Sulla curvatura dell'universo

[Cyg X-1]

La lettura del libro degli universi di J. D. Barrow mi porta a scrivere quanto segue, per provare a chiarirmi la connessione di termini come APERTURA (o CHIUSURA) - CURVATURA - FINITEZZA (o INFINITEZZA), senza trascurare la questione dei BORDI.

Spero di non aver scritto ... fesserie!

UNIVERSO PRIVO DI COSTANTE COSMOLOGICA

L’”equazione dell’universo”, in assenza della costante cosmologica, riporta il contenuto di energia specifica (cioè, per unità di massa) totale (cioè, potenziale più cinetica) dell’universo:

(dR/dt)^2 + 8πGρ0/(3R) = -K
dove:
R è il fattore di scala dell’universo,
ρ0 è la densità attuale di materia nell’universo, pari a ρ(R/R0)^3.

In un sistema chiuso ed isolato, quale è considerato l’universo, l’energia totale si conserva. Ne deriva che il valore di K non varia nel tempo.
K può assumere valore positivo, nullo o negativo:

K positivo vuol dire che l’energia potenziale gravitazionale supera l’energia cinetica dell’universo: il cosmo, dopo una fase di espansione dovuta al Big Bang, è condannato a ricadere su se stesso.

K nullo vuol dire che le due energie si compensano: il cosmo tende ad espandersi all’infinito con una velocità prossima allo zero.

K negativo vuol dire che l’energia cinetica supera l’energia potenziale gravitazionale dell’universo: il cosmo, dopo una fase di espansione dovuta al Big Bang, è condannato ad espandersi all’infinito con una intensità che dipende dal rapporto tra le due energie.

Sia nel secondo che nel terzo caso la velocità di espansione tende a diminuire nel tempo, non essendo presente un’energia (energia oscura) che la sostenga.

Come detto il fattore K rimane costante lungo tutta la storia dell’universo. Detto fattore determina la curvatura dello spazio:

K positivo vuol dire che la curvatura dello spazio è positiva: nel caso più generale si può prendere ad esempio la superficie di un ellissoide.

K nullo vuol dire che la curvatura dello spazio è nulla: si può pensare ad un piano euclideo.

K negativo vuol dire che la curvatura dello spazio è negativa: nel caso più generale si può prendere ad esempio la superficie di una sella.

Negli esempi precedenti ho eliminato una dimensione, trasformando lo spazio tridimensionale in bidimensionale.
D’altra parte il principio cosmologico impone che la curvatura sia la stessa ovunque, a grande scala. Ne deriva che:

K positivo vuol dire pari a 1: l’ellissoide si trasforma in una sfera. La superficie sferica è finita ma illimitata, non presentando bordi. La curvatura rimane positiva.

K negativo vuol dire pari a -1: la sella si trasforma in una pseudo-sfera. La superficie pseudo-sferica non è finita, presentando bordi. La curvatura rimane negativa.

Anche nel caso di K nullo la superficie, il piano euclideo, presenta bordi.

IL PROBLEMA DEI BORDI

Se non sbaglio la presenza di un bordo che limiti l’universo è vista dai cosmologi come una sorta di horror vacui! Come se ne esce? Forse considerando infiniti gli universi in cui K non è positiva? Allora, un universo piatto o a curvatura negativa nasce già infinito, ovvero aperto!

Ricapitolando, l’universo nasce con una curvatura definita che conserverà per sempre, insieme alla sua finitezza o infinitezza.

UNIVERSO CON COSTANTE COSMOLOGICA

All’”equazione dell’universo” si può aggiungere un termine, la cosiddetta costante cosmologica Λ, responsabile dell’accelerazione dell’espansione, se Λ è positiva.

(dR/dt)^2 + 8πGρ0/(3R) = -K - Λ.

La costante cosmologia è sempre presente nell’evoluzione dell’universo, dall’origine alla “conclusione”. Può essere che, come sembra essere accaduto nel nostro universo, nella fase iniziale sia stata soverchiata dall’energia gravitazionale “di richiamo” per manifestarsi in seguito, al diminuire della densità di detta energia. Allora, l’energia totale è sempre stata quella, nel senso che la manifestazione della costante cosmologica non aggiunge energia all’universo nel corso della sua evoluzione.

Se ne conclude che la costante cosmologica non muta la curvatura iniziale dell’universo, né la sua condizione di finitezza o meno.

[DarknessLight]

Ciao Cyg.
Mi fa molto piacere che anche tu ti interessi alla geometria dello spazio-tempo a larga scala. È un argomento davvero affascinate e che mi ha sempre molto interessato... e che può farti restare sveglio la notte!

Se può interessarti ti segnalo questa conversazione che forse potrà aiutarti: http://www.astronomia.com/forum/show...-sua-topologia
Se scorri sulle ultime risposte vedi che vengono proprio affrontati questi discorsi anche abbastanza bene.



Volevo solo farti un piccolo appunto su quello che hai scritto:
Per soluzioni a geometria sferica, come tu hai ben detto, l universo ricollassa su se stesso.
Mentre per le soluzioni a geometria piatta e per soluzioni a geometria iperbolica la velocità NON tende a zero! E questo vale sia che sia presente, sia che non sia presente l energia oscura (l energia oscura è tutto un altro discorso è non ha nulla a che fare con la geometria dello spazio-tempo).
Per geometria piatta e iperbolica la velocità resta COSTANTE nel tempo, NON decresce tendendo a zero come tu hai scritto.
È chiaro questo?
La velocità resta costante, perciò l universo si espande all infinito a velocità costante (per geometria piatta e iperbolica).

Invece, il discorso dell energia oscura serve solo a giustificare l espansione accelerata, ma non c entra nulla con la geometria! Si tratta solo di un contributo ulteriore per descrivere l espansione accelerata del nostro universo...

Si lo so, non è semplice, anch io ci ho messo un pò a capire...



Per il discorsi dei bordi: devi immaginare l universo (di qualunque geometria si parli) come un oggetto senza bordi, come ad esempio la superficie di una sfera (sia chiaro, è solo un esempio, l universo NON è la superficie di una sfera, cito la sfera solo per farti immaginare un oggetto senza bordi ma a superficie limitata).
Quindi l universo è FINITO (per quanto riguarda il volume), ma ILLIMITATO, cioè senza bordi! Tipo come se tu esci da una parte e rientri dalla parte opposta!

Spero di averti aiutato almeno un pochino

[Enrico Corsaro]

Giusto Paolo!
Riguardo alle geometrie piatte e a sella, non esistono bordi di alcun tipo. Questi spazi si possono estendere all'infinito, così come fa una retta in un piano. Non abbiamo alcun motivo, ne' evidenza di un bordo che delimita lo spazio. Matematicamente inoltre l'esistenza di un bordo introduce numerosi problemi poiché rappresenta una discontinuità vera e propria.

[DarknessLight]

Ok
Invece la velocità resta costante per geometria piatta e iperbolica? Va bene più o meno come ho detto, secondo te?

[Enrico Corsaro]

In verità no, l'unica condizione che si ricava e' che la velocità di espansione sia > 0. Come ci mostra il fattore di decelerazione, ci sono stati periodi dell'Universo in cui la velocità di espansione e' diminuita a causa di una densità di materia che domino' per un breve tempo il budget energetico totale. L'andamento della velocità di espansione e' dunque complesso ed è legato alla scelta dell'equazione di stato cosmologica ed al tipo di costituenti che compongono l'Universo.

[FabPan]

Cyg X-1.
riguardo il tema del bordo, ti segnalo anche questa conversazione nella quale Enrico, in particolare, ha avuto la pazienza di rispondere il modo esteso ad alcune mie osservazioni nate dalla lettura del libro "La segreta geometria del cosmo" di Jean-Pierre Luminet.

Ho trovato molto interessanti le risposte di Enrico, anche se, alla fine qualche dubbio ce l'ho ancora.

Fabrizio

[DarknessLight]

In verità no, l'unica condizione che si ricava e' che la velocità di espansione sia > 0. Come ci mostra il fattore di decelerazione, ci sono stati periodi dell'Universo in cui la velocità di espansione e' diminuita a causa di una densità di materia che domino' per un breve tempo il budget energetico totale. L'andamento della velocità di espansione e' dunque complesso ed è legato alla scelta dell'equazione di stato cosmologica ed al tipo di costituenti che compongono l'Universo.

Eppure ricordo che più volte abbiamo detto che la velocità NON tende asintoticamente a zero per geometria iperbolica e euclidea... ma resta costante... mi pare che tu stesso mi hai corretto su questo più volte.

Probabilmente ricordo male allora...


Quindi, ricapitolando, per geometria Euclidea e iperbolica l unica condizione è velocità maggiore di zero, ma questa velocità volendo può anche tendere a zero come ha scritto Cyg. Volendo l espansione può decelerare all infinito ma senza mai realmente arrestarsi.
Detto così va bene?

[Cyg X-1]

Innanzitutto voglio ringraziare DarknessLight (ma insomma, ti decidi? Luce o Buio? ) , Enrico , Fab , e chi ha partecipato e parteciperà alla discussione.

Allora, vediamo:

1) Per quanto riguarda la velocità residua di espansione del cosmo mi rifaccio al caso (sicuramente troppo semplicistico) di una pallina lanciata verso l'alto imponendole un impulso inizale (Big Bang) a cui si oppone l'attrazione gravitazionale della Terra (autogravitazione del cosmo).
Se la velocità iniziale è superiore alla velocità di fuga, la pallina uscirà dall'attrazione terrestre per continuare il suo viaggio nel cosmo a velocità costante: quanto veloce dipenderà dal rapporto tra l'energia somministrata nell'impulso iniziale e l'energia potenziale prodotta dalla massa attraente.
Se la velocità iniziale è pari alla velocità di fuga mi aspetto che la pallina si sottragga ancora all'attrazione gravitazionale fuggendo nel cosmo, ma, con quale velocità? Beh, penso che l'energia dell'impulso sarà tutta "mangiata" dalla gravità e la velocità residua dovrebbe essere prossima 0: se fosse più alta si concluderebbe che una parte dell'energia iniziale poteva essere ancora annullata dal campo gravitazionale, quindi la velocità impressa alla pallina deve essere stata maggiore della velocità di fuga, contraddicendo l'ipotesi!

2) Quanto scritto sulla costante cosmologica (l'odierna energia oscura), addendo "aggiunto" nell'"equazione dell'universo", e cioè che non influisce sulla curvatura del cosmo, è proprio quanto ho pensato durante la lettura del libro. Mi sono però fatto l'idea che detta costante (ovvero la forza ad essa associata) possa essere parte della forza gravitazionale: insomma si potrebbe forse trovare una legge (funzione del tempo) che renda conto dell'azione totale (gravità e costante cosmologica) agente nel cosmo. Il destino ultimo è allora determinato da questa azione totale. Mi riesce difficile spiegarmi il motivo per cui una forza agente da sempre e per sempre (costante cosmologica) debbe essere trattata diversamente da un'altra forza che ha le stesse prerogative (gravità); forse dipende da ragioni storiche? Con la gravità "giochiamo" da sempre mentre l'energia oscura si è manifestata solo "di recente"?
In pratica l'universo, quale che sia, ha da sempre in sè gravità e costante cosmologica ed una sua curvatura iniziale definita che viene mantenuta nel tempo. La costante cosmologica non altera detta curvatura perchè era, per così dire, già nel pacchetto iniziale.
... non mi picchiate ....

3) Molto interessante la questione del bordo. Mi sembra di capire, dalle parole di Enrico, che l'universo aperto (euclideo o iperbolico) deve essere infinito DI NECESSITA', proprio per evitare il problema del bordo. Se è così solo gli universi chiusi (cioè a curvatura positiva) non sono infiniti, pur essendo illimitati.
L'infinitezza spaziale si riflette nell'infinitezza temporale? Cioè a dire, un universo aperto DA SEMPRE deve avere DI NECESSITA' una storia ... infinita e quindi addio Big Bang?

4) Mi riallaccio al punto 3) per qualche considerazione sul NOSTRO universo: sappiamo che ha una data d'inizio ma potrebbe presentare una geometria aperta (curvatura negativa). Come la mettiamo? Che c'entri qualcosa l'inflazione? Forse all'universo chiuso del Big Bang l'inflazione potrebbe aver regalato una modifica della curvatura; in questo caso si dovrebbe ritenere l'inflazione una forza "aliena" comparsa all'improvviso e non compresa nel pacchetto iniziale.
... si, lo so, leggo troppa fantascienza ....

Ringrazio di nuovo tutti. Prometto di leggere gli articoli a cui mi avete rimandato.

[FabPan]

....e quindi addio Big Bang?

Non necessariamente, almeno secondo quanto Luminet sottolinea nel libro che ho citato sopra.

Se il Big Bang è la fase iniziale, molto densa e molto calda, della espansione dell'universo questa è compatibile anche con universi infiniti (piatti o iperbolici).

Per le strane proprietà dell'infinito, anche una entità infinita si può espandere o contrarre. L'esempio che porta Luminet è simile all'Albergo di Hilbert: per semplificere assumiamo un universo infinito ad 1 dimensione; in un certo istante A infinite galassie sono uniformemente distribuite lungo una retta; dopo un certo intervallo di tempo, all'istante B, la galassia 1 si trova dove era la galassia 2, la 2 dove era la 4, la 3 dove era la 6.... L'universo infinito si è espanso, o facendo l'esempio al contrario, si è contratto pur rimanendo infinito.

Un universo infinito non è invece compatibile con l'idea che al Big Bang l'universo fosse contratto in un volume molto piccolo, ma questo non sembra essere così essenziale per l'idea di Big Bang e per le osservazioni che lo supportano.

....sappiamo che ha una data d'inizio ma potrebbe presentare una geometria aperta (curvatura negativa). Come la mettiamo?

Se fai le associazioni "data di inizio=> Big Bang=> universo finito" e "curvatura negativa=> universo infinito", non credo ci sia soluzione. Una cosa finita non può diventare infinita in un tempo finito. O non è vera una delle due premesse o non è vera necessariamente una delle due associazioni.

..l'universo aperto (euclideo o iperbolico) deve essere infinito DI NECESSITA', proprio per evitare il problema del bordo. Se è così solo gli universi chiusi (cioè a curvatura positiva) non sono infiniti, pur essendo illimitati.

Valido se ci limitiamo alle forme più semplici di questi spazi. Ma, se almeno in linea di principio, si estendono le possibilità ad altre forme più complesse, ancora meno accessibili alla nostra intuizione, e forse considerete meno probabili, sembra ci sia la possibilità di spazi piatti o iperbolici finiti ed illimitati.

[DarknessLight]

Vedendo le varie premesse e leggendo i vari interventi mi pare di capire gia' da subito che questa discussione diventerà senz altro una delle pietre miliari di Astronomia.com !


Intanto provo a dirvi la mia sulla finitezza o meno dell universo: come mi pare abbiate detto anche voi, si può parlare di universo finito o infinito in termini temporali (l universo si espande all infinito, oppure a un certo punto cessa di espandersi e collassa?) oppure in termini volumetrici (oltre la sfera di hubble esiste qualcos altro? Il volume del cosmo in un dato istante si estende ovunque all infinito oppure l universo è finito come volume?).

Analizziamo il secondo caso, ovvero "l universo in un dato istante della sua storia possiede un volume infinito?"

Mi pare di capire che tutti voi rispondete "No! Perché se l universo è iniziato da una singolarità, allora in un tempo finito (13 miliardi di anni) l universo NON può raggiungere un volume infinito".

Però secondo me non è cosi (poi magari sbaglierò) perchè se voi dite che l universo è partito da un oggetto finito (cioè la singolarità) state sbagliando perchè come fate a dire che la singolarità è un oggetto finito? In base a cosa lo dite?
La singolarità NON è un oggetto con un dentro ed un fuori: fuori non c'è nulla! La singolarità iniziale è il tutto e contemporaneamente è il nulla! quindi non è un oggetto finito, bensì infinito...

Quindi l universo nasce da un oggetto infinito e resta per tutta la sua storia un oggetto infinito in termini di volume... solo che la limitatezza della velocità della luce non ci fa vedere oltre la sfera di hubble, ma se noi potessimo vedere oltre.. secondo me vedremmo un universo che si estende infinitamente in tutte le direzioni...

Perché se ci pensate bene la singolarità non è un oggetto finito come un uovo... la singolarità è il tutto.. infattI si dice sempre che il Big bang è avvenuto ovunque!
Provate a riflettere su questa affermazione...