teoremi di Gauss e curva di rotazione della galassia

mi propongo di confrontare la curva di rotazione della nostra galassia con ciò che succede se “buchiamo” uno sferoide estremamente oblato (schiacciato) e pieno, di pari massa e pari raggio equatoriale rispetto alla galassia, proseguendo dal bordo equatoriale giù fino a giungere al centro. Ciò alla luce dei tradizionali teoremi di Gauss sulla sfera cava e quelle piena, e cercando di ricavare una funzione unitaria rispetto al raggio equatoriale di questo pseudo-disco.
Dopo di ciò si potrà confrontare il risultato alle varie distanze con le misurazione reali di Gaia, nelle due edizioni DR2 e DR3, che abbiamo ricavato:
- per quanto riguarda DR2 da questo articolo (da ora in poi G2):

https://academic.oup.com/mnras/artic...2/2107/5850386

- per quanto riguarda DR3 da questo studio (da ora in poi G3):

https://arxiv.org/pdf/2309.00048

In questa esposizione si pone in maniera convenzionale il bordo (o equatore) della galassia a 19,3 chiloparsec (da ora in poi kpc) dal centro.
Facciamo pari ad 1 questo raggio di 19,3 kpc, e chiamiamo ò la porzione di raggio fra 0 (centro) e 1 (bordo convenzionale). Questa porzione non è altro che un rapporto, il quale, essendo adimensionale, ci mette in condizione di studiare il variare della velocità in funzione delle porzioni di raggio sottese.
Se chiamiamo k la velocità di una particella satellite orbitante al raggio 1, e v la velocità orbitale prevista per ogni particella gemella ad ogni frazione ò, avremo v = k f(ò).
In maniera simile a come abbiamo fatto per stimare il raggio che abbiamo appena definito bordo, abbiamo stimato, con un procedimento iterativo che minimizzasse gli scostamenti con le misurazioni lungo tutta la curva e non soltanto in prossimità del bordo, k pari a 207,16 km/s. Ci proponiamo, con il tempo, di migliorare i risultati di queste iterazioni.

Per il combinato dei teoremi di Gauss, per una sfera piena di densità uniforme la velocità effettiva v è una semplice funzione lineare di ò, cioè: v = kò . Infatti, ad ogni porzione di raggio, conta solo la frazione di massa sottesa, che si comporta come una sfera piena (in realtà, per la densità galattica, si tratterebbe di una sfera molto molto rarefatta e porosa), e non la frazione esterna, che si comporta invece come un guscio cavo in cui tutta la massa esterna è in superficie (ragione per la quale non esprime alcuna gravità all’interno, in alcun punto).
Nel caso di uno sferoide estremamente oblato, ma ancora di densità uniforme, la funzione perde leggermente in linearità, trasformandosi in v = k 1/2(3-ò)ò .
Se però vogliamo prendere in considerazione una densità non uniforme ci allontaniamo molto dalla linearità.
Infatti il secondo ò di v = k 1/2(3-ò)ò è da considerarsi ad esponente 1/1, quel caso particolare di 1/n valevole nel caso di densità uniforme. Ma man mano che aumenta la non uniformità della densità, ovvero, a parità di massa, man mano che si ha un addensarsi relativamente maggiore di massa verso il centro, il valore dell’esponente del secondo ò varia secondo 1/n , con n via via maggiore.
Qui si assume un n = 6 , e quindi si ha, nel caso di uno sferoide estremamente oblato con distribuzione di densità stimata simile a quella della galassia, la funzione v = k 1/2(3-ò)ò^1/6 .

A questo punto, è il momento del confronto con le misurazioni effettive di Gaia, per i possibili riscontri.

Quanto ai riscontri con i dati di DR2, ricavati da G2 (Tab. 1), sostituendo k con 207,16, si ha (in km/s):
ò=0,259 (5,0 kpc), v=226,67 (G2: 230)
ò=0,280 (5,4 kpc), v=227,88 (G2: 223)
ò=0,311 (6,0 kpc), v=229,26 (G2: 229)
ò=0,342 (6,6 kpc), v=230,23 (G2: 229)
ò=0,383 (7,4 kpc), v=231,00 (G2: 232)
ò=0,404 (7,8 kpc), v=231,19 (G2: 231)
ò=0,435 (8,4 kpc), v=231,27 (G2: 232)
ò=0,538 (10,4 kpc), v=229,98 (G2: 230)
ò=0,560 (10,8 kpc), v=229,45 (G2: 230)
ò=0,585 (11,3 kpc), v=228,76 (G2: 227)
ò=0,635 (12,25 kpc), v=227,11 (G2: 229)
ò=0,661 (12,75 kpc), v=226,12 (G2: 227)

Quanto ai riscontri con i dati di DR3, ricavati da G3 (Tab. 3 pag. 5), sostituendo k con 207,16, si ha (in km/s):
ò=0,699 (13,5 kpc), v=224,53 (G3: 224,16)
ò=0,751 (14,5 kpc), v=222,09 (G3: 221,60)
ò=0,803 (15,5 kpc), v=219,39 (G3: 218,79)
ò=0,855 (16,5 kpc), v=216,45 (G3: 216,38)
ò=0,907 (17,5 kpc), v=213,29 (G3: 213,48)
ò=0,959 (18,5 kpc), v=209,94 (G3: 209,17)
ò=1,010 (19,5 kpc), v=206,47 (G3: 206,25)
ò=1,062 (20,5 kpc), v=202,76 (G3: 202,54)
ò=1,114 (21,5 kpc), v=198,90 (G3: 197,56)
ò=1,166 (22,5 kpc), v=194,89 (G3: 197,00)
ò=1,218 (23,5 kpc), v=190,75 (G3: 191,62)
ò=1,269 (24,5 kpc), v=186,56 (G3: 187,12)
ò=1,321 (25,5 kpc), v=182,17 (G3: 181,44)
ò=1,373 (26,5 kpc), v=177,67 (G3: 175,68)

Si tratta di 26 risultati molto soddisfacenti lungo oltre 21 kpc.
Il fatto che sembra esserci riscontro anche oltre i 19,3 kpc dimostra che il concetto di bordo è molto convenzionale.

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Certo, a questo punto qualcuno potrebbe chiedersi come mai l’iniziale k, la velocità da noi assunta come velocità orbitale radente il convenzionale bordo equatoriale, sia in ogni caso circa il doppio della velocità che ci si aspetta in relazione alla massa sottesa entro il bordo stesso.
Qui potrebbe venirci in aiuto ancora il guscio cavo di Gauss, in questo caso sotto la forma di un anello equatoriale di spessore molto piccolo rispetto al raggio equatoriale della galassia, ma contenente l’intera massa della galassia e vuoto all’interno.
In questo caso infatti la velocità tangenziale O sarebbe proprio quella attesa, cioè la metà di k. In un anello circolare si verifica, come si dice, il fatto che tutta la massa sta nel proprio raggio di inerzia. Il momento di inerzia dell’anello è pari a MR^2 (con M massa galattica ed R raggio della galassia-anello).
Ma un disco pieno di eguale massa e di eguale raggio rispetto all’anello sottile invece ha un momento di inerzia pari a 1/2MR^2. E di conseguenza, a parità di massa, inevitabilmente - per il principio di conservazione del momento angolare (che è il prodotto del momento di inerzia per la velocità angolare) - si ha che se il momento di inerzia è la metà, allora la velocità angolare al bordo deve essere doppia.
Poiché velocità angolare e velocità tangenziale (o orbitale) variano nella medesima proporzione, ecco che k, la velocità al bordo del disco, è 2O , due volte la velocità della particella satellite orbitante nell’anello.
Probabilmente, proprio il raggio al quale si verifica la relazione k = 2O (il raggio al quale la galassia starebbe se stesse tutta intera nel proprio raggio di inerzia) andrebbe perciò definito “bordo convenzionale” della galassia.