Geometria dell'universo

Per quanto riguarda la superficie sferica di raggio dobbiamo fare un po' più di conti.. :razz:

Notazione e premessa:

1. La virgola negli indici indica la derivata, per esempio
   
2. Consideriamo ora una metrica tempo indipendente, quindi avremo solo due coordinate: .

Partiamo dalla metrica:

Ricordiamo la definizione dello scalare di Ricci dove è la contrazione del tensore di Riemann. Il tensore di Riemann a sua volta è definito come

dove gamma sono i simboli di Christoffel

Gli unici simboli di Christoffel non nulli saranno e .

Ora abbiamo tutto! Basta "solamente" tanta voglia di fare conti e derivate, però in maniera molto lineare si può calcolare il valore del tensore di Riemann, farne la contrazione del primo e terzo indice ottenendo il tensore di Ricci e ulteriormente contrarre questo per ottenere lo scalare di Ricci.

Ovviamente questi conti sono lunghissimi. Conviene sfruttare una proprietà fondamentale dello spaziotempo. Preso un qualunque punto P in ogni spaziotempo, è possibile scegliere un sistema di coordinate tale che la metrica sia quella di Minkowski. Questo sistema viene detto Local Inertial Frame (LIF). In questo modo, se riusciamo a trovare un punto in cui e , i conti si semplificano di molto! Infatti lo scalare di Ricci assume la forma:

È possibile costruire al polo nord della sfera un sistema di coordinate che soddisfi le condizioni dette poco fa: al polo è quindi possibile costruire un LIF semplificando i conti. La metrica quindi in prossimità del polo nord vale

Sembra molto più complessa ma, esattamente al polo (con x=0 e y=0) questa diventa l'identità . Calcoliamo R con la (4) sommando su tutti gli indici:

Molti termini si annullano e giungiamo alla forma

Le derivate seconde della metrica valgono

Possiamo finalmente concludere facendo questa ultima somma:

Ed eccoci al risultato! La curvatura di una sfera di raggio vale al polo nord. Ora, dato che la sfera è simmetrica, la curvatura al polo nord sarà la stessa in ogni altro punto sulla superficie sferica!