L'esagono di Saturno

[Arzak]

Si certamente il valore della quantità cambia se cambi l'unità di misura ma il rapporto (la frazione) a cui fai riferimento rimane sempre lo stesso. Quando consideri una qualsiasi operazione fra due quantità esse devono essere espresse nella stessa unità di misura, altrimenti non ha alcun senso. Quindi il numero d'onda, pur al limite cambiando valore cambiando l'unità di misura, si rapporta esattamente allo stesso modo con la frequenza di rotazione, perchè anche per la frequenza dovrai cambiare l'unità di misura in modo identico.

I lettori scuseranno la mia petulanza, ma credo sia il caso di approfondire qualche concetto che altrimenti resterebbe oscuro a chi non è del tutto addentro a tali questioni. Come ad esempio a me.
Anche Enrico mi perdonerà, ma la stringatezza della sua risposta, di cui non dubito della correttezza, in assenza di esempio concreti mi appare ancora criptica.
Intanto sono perplesso di fronte all'affermazione "Quando consideri una qualsiasi operazione fra due quantità esse devono essere espresse nella stessa unità di misura, altrimenti non ha alcun senso."
Evidentemente il concetto va completato, altrimenti permane un'inesattezza. Ciò che definisci in questo modo è un numero adimensionale, ma non mi pare che di ciò si stia trattando. Quando esprimo ad esempio una velocità come rapporto fra spazio e tempo queste due ultime grandezze non sono certo rappresentate dalla stessa unità di misura. Forse avresti dovuto scrivere quantità omogenee, ma in questo caso non capisco quali essendo il numero d'onda espresso come rapporto fra due quantità differenti, quale numero di onde e lunghezza.

Se poi parliamo di un'onda in relazione all'esempio per cui l'abbiamo tirata in ballo, e cioè l'esagono di Saturno dovremmo considerare non solo il numero d'onda il cui valore, ribadisco, varia a seconda dell'unità di misura scelta e che quindi non ha senso collegare con la velocità di rotazione del vortice; perchè il discorso abbia senso occorre invece introdurre anche la velocità di propagazione dell'onda, cosa che fai solo in modo sottinteso.

In alte parole, se non si introduce il concetto di tempo non è possibile collegare una grandezza esclusivamente spaziale, come il numero d'onda, ad un fenomeno rotatorio legato quindi alla frequenza.

In sostanza credo ancora che stiamo dicendo le stesse cose in modo diverso ma forse poco chiaro. In ogni caso, per coinvolgere anche chi legge, le relazioni che valgono nel caso delle onde sono :

n (numero d'onda) = oscillazioni per unità di lunghezza
λ (lunghezza d'onda) = distanza fra due creste = 1/n
f (frequenza dell'onda) = oscillazioni per unità di tempo
v (velocità di propagazione dell'onda) = λ f


Credo che almeno su questo vi possa essere una concordanza inequivoca.

[Enrico Corsaro]

Ciao @Arzak,

ok sono stato probabilmente troppo criptico e sintetico, provo a spiegarmi meglio. Quando parlo di operazioni fra quantità, intendo in generale operazioni algebriche fra quantità omogenee o in unità consistenti. Come tu giustamente hai detto, quantità confrontate fra loro devono essere omogenee, cioè essere espresse nella stessa unità di misura.
Nel nostro caso, un numero d'onda, o lunghezza d'onda che sia, non ha alcun significato se preso a se stante, cioè senza essere confrontato con una dimensione caratteristica. Per questo ribadisco che cambiare l'unità di misura non ha alcun effetto sulla spiegazione del fenomeno, nè sulla caratteristica dell'onda in questione, si tratta solo di un riferimento numerico, nulla di più.

Ha invece senso confrontare la lunghezza d'onda, od il numero d'onda se preferisci, per una dimensione caratteristica (od il suo inverso) che riguarda il fenomeno in esame. Questa dimensione potrebbe essere ad esempio la lunghezza della circonferenza zonale corrispondente allo schema nuvoloso di cui parli, oppure una profondità atmosferica che va dalla latitudine a 78° Nord all'asse di rotazione del pianeta. A prescindere da quale unità di misura si adoperi, le due quantità devono essere espresse in ugual modo ed un loro rapporto darà luogo ad un numero adimensionato che potrebbe essere di fatto un particolare numero di risonanza, cioè un numero intero come rapporto.
In modo analogo si può confrontare questo rapporto adimensionato con un altro rapporto, ad esempio quello fra il periodo di rotazione dello schema nuvoloso (o se preferisci la frequenza) ed il periodo di rotazione ad una diversa zona latitudinale (od il suo inverso), ad esempio quella equatoriale.

Questo era semplicemente il punto del mio discorso. Tuttavia, non sembra che un modello che coinvolga una semplice rotazione di tipo differenziale sia sufficiente a spiegare il fenomeno. Come ti avevo scritto, si tratta in pratica di un effetto nonlineare, il che implica che non è direttamente raffigurabile con un semplice schema ma richiede l'evoluzione di un sistema sotto determinate condizioni a contorno e la successiva analisi dello stadio finale raggiunto dopo un determinato tempo.

[Arzak]

A questo punto si potrebbe dire che l'argomento dell'esagono di Saturno, grazie anche agli autorevoli interventi degli amici, sia stato sufficientemente trattato e spiegato. Per completezza però, ma soprattutto per un puro sfizio accademico, spenderei ancora qualche riga per tentare di approfondire uno spunto a cui ho accennato sopra e che compare anche in qualche altro intervento sul tema. L'ipotesi mareale, ossia l'influenza gravitazionale che può avere un satellite sull'andamento dei fenomeni atmosferici di un pianeta.


Per procedere in modo ultrasemplificato ipotizziamo inizialmente la presenza di un solo satellite. Perché questo produca effetti periodici è necessario che abbia un'orbita fortemente ellittica, altrimenti la sua influenza sarebbe costante su tutta la sua orbita. Vedi figura.




Se poi vogliamo che tale influenza si verifichi con la periodicità voluta, la velocità angolare del satellite e quella del vortice su cui si pensa possa agire devono avere un legame ben preciso. Sia ad esempio la velocità angolare del vortice W_vort pari a 2/3 di quella del satellite W_sat :


W_vort = 2/3 W_sat


In questo modo quando ad esempio il satellite compie metà della sua orbita, ossia 180°, il vortice ruota di 120°. In conclusione ad ogni mezzo giro del satellite il vortice si sposta come in figura. E' facile constatare che l'influenza gravitazionale del satellite si esercita inizialmente sul punto 1 del vortice (già disegnato come un esagono per chiarezza), dopo mezzo giro sul punto 2, quindi sul punto 3 ecc, fino a completare la propria opera al terzo giro completo, teoricamente modificando il cerchio del vortice fino a fargli assumere una figura esagonale.

[Arzak]

Quella esposta sopra è ovviamente un'ipotesi teorica ma non del tutto stravagante, se consideriamo il fenomeno delle meree sul nostro pianeta dotato di un solo satellite importante. Nella realtà occorrerebbe studiare cosa accade nel caso in cui i satelliti siano più di uno. Anche qui per semplificare limitiamoci al caso di due satelliti con orbite complanari. In questa ipotesi non è necessario che le orbite siano fortemente ellittiche, in quanto la periodicità dell'influenza gravitazionale è garantita non dal passaggio ravvicinato di un satellite, ma dall'azione concordante che questi possono esercitare in alcuni momenti della loro orbita. Vedi figura.



Come ulteriore semplificazione tolemaica immaginiamo che il pianeta sia fermo e che i satelliti ruotino attorno ad esso con le velocità illustrate.
Immaginiamo che inizialmente i satelliti siano allineati col punto 1 del vortice. La loro azione gravitazionale sarà ovviamente massima. Il satellite B si sposti quindi di 60° in senso antiorario. Dal momento che il satellite interno A in genere ruota con velocità maggiore di quello esterno, per allinearsi nuovamente sul punto 2 dovrà compiere un giro intero più 60°. In definitiva:

alfa_B= 60°
alfa_A= 360° + 60° = 420°


I due spostamenti angolari avvengono nello stesso tempo, per cui W_A = 7 W_B
La proporzionalità ottenuta non è pari a 6 come qualcuno si sarebbe potuto aspettare, perché ad ogni giro il satellite A, per raggiungere B, deve compiere un ulteriore spostamento di 60°, che dopo 6 passi successivi di B equivale a 360°, ossia ad un giro completo in più.


Anche in questo caso i risultati ottenuti sono del tutto teorici. Nel caso di Saturno poi i satelliti da prendere in considerazione sono più di 60, anelli esclusi, ed il calcolo delle maree in tale situazione è davvero improponibile a chi non sia dotato di mezzi e di capacità sovrumane.
Se però, per una remotissima ed improbabilissima eventualità qualche centro di calcolo, se non l'ha già fatto, si dedicasse a tale impresa, e se per un'ulteriore assurda infinitesima ipotesi venisse davvero fuori qualcosa di simile a quanto ipotizzato, davvero giuro che pago da bere a tutti. Non foss'altro perchè le ipotesi più rudimentali sono anche le più facili da capire...

[Enrico Corsaro]

Ciao Arzak,

gli schemini proposti sono molto simpatici e illustrativi del problema che poni.
Gli effetti mareali sono importanti nei moti orbitali, sia planetari che stellari e possono produrre effetti anche molto complessi. In generale diciamo che per il caso che proponi occorre una considerazione importante.
Lo schema nuvoloso esagonale che rappresenti è sostanzialmente centrato sul polo. Immagino dalla figura che tu poni per semplicità il piano orbitale dei satelliti coincidente con il piano equatoriale del pianeta. Questo fa si che l'azione gravitazionale dei satelliti sul pianeta sia di fatto efficiente lungo la congiungente tra il satellite ed il centro del pianeta. La componente della forza gravitazionale che invece agisce sull'esagono sarà piuttosto ridotta, poichè da un lato diventa proporzionale al coseno dell'angolo tra la congiungente esagono-satellite e satellite-centro pianeta, e dall'altro la quantità di massa del pianeta che agisce in corrispondenza dell'esagono è molto più ridotta rispetto a quella a partire dall'equatore. Per calcolare il contributo effettivo dovremmo realizzare una integrazione del potenziale gravitazionale ed utilizzare un sistema di coordinate possibilmente cilindrico. Per queste considerazioni gli effetti mareali diventano significativi solo in corrispondenza del piano orbitale. Ciò che nè segue nelle altre zone della superficie o dell'atmosfera che sia, è una conseguenza della distorsione che avviene sul piano orbitale e non della diretta azione delle forze mareali.

Inoltre, il fatto di "tirare" sui vari punti dell'esagono come tu mostri in maniera semplificata e che in linea teorica ha certamente senso, non avviene nella realtà poichè tu stai parlando di un fenomeno dentro la stessa atmosfera, e non dell'atmosfera nel suo insieme. Stai cioè immaginando che l'esagono sia un oggetto a se stante, e che si comporti come un corpo elastico (ad esempio una gelatina per intenderci), che può semplicemente essere stiracchiato da una parte o dall'altra. Quello che invece mi aspetterei che accadesse in prima approssimazione è che sia l'intera calotta atmosferica del pianeta a deformarsi, seguendo il moto orbitale del satellite e dunque allungandosi in sua direzione ed in quella diametralmente opposta per effetto della gravità planetaria. La figura che allego mostra esattamente l'effetto mareale per il caso Terra-Luna, dove il caso è applicato agli oceani per spiegare appunto le maree.
FG07_21.jpg

In secondo luogo, questo stiramento atmosferico planetario può dare luogo internamente a moti turbolenti e che per dissipare l'energia accumulata dallo stiramento mareale possono anche generare vortici che vanno fino a molto in profondità dentro l'atmosfera. Tuttavia non è possibile visualizzare nè schematizzare questo tipo di effetti, poichè sono di tipo non lineare ancora una volta.

Dunque mentre l'effetto mareale su di una atmosfera o sugli oceani è ben visualizzabile e schematizzabile, almeno in prima approssimazione, gli effetti prodotti in un fluido che è stato deformato per effetto mareale sono non lineari e dunque non predicibili in sostanza, ma solo in approssimazione riproducibili tramite l'evoluzione e lo studio di un sistema con condizioni analoghe.

[Arzak]

il fatto di "tirare" sui vari punti dell'esagono come tu mostri in maniera semplificata e che in linea teorica ha certamente senso, non avviene nella realtà poichè tu stai parlando di un fenomeno dentro la stessa atmosfera, e non dell'atmosfera nel suo insieme. Stai cioè immaginando che l'esagono sia un oggetto a se stante, e che si comporti come un corpo elastico (ad esempio una gelatina per intenderci), che può semplicemente essere stiracchiato da una parte o dall'altra. Quello che invece mi aspetterei che accadesse in prima approssimazione è che sia l'intera calotta atmosferica del pianeta a deformarsi, seguendo il moto orbitale del satellite e dunque allungandosi in sua direzione ed in quella diametralmente opposta per effetto della gravità planetaria.

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In secondo luogo, questo stiramento atmosferico planetario può dare luogo internamente a moti turbolenti e che per dissipare l'energia accumulata dallo stiramento mareale possono anche generare vortici che vanno fino a molto in profondità dentro l'atmosfera. Tuttavia non è possibile visualizzare nè schematizzare questo tipo di effetti, poichè sono di tipo non lineare ancora una volta.

Non temere, mi rendo ben conto dei limiti dei miei schemini, e l'ho anche premesso. Ero conscio di aver trascurato il fatto che l'influenza gravitazionale nella mia ipotesi fosse prevalentemente equatoriale, mentre l'esagono si trova al polo. Quello che avevo dimenticato è che le maree hanno un andamento simmetrico, e non unidirezionale. Ciò non cambierebbe molto essendo l'esagono simmetrico a sua volta. Credo però che la causa della simmetria delle maree andrebbe ricercata più nella forza centrifuga che nella gravità planetaria. Direi anzi nell'effetto combinato della forza centrifuga, della gravità terrestre e dell'azione gravitazionale della Luna, non so se convieni.

Circa la profondità del vortice, mi pare di aver letto proprio in questo stesso forum che la stessa permanenza del fenomeno dopo decine di anni testimonia il fatto che possiede una grande inerzia, e che quindi deve necessariamente svilupparsi anche nelle zone interne del pianeta.

E' poi certamente vero che nella mia strampalata ipotesi io abbia immaginato il vortice come un oggetto quasi gelatinoso, e quindi "stiracchiabile", avevo fatto anche il paragone con un elastico immerso nella polenta in rotazione. Me lo suggeriva l'aspetto stesso del vortice, con quei bordi inspessiti, e la palese differenza cromatica con le masse nuvolose circostanti. Un po' come la macchia rossa di Giove, che mantiene una sua identità di oggetto nuvoloso a sé stante, e quindi probabilmente dotato di una composizione chimica e di una densità ben distinte dal resto dell'atmosfera, ipotesi che fra l'altro sta alla base delle spiegazioni più convincenti del fenomeno di Saturno.

[Enrico Corsaro]

Credo però che la causa della simmetria delle maree andrebbe ricercata più nella forza centrifuga che nella gravità planetaria. Direi anzi nell'effetto combinato della forza centrifuga, della gravità terrestre e dell'azione gravitazionale della Luna, non so se convieni.

Si, c'è da dire che gli effetti mareali sono un effetto di secondo ordine della forza gravitazionale, e non sono legati alla rotazione di per sè. Tuttavia sul lato opposto a quello in cui agisce la forza mareale, l'inerzia data dalla rotazione fa si che si crei un rigonfiamento, dovuto alla minore forza gravitazionale in azione sul lato opposto. La rotazione però è sua volta inficiata dagli effetti mareali che portano generalmente il sistema a sincronizzare moto di rotazione e moto orbitale, così come ad esempio è già avvenuto per la Terra e la Luna.
Il fatto che vediamo sempre la stessa faccia della Luna, cioè che la Luna orbita esattamente in un periodo pari a quello della sua rotazione (circa 1 mese), è dovuto al fatto che il sistema è evoluto per effetto delle forze mareali in una condizione detta "tidally locked", cioè bloccata dalle stesse forze mareali e sincronizzata dunque nel moto di rotazione. Questo avviene anche per molte stelle binarie.

[Arzak]

Il fatto che vediamo sempre la stessa faccia della Luna, cioè che la Luna orbita esattamente in un periodo pari a quello della sua rotazione (circa 1 mese), è dovuto al fatto che il sistema è evoluto per effetto delle forze mareali in una condizione detta "tidally locked", cioè bloccata dalle stesse forze mareali e sincronizzata dunque nel moto di rotazione. Questo avviene anche per molte stelle binarie.

Vediamo se questa volta riesco a scrivere qualcosa di sensato: considerando le cose dal punto di vista energetico, mi pare di poter dire che le maree consumano una grande quantità di energia, comportando lo spostamento di masse d'acqua per effetto di forze gravitazionali e centrifughe (Energia = Lavoro = Forza per spostamento).
Questa energia deve essere necessariamente sottratta al sistema Terra-Luna. Se inizialmente la Luna possedeva una rotazione anche attorno al proprio asse con un tempo diverso da quello del moto di rivoluzione attorno alla Terra (meglio: attorno al baricentro TL), l'economia energetica del sistema ha fatto sì che tale rotazione col tempo si esaurisse in quanto la sua energia gli è stata in qualche modo "sottratta" da quella dissipata dalle maree.
Se questo è vero, mi viene da pensare che se la Terra fosse un ellissoide rigido come quello illustrato ma privo di masse fluide, forse la Luna continuerebbe a girare anche attorno a sé stessa...
Può funzionare?

[Red Hanuman]

Vediamo se questa volta riesco a scrivere qualcosa di sensato: considerando le cose dal punto di vista energetico, mi pare di poter dire che le maree consumano una grande quantità di energia, comportando lo spostamento di masse d'acqua per effetto di forze gravitazionali e centrifughe (Energia = Lavoro = Forza per spostamento).
Questa energia deve essere necessariamente sottratta al sistema Terra-Luna. Se inizialmente la Luna possedeva una rotazione anche attorno al proprio asse con un tempo diverso da quello del moto di rivoluzione attorno alla Terra (meglio: attorno al baricentro TL), l'economia energetica del sistema ha fatto sì che tale rotazione col tempo si esaurisse in quanto la sua energia gli è stata in qualche modo "sottratta" da quella dissipata dalle maree.
Se questo è vero, mi viene da pensare che se la Terra fosse un ellissoide rigido come quello illustrato ma privo di masse fluide, forse la Luna continuerebbe a girare anche attorno a sé stessa...
Può funzionare?

Se ho ben capito il meccanismo, l'energia non viene dissipata ma convertita.
Per il sistema Luna - Terra questo ha comportato un rallentamento della rotazione sull'asse (si pensa che la Terra avesse inizialmente un periodo di rotazione di 3 ore circa, contro le 24 circa odierne), che per la Luna ha comportato la sincronia tra rotazione e rivoluzione; ma il momento angolare di rotazione si è trasferito all'orbita lunare, allontanandola la Luna dalla Terra (inizialmente, la Luna doveva orbitare intorno alla Terra a 25mila chilometri, contro i circa 384 mila attuali).
Tutt'ora, la Luna si allontana dalla Terra di circa 3,8 cm l'anno, mentre la rotazione terrestre rallenta di 2,3 millisecondi ogni secolo.

[Arzak]

Se ho ben capito il meccanismo, l'energia non viene dissipata ma convertita.

Beh, sì, in gran parte convertita, ma in piccola parte sicuramente anche dissipata come attrito interno fra le masse d'acqua e fra queste ed il fondo marino...
Per il resto, è vero, mi ero soffermato solo sulla Luna, ma la conversione di energia avrà interessato l'intero sistema Terra Luna provocando il rallentamento di entrambi i corpi. In quale proporzione mi sfugge, forse in relazione alle masse, o forse in relazione alle energie possedute. Dovrei studiarmi la questione della conservazione dell'energia, o del momento angolare, chissà. Magari spiega anche la questione dell'allontanamento. Così ad occhio mi sarei aspettato un avvicinamento.