Sulla curvatura dell'universo

[DarknessLight]

Si crea nuovo spazio, in modo che il volume aumenta.
Ma effettivamente l universo NON è come un pallone che si espande all interno di una stanza.
perché no?
Beh, perchè il pallone è un oggetto che si espande all interno di un altro oggetto (una stanza)... invece l universo, essendo il tutto, non si sta espandendo all interno di qualcosa! Sta solo crescendo di dimensioni...

[Gaetano M.]

A questo punto della discussione potrebbe essere interessante leggere queste precisazioni (col rimando in inglese) dello stato dell'arte: https://astronomicamens.wordpress.co...-sulluniverso/

[Enrico Corsaro]

Ci sono molti occhi puntati su questa discussione in effetti e vedo che a volte siamo in molti pronti a rispondere su di una stessa domanda. Mi spiace creare sovrapposizioni nelle risposte, che secondo me potrebbero poi creare confusione per chi legge perchè ognuno spiega poi le cose a modo suo. Per evitare problemi mi limiterò a rispondere se necessario, dando così modo di far sviluppare meglio la discussione fra di voi .

[Cyg X-1]

OK, non confondiamo FORMA e GEOMETRIA.

Allora tralasciamo sfere a tre, quattro, dieci, venti dimensioni e tralasciamo anche l'universo.

Ragioniamo in altro modo, semplificando le cose.

Considero una circonferenza la cui lunghezza aumenta o diminuisce nel tempo. Io sono un essere monodimensionale che vive sulla circonferenza e posso vedere e sperimentare solo quanto avviene sulla circonferenza (una specie di Flatlandia in una dimensione anzichè due).
Posso fare il giro completo della circonferenza, magari avendo posto un segno nel punto di partenza per poterlo riconoscere quando vi passo nuovamente. Oppure posso inviare contemporaneamente due impulsi luminosi monocromatici (tanto per poterli riconoscere da altre radiazioni elettromagnetiche che dovessi ricevere) in direzioni opposte: mi colpiranno contemporaneamente (sono su di una sfera!) e saranno ancora monocromatici con differenza di lunghezza d'onda proporzionale a quelle d'invio.
Insomma, in un modo o nell'altro mi rendo conto che il mio mondo è una circonferenza, ha cioè la FORMA di una circonferenza.

Poi però, esplorando meglio questo mio mondo, verifico che gli oggetti intorno a me si stanno tutti allontanando da me. Le misurazioni mi dicono inoltre che la velocità di recessione è in continuo aumento. Se riporto in un grafico il tempo (ascisse) e la distanza di una generica galassia (ordinate) vedo che ottengo un ramo d'iperbole. Concludo che la GEOMETRIA del mio mondo è iperbolica (mondo aperto)

Se misurassi velocità decrescenti disegnerei un arco di circonferenza: la geometria del mio mondo sarebbe circolare.

Se misurassi velocità costanti disegnerei una retta: la geometria del mio mondo sarebbe piatta.

In tutti e tre i casi la forma sarebbe ancora e sempre circolare.

Se quanto ho scritto è vero, si può concludere che:

- La GEOMETRIA - distinta dalla FORMA - è legata a SOLE questioni DINAMICHE?

- La CURVATURA rappresenta la GEOMETRIA dell'universo, ovvero che geometria e curvatura sono la stessa cosa?

[FabPan]

Tempo fa avevamo proprio discusso questo argomento.

Ricordo bene la discussione di qualche tempo fa. Credo di essermi arenato più meno nello stesso punto. Non dico che sia stato il mio principale pensiero in questo periodo, mi ci ho ripensato spesso quando ho letto altre cose di cosmologia ed affini.

Avevamo anche discusso la differenza tra forma fisica e tipo di geometria. Sono di base due concetti distinti.

Se per tipo di geometria intendi le caratteristiche dello spazio legate alla curvatura (euclidea, k=0; sferica, k>0; iperbolica, k<1) e per forma fisica l'insieme di tipo di geometria e delle altre caratteristiche dello spazio (es. monoconnessa/multiconnessa, in generale la topologia) mi ci ritrovo.

Il tipo di geometria (curvatura) è una caratteristica locale dello spazio che, in generale, non definisce totalmente le caratteristiche globali dello spazio, neanche se lo assumiamo omogeneo ed isotropo come in cosmologia. In particolare, in generale non definisce le due caratteristiche dello spazio fisico del quale stiamo parlando: finito/infinito, limitato/illimitato.

Troverei difficoltà se invece dovessi pensare ad uno spazio con una certa geometria nel quale è inserito ed evolve indipendentemente la forma fisica dell'universo.

Una geometria euclidea e iperbolica è di base illimitata. Questo non significa che debba essere illimitato lo spazio fisico. La geometria è legata al comportamento dei percorsi luminosi e all'evoluzione dell'Universo.

Di conseguenza di quanto detto sopra interpreterei in una forma più estesa questa affermazione in questo modo.

E' vero che normalmente diciamo che la geometria sferica è finita ed illimitata e quella euclidea ed iperbolica sono infinite ed illimitate, ma lo facciamo assumendo implicitamente che siano spazi della forma più semplice (monoconnessi). Quelle che in 2D corrispondono a sfera, piano e sella. Ma non è detto che la forma fisica sia quella che a noi appare più semplice, quindi uno spazio fisico con geometria euclidea o iperbolica potrebbe anche essere finito.

Faccio a tutti gli auguri di una buona fine d'anno ed un grande 2016!

[DarknessLight]

@FabPan
Cosa significa "monoconnessa" e "multiconnessa"?

[FabPan]

Cyg X-1,

Con il tuo esempio credo sia possibile chiarire alcune definizioni che potrebbero avere creato qualche problema, almeno a me li hanno creati, anche se il caso 1-dimensionale è particolare.

Da un punto di vista geometrico il tuo "universo circonferenza" sarebbe con curvatura intrinseca piatta. Strano a dirsi ma sembra sia così, una circonferenza aperta e distesa su un tavolo diventa un segmento di retta. Non sarebbe così per una sfera, provate a distendere su un tavolo un pallone. Anche il modo con il quale si calcola la lunghezza del segmento che congiunge gli estremi liberi di due segmenti adiacenti (teorema di Pitagora unidimensionale) è lo stesso per retta e circonferenza. Invece non è lo stesso tra piano e sfera.

L' "universo circonferenza" è però finito, contrariamenete alla retta, ma illimitato come la retta, infatti da nessuna parte c'è un bordo sull'unica dimensione.

Anche da un altro punto di vista è diverso dalla retta (così rispondo anche alla domanda di DarknessLight).
Se un abitante monodimensionale di questo universo facesse il giro della circonferenza srotolando un cordino dietro di se, al termine del viaggio ritroverebbe il primo capo del cordino. Se a questo punto tentasse di stringere il laccio tirando i due capi del cordino non ci riuscirebbe poichè il cordino non può uscire dalla singola dimensione dell'universo (multiconnesso). Sulla rette invece qualunque percorso faccia potrebbe tirare completamente il laccio (monoconnesso).

Invece sfera e piano sono monoconnessi, mentre una ciambella o un cilindro infinito è multiconnesso.
Il cilindro è anche intrisecamente piatto perchè sulla sua superficie vale il teorema di pitagora.

Sulla dinamica a secondo dei casi la terminologia che ho trovato è stata: in contrazione; statico; in espansione.
Alcuni modelli possono essere caratterizzati da combinazioni come: prima espansione poi contrazione, o espansione perpetua accelerata.

Viene usata anche aperto per quelli in espansione e chiuso per quelli in contrazione, anche se c'è una sovrapposizione con la curvatura perchè per certi modelli gli universi aperti sono a curvatura negativa e quelli chiusi a curvatura positiva. Quindi chiuso o aperto può riferirsi anche alla curvatura.

Nel libro di Barrow quale terminologia è utilizzata?

[Gaetano M.]

Vi vedo lanciatissimi!!! Vi posso suggerire un libro che trovereste molto interessante: La forma dello spazio profondo di Shing-Tung Yau. Qui: https://books.google.it/books?id=HdM...%20pdf&f=false c'è un assaggio consistente.
Prendo a prestito la scritta: Faccio a tutti gli auguri di una buona fine d'anno ed un grande 2016! e mi unisco agli auguri.

[Cyg X-1]

Riflettendo sulla distinzione tra FORMA e GEOMETRIA/CURVATURA dello spazio-tempo dell'universo mi sono fatto questa idea che forse è più precisa di quella che ho presentato nell'ultimo commento.

Nel precedente commento ho scritto che la curvatura si ricava dalla funzione che esprime la distanza in funzione del tempo: se ho un ramo d'iperbole avrò una geometria a curvatura negativa, se ho un arco di circonferenza avrò una geometria a curvatura positiva, se ho una retta avrò una geometria a curvatura nulla.

Andando avanti nella lettura del libro di Barrow mi sono però imbattuto nell'universo di Milne, privo di materia e radiazione (oltrechè di costante cosmologica), in espansione a velocità costante. Bene, mi sono detto, è chiaro che si tratta di un universo a geometria piatta!

Macchè, il buon Barrow scrive che la curvatura è negativa!
Che faccio, mi arrendo? Non ci penso proprio!!!!
Allora mi sono rimesso a pensare.

Vediamo .... non è che la curvatura, oltre che dallo spazio, dipende anche dal tempo? In effetti mi pare che quando si parla di curvatura dell'universo ci si riferisca allo spazio-tempo e non soltanto allo spazio.

uhm .... vediamo cosa succede se .... nell'universo di Milne immagino esistenti io, il Sole ed una sola piccola stellina piuttosto distante (si, lo so, nell'universo di Milne non c'è materia nè radiazione, ma cosa volete che provochino le insignificanti presenze che ho indicato; d'altra parte il niente non è misurabile!).

Con un semplice esercizio di trigonometria traccio la retta che contiene me ed il Sole avendo cura di trovarmi in una posizione tale che detta retta sia ortogonale alla direttrice Sole-Stellina. In dato istante misuro l'angolo Sole-Me-Stellina. Mi porto (nel frattempo il ... tempo scorre) nella posizione diametralmente opposta al Sole senza curarmi del moto della stellina. Giunto nella nuova posizione osservo di nuovo la stellina che, nel frattempo, si è allontanata a causa dell'espansione dell'universo. Immaginiamo che la velocità di espansione sia piuttosto sostenuta, tanto per rendere facilmente visibili gli accadimenti.
Cosa succede? Se traccio un angolo uguale a quello misurato precedentemente non trovo più la stellina! Dov'è? Eccola lì! Bene, sono costretto ad osservarla sotto un angolo diverso. Se voglio conservare il nuovo angolo Sole-Me-Stellina uguale a quello dell'esperienza precedente sono costretto ad arcuare la traiettoria del raggio luminoso stringendo sia l'angolo alla base che quello al vertice (stellina) del triangolo mistilineo. Il triangolo mistilineo ottenuto si può allora adagiare su una superficie a curvatura negativa in quanto la somma degli angoli interni è minore di 180°.
Sembra che le cose tornino a posto!

Allora, tornando al mio precedente commento, devo correggere il tiro: a fare la differenza è il rapporto tra energia cinetica (centrifuga) e potenziale gravitazionale (centripeta): in effetti nell'universo di Milne esiste un'energia cinetica di espansione che non viene contrastata da alcuna energia di ... richiamo: di qui la curvatura negativa di quell'universo.

MI ASSOCIO AGLI AUGURI DI BUON ANNO E ... abbiate pazienza se rompo un pò troppo con le mie fantasticherie cosmiche ...

[FabPan]

Vediamo .... non è che la curvatura, oltre che dallo spazio, dipende anche dal tempo? In effetti mi pare che quando si parla di curvatura dell'universo ci si riferisca allo spazio-tempo e non soltanto allo spazio.

In generale la curvatura si può riferire allo spazio-tempo 4D, ma in cosmologia credo normalmente sia riferita al solo spazio 3D. Questo è possibile perchè i cosmolgi ritengono che sia realistico adottare su larga scala, oltre le ipotesi di omogeneità ed isotropia dell'universo, anche l'ipotesi che sostanzialmente sia possibile trattare la coordinata temporale come tempo assoluto (come Newton).

Con un semplice esercizio di trigonometria traccio la retta che contiene me ed il Sole avendo cura di trovarmi in una posizione tale che detta retta sia ortogonale alla direttrice Sole-Stellina. In dato istante misuro l'angolo Sole-Me-Stellina. Mi porto (nel frattempo il ... tempo scorre) nella posizione diametralmente opposta al Sole senza curarmi del moto della stellina. .....

Forse occorre considerare, nelle ipotesi ideali che proponi, che anche questa distanza nel frattempo si è espansa?

Cosa succede? Se traccio un angolo uguale a quello misurato precedentemente non trovo più la stellina! Dov'è? Eccola lì! Bene, sono costretto ad osservarla sotto un angolo diverso.

Questo credo sia il lato del nuovo triangolo che dobbiamo considerare perchè è quello seguito dalla luce, anche se non sappiamo quanto vale la somma degli angoli interni perchè non conosciamo l'angolo del vertice remoto.

Cosa succede? Se traccio un angolo uguale a quello misurato precedentemente non trovo più la stellina!....Se voglio conservare il nuovo angolo Sole-Me-Stellina uguale a quello dell'esperienza precedente sono costretto ad arcuare la traiettoria del raggio luminoso stringendo sia l'angolo alla base che quello al vertice (stellina) del triangolo mistilineo.

Come dici giustamente questo sarebbe un triangolo mistilineo, che non è quello giusto, proprio perchè non vedo la stellina remota. Qualsiasi sia la curvatura, il triangolo dovrebbe essere composto da lati su quelle che sono le rette (geodetiche) dello spazio. Poichè la luce segue proprio queste geodetiche, da quell'angolo dovrei vedere comunque la stellina, anche se ad un occhio euclideo come il nostro il percorso sembra curvo.


Ti segnalo questo video dove c'è qualcosa di simile al tuo "esperimento ideale", anche se fatto con il triangolo al contrario. Nella figura si vede che il triangolo è proprio costituito dai percorsi della luce.

Ci sono anche i commenti di Enrico che permettono di capire meglio il video.