Metodo di Ipparco per determinare equinozi e solstizi

Salve a tutto il forum. Perdomatemi le lungaggini, ma devo esprimere il mio dubbio chiaramente. Vorrei chiedere se qualcuno ha un'idea di come Ipparco e gli antichi greci riuscivano a determinare gli istanti degli equinozi e dei solstizi. Perciò vi devo formulare tre domande. Generalmente venivano misurate le altezze del sole al meridiano sud. Ciò NON VUOL DIRE che equinozi e solstizi debbano necessariamente accadere a mezzogiorno. Si faceva uso dell'ipotesi che nell'arco di un giorno la declinazione del sole variasse poco (descrivesse in pratica una circonferenza). Per quanto riguarda gli equinozi è sufficiente un cerchio di Ipparco? Ovvero visto che, usando software di simulazione come stellarium, si vede che la differenza di altezza del sole fra un giorno e l'altro è circa venti primi d'arco (e anche meno)

1) il cerchio (magari di grandi dimensioni per apprezzare le differenze) avverte differenze nell'ombra proiettata sul suolo nel giorno dell'equinozio e nei giorni contigui o rimane sempre un segmento?
2)Un cerchio sufficientemente grande è in grado di rilevare l'istante esatto dell'equinozio nel giorno in cui quest'ultimo capita o viene proiettato un segmento per tutta la durata di questo giorno?

Le due domande sopra le ho scritte poichè volendo fare anche un controllo a posteriori è difficile determinare analiticamente la forma che deve avere l'ombra del cerchio in una determinata ora della giornata e per una generica declinazione del sole.

La situazione ai solstizi è poi ovviamente peggiore visto che in prossimità di questi giorni la variazione dell'altezza (e quindi declinazione) del sole è piccolissima (occorrerebbe misurare i secondi d'arco! cosa non fattibile con gli strumenti greci). Nell'almagesto Tolomeo fa riferimento alle rilevazioni di Ipparco le quali hanno un'accuratezza dell'ordine di quarto di giorno. Purtroppo le sue memorie sono andate perdute con l'incendio della biblioteca di alessandria. Questo sito https://people.sc.fsu.edu/~dduke/episodes3.pdf (pag.3, le figure e le tabelle si trovano a pag 12!) suggerisce che la determinazione degli equinozi e dei solstizi è stata operata con un'interpolazione lineare nell'intorno di ognuno dei quattro eventi. In oltre la deviazione standard è in accordo con la precisione di ipparco del quarto di giorno. Tuttavia mi sembra un'ipotesi poco veritiera visto che i greci non avevano in mano gli strumenti dell'interpolazione minimi quadrati (funzioni, derivate ecc.). Ecco quindi la terza domanda:

3) Come è riuscito Ipparco ad arrivare a questi rilevamenti degli equinozi e dei solstizi?

Ok ho visto che la determinazione degli equinozi veniva fatta per interpolazione ovvero approssimando l'altezza del sole o anche la declinazione del sole con una retta passante per i punti del mezzodì che precede l'equinozio e per i punti del mezzodì che segue immediatamente l'equinozio. Per sapere il mezzodì che precede immediatamente l'equinozio basta usare un cerchio di ipparco (anche qui ho letto che è in grado di fornire sia il giorno che l'ora in cui cade l'equinozio) oppure prendere il mezzodì con altezza in difetto più vicina alla colatitudine. Per sapere il mezzodì che segue immediatamente l'equinozio basta prendere il mezzodì con altezza in eccesso più vicina alla colatitudine. Ad esempio per quanto riguarda all'anno 2019 alla latitudine di roma (e dunque con colatitudine pari a ) abbiamo che, indicando con il mezzodì del 20 marzo nel quale si ha ed indicando con il mezzodì del 21 marzo nel quale si ha , e con e rispettivamente l'altezza e l'istante dell'equinozio:



da cui: e quindi riportando l'origine dei tempi alla mezzanotte (ora locale) in pieno accordo con l'istante 22.58 (https://www.timeanddate.com/calendar...ear=2000&n=215). Il metodo da buoni risultati. Se ad esempio come nel 2013 l'equinozio capita vicino a mezzogiorno (12.01 del 20 marzo) basta effettuare l'interpolazione lineare fra il giorno precedente (19 marzo) e quello seguente l'equinozio (21 marzo). Ovviamente poichè l'interpolazione in tal caso copre tre giorni invece che due l'errore aumenta, ma si hanno sempre buoni valori. Difatti visto che e posto mezzodì di 19 marzo e dunque otteniamo: che è in accordo con il valore vero 12.01 del 20 marzo.

Tuttavia sarei interessato a sapere a tal punto qual è l'incertezza sull'istante dell'equinozio? Possiamo supporre che, usando uno strumento di precisione con un grosso raggio e dotato di nonio che ci permetta di arrivare ai primi d'arco, le misure delle altezze siano precise (senza incertezze) (così come si giudicano precise le misure delle effemeridi per ottenere sempre interpolazioni). Tuttavia rimane sempre l'errore intrinseco dato dall'interpolazione che non possiamo conoscere visto che a priori non conosciamo la funzione o . E' lecito pensare che tale interpolazione da buoni risultati se consideriamo l'esperimento col cerchio di ipparco? In tal caso l'incertezza può essere la sensibilità dell'orologio equatoriale?