppa al 1° ordine, le si rimaneggia un pò, e si arriva alla relazione di dispersione, la quale ci dice se un'onda è dispersiva o meno.

Nel caso delle onde elettromagnetiche nei plasmi, l'approccio è lo stesso, con la differenza che ci sono altre variabili aggiuntive che descrivono il sistema certamente piu complesso:
\vec{E} = \vec{E}_0 + \vec{E}'
\vec{B} = \vec{B}_0 + \vec{B}'
\vec{J} = \vec{J}_0 + \vec{J}'

In ordine, campo elettrico, magnetico e densità di corrente.

nel caso di un'onda nel plasma (che supponiamo non sia presente campo E e B), allora sono proprio e solo E' e B' che generano la perturbazione ondulatoria che si propaga nel plasma.

Deriviamo allora quello che succede, scegliamo come sistema di equazioni 2 eq di maxwell:

\nabla \times E' = -\frac{\partial B'}{\partial t }
\nabla \times B' = \mu_0 J + \frac{1}{ c^2}\frac{\partial E'}{\partial t }

Combinando queste 2 equazioni ottengo:

-\nabla^2 E' + \nabla(\nabla\cdot E') = -\mu_0 \frac{\partial J}{\partial t} - \frac{1}{ c^2}\frac{\partial^2 E'}{\partial^2 t}

Essendo una equazione scritta tutta rispetto a E, tranne quel termine J, cerchiamo di esprimere in termine J in funzione di E.
J il vettore densità di corrente è:
\vec{J} = - n e \vec{v}
n densità delle particelle del plasma
e caricha
v velocità delle particelle nel plasma

Prendendo l'equazione di eulero:
\rho(\frac{\partial v}{\partial t } + (v \cdot \nabla) v = -\nabla P + fext
\rho(\frac{\partial v}{\partial t } + (v \cdot \nabla) v = - e n ( E' + v \times B)
\rho(\frac{\partial v}{\partial t } + (v \cdot \nabla) v = -e n E'
\rho\frac{\partial v}{\partial t } = -e n E'
m n \frac{\partial v}{\partial t } = -e n E'
n e \frac{\partial v}{\partial t } = -e^2 n E' \frac{1}{m }
\frac{\partial J}{\partial t } = e^2 n E' \frac{1}{m }
\frac{\partial J}{\partial t } = e^2 n E' \frac{\varepsilon_0}{m \varepsilon_0 }
\frac{\partial J}{\partial t } = \omega_p ^2 \varepsilon_0 E'

Che possiamo sostituire all'eq di prima
-\nabla^2 E' + \nabla(\nabla\cdot E') = -\mu_0 \omega_p ^2 \varepsilon_0 E'- \frac{1}{ c^2}\frac{\partial^2 E'}{\partial^2 t}

-\nabla^2 E' + \nabla(\nabla\cdot E') = \frac{\omega_p ^2 }{c^2 }E' - \frac{1}{ c^2}\frac{\partial^2 E'}{\partial^2 t}

Possiamo andare ad analizzare questa equazione per il campo E', sia la componente ortogonale, sia quella tangenziale rispetto a k, il vettore d'onda, cioè la direzione dell'onda.

Per farlo usiamo un trucco.

Noi sappiamo che il campo e-m, ma in generale, qualsiasi perturbazione ondulatorio, la possiamo scrivere in notazione esponenziale nel sequenza modo:
e^{i(k\cdot r - \omega t)}

Quindi se ne faccio una derivata rispetto il tempo, per via delle proprietà degli esponenziali, ottengo la stessa quantità moltiplicata per un fattore - i \omega
Se derivo nello spazio, ottengo un fattore i k

Ora il primo termine dell'equazione è stato ottenuto facendo \nabla \times \nabla \times E ovvero k \times k \times E. E se consideriamo con E solo la componente tangenziale a K, allora quel prodotto vettoriale è nullo quindi otterrò

0 = -\frac{\omega_p ^2}{c^2 }E ' + \frac{\omega^2}{c^2 }

\omega^2 = \omega_p ^2 per ogni valore di K.

cioè una relazione di dispersione che non dipenda Da K, il che significa che l'onda non si propaga in una direzione tangenziale a K.

Se andiamo invece a considerare la componente ortogonale a K ottengo una relazione di dispersione di questo tipo:

\omega^2 = c^2 K^2 + \omega_p ^2

Il che ci dice che l'onda è dispersiva, si propaga trasversalmente, con una velocità di fase e gruppo che cambiano in base alla frequenza (pulsazione):
in che modo?
v_f = \frac{c}{\sqrt{1-\frac{\omega_p ^2}{\omega^2 }} }
v_g = c \sqrt{1-\frac{\omega_p ^2}{\omega^2 }}

Che la velocità di fase può essere > della velocità della luce.
Ma la velocità di gruppo è sempre minore.
Se la frequenza dell'onda > della frequenza di plasma, l'onda propaga e il viceversa NO.
Perciò se ho una sorgente di onde, su un ampio spettro, e queste passano all'interno del plasma, in base alla frequenza, alcune viaggeranno piu veloci e altre piu lente, allora all'osservatore arriveranno con dei ritardi temporali.
Da questi ritardi (possibili misurare sperimentalmente) si può risalire ad un'importante misura chiamata DM, dispersion meause, che è una densità colonnare del plasma lungo la nostra linea di vista. Unitamente alla RM, rotation measure, si può stimare in campo magnetico galattico.
Se vi interessa, posso ricavare questa misura.

[Albertus]

una delle conclusioni più interessanti di questi studi è la seguente
il coefficiente di attenuazione di un onda elettromagnetica attraverso un plasma diminuisce rapidamente all'aumentare della frequenza dell'onda
Per questo motivo le comunicazioni satellitari avvengono a frequenze dell'ordine di GHz in modo da bucare la ionosfera
al contrario le onde radio lavorano a frequenze basse in modo da essere riflesse dalla ionosfera
Ma c'è un fatto ancora più importante ;)
Possiamo praticare il nostro hobby
la ionosfera è virtualmente trasparente alle frequenze del visibile per questo motivo vediamo le stelle, le galassie , le nebulose

[mazzolatore]

una delle conclusioni più interessanti di questi studi è la seguente
il coefficiente di attenuazione di un onda elettromagnetica attraverso un plasma diminuisce rapidamente all'aumentare della frequenza dell'onda


Questo non te lo so dire.
In teoria è vero che il coefficiente di assorbimento dipende dalla frequenza dell'onda.
E l'attenuazione di un'onda E-M è esponenziale in funzione dell'opacità:
\tau_{\nu} = \alpha_{\nu} S

Ma credo che dipenda sempre dal tipo di plasma. il coefficiente di assorbimento è vero che dipende dalla frequenza ma anche dalla densità del plasma (gas). Tant'è che la frequenza di taglio, quella che discrimina se in un plasma un onda passa o meno è proprio la freq di plasma:

\omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{\epsilon_0 m_e}}
Che iene conto appunto della densità dello specifico plasma che prendiamo in considerazione.


Se invece consideriamo l'atmosfera in generale, considerando anche gli altri strati come la troposfera e via dicendo questo discorso viene modificato, e vediamo dalla seguente immagine quali sono le bande passanti o meno.

48396

[Albertus]

sicuramente il coefficiente di assorbimento dipende anche dalla densità del plasma e da altri fattori quale il grado di ionizzazione
io comunque mi riferivo alla ionosfera terrestre
E' un dato di fatto che :

Le comunicazioni satellitari avvengono ad alta frequenza
le comunicazioni terrestre a bassa frequenza

l'unica spiegazione che mi viene in mente è :
Il coefficiente di attenuazione diminuisce all'aumentare della frequenza

Piuttosto la domanda che mi pongo è:
Per quale ragione ,a parità di tutto un plasma, è trasparente alle onde elettromagnetiche ad alta frequenze ?

La butto li, solo un ipotesi

L'unica interazione significativa è tra l'onda e gli elettroni liberi del plasma
gli ioni sono troppo pesanti per subire un'accelerazione significativa , a maggior ragione le molecole neutre
gli elettroni generano intorno a se un campo elettrico che interagisce col campo elettrico dell'onda che li mette in moto
gli elettroni in moto interagiscono col campo magnetico dell'onda e a loro volta creano un campo magnetico
il campo magnetico degli elettroni dipende solo dalla loro accelerazione e non dalla velocità
facendo i calcoli credo che l' accelerazione media degli elettroni dovrebbe diminuire rapidamente oltre ad una certa frequenza dell'onda elettromagnetica

[mazzolatore]

Se vuoi sapere che frequenza deve avere un onda per passare attraverso un plasma basta che l'onda soddisfi questa relazione

\omega > \omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{\epsilon_0 M_e }}

La frequenza dell'onda deve essere maggiore di quella di plasma, che è legata a meno di costanti "SOLO" alla densità, senza tirare in ballo il coefficiente di attenuazione.

Ora la frequenza di plasma della ionosfera non la ricordo di preciso, anche perche è fatta da vari gas e strati, comunque mi sembra sia dell'ordine di qualche decina di Mhz, massimo 1Ghz.
Questo perciò comporta che onde dell'ordine di qualche Mhz in giu, vengano riflesse, e dal Ghz in su riescono a passare.

Un modo operativo per misurare tale frequenza critica è inviare onde verso la ionosfera partendo da frequenza basse, e fare in modo che quando viene riflessa, l'onda incida su un rilevatore.

Via via si aumenta gradualmente la frequenza dell'onda e si vede se il rilevatore segna il ritorno dell'onda.
Nel momento in cui si raggiunge una frequenza per la quale sul rilevatore non viene registrata piu' l'onda che torna indietro, vuol dire che è passata. E in corrispondenza di quella frequenza circa si attesta la frequenza di plasma.


La spiegazione è la seguente:

stiamo parlando di quantità ondulatorie come le onde, perciò sappiamo che le possiamo esprimere sotto forma di seni e coseni, e se passiamo alla notazione esponenziale, avremo delle quantità caratterizzate da questo pezzo:

e^{i(kx -\omega t)}

Andando a prendere la legge di dispersione ricavata abbiamo che:
\omega = c^2 K^2 + \omega_p ^2
k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p ^2}{c^2}

Il che significa che se \omega < \omega_p, K è un numero immaginario allora sopra l'esponenziale otteniamo una quantità reale, che mi rappresenta un onda che esce dal plasma e mi neutralizza quella entrante. Quindi il plasma scherma l'onda e NON passa.


Dal punto di vista fisico la spiegazione è che un 'onda con una frequenza minore di quella di plasma, tenderà a modificare a spostare gli elettroni del plasma, Ma essendo la frequenza di plasma maggiore gli elettroni riescono a riadattarsi, risistemarsi in una configurazione in grado di schermare il campo elettrico dell'onda. Viceversa se la frequenza dell'onda è maggiore di quella di plasma, necessariamente gli elettroni non fanno in tempo a riassettarsi in una configurazione che scherma, perche' l'onda oscilla piu' velocemente di quanto possano fare loro.

[Albertus]

io partivo da una similitudine piuttosto semplice
la frequenza naturale di un sistema massa-molla è inversamente proporzionale alla radice della massa
se la frequenza della forzante è molto maggiore della frequenza naturale , la massa non si sposta
per la stessa ragione un onda elettromagnetica ad altissima frequenza non dovrebbe essere in grado di eccitare gli elettroni liberi del plasma e quindi passa indisturbata
lo stesso vale per gli ioni il cui contributo è in generale trascurabile a causa del loro peso pur avendo una carica elettrica