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  1. #11
    Nana Bruna L'avatar di mazzolatore
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Citazione Originariamente Scritto da Giovanni1971 Visualizza Messaggio
    Mi sorge una curiosità da profano: con la relativita’ generale Einstein riuscì a giustificare una discrepanza di 43 arcosecondi/secolo nell’orbita di Mercurio rispetto a quella calcolata teoricamente in base alle fisica classica di Newton.
    Queste formule c’entrano qualcosa o si riferiscono a tutt’altro?
    C'entrano c'entrano.
    Come detto nel precedente post, la metrica di Schwarzschild, descrive lo spazio-tempo esternamentee a qualsiasi sorgente Sferica non rotante (dalla semplice stella, fino ai buchi neri) quindi anche il caso di Mercurio è compreso in questo argomento.

    Bisogna distinguere bene però la scoperta di Nettuno e la precessione di Mercurio. Per la scoperta di Nettuno sono state usate le equazioni di Newton, che hanno predetto che tipo di oggetto serviva per avere delle fluttuazioni sul moto di Urano.
    Mentre la precessione di Mercurio era inspiegabile tramite le leggi di Newton, un effetto che solo con l'introduzione della relatività è spiegabile, e che tra l'altro è stato uno dei banchi di prova della Teoria della Relatività.

    Se volessimo fare il calcolo per misurare questa precessione, (precessione del peri-elio in questo caso, si dice del peri-astro in generale, dal greco peri = attorno) bisogna capire bene che cosa è.
    Vediamo una foto:
    precessione_perielio.jpeg
    Praticamente Mercurio nel suo moto ellittico, non fà un orbita Chiusa, nel senso che ripassa sopra se stessa ogni anno, ma la massima distanza dal sole (peri elio) cambia e precede di un certo angolo.
    Questo effetto fa si che l'orbita del pianeta apparirebbe come come i petali di un fiore, ma è un effetto comunque molto piccolo.
    Ora senza perderci in troppi calcoli, dalla metrica di Schwarzschild, si riesce ad arrivare alle 4 equazioni parametriche, che descrivono il moto di un corpo esternamente alla sorgente del campo gravitazionale, al variare del parametro



    Bisogna considerare che in queste equazioni, c'è stato un cambio di coordinate, tipo che ,, senza dimensione, e altri cambiamenti di questo genere, per semplificare la notazione e i calcoli.

    E i dati iniziali del problema sono:








    Dove è il piano su cui avviene l'orbita, e per via della simmetria sferica, è indifferente.
    sono l'energia e il momento angolare della particella che ruota attorno al sole.
    è "la massa del Sole", per la precisione

    Ora un semplice metodo, per capire se ci troviamo in un campo Gravitazionale forte o debole è mettere in relazione la distanza dall'aggetto che genera il campo e la massa di questo.
    Se lo calcoliamo per Mercurio, vale:


    Ora se ci allontaniamo questo numero sarà più piccolo, allora il massimo effetto di precessione si avrà su Mercurio.

    Sviluppando la prima equazione quella di , e portando tutto dalla stessa parte dell'uguale, otteniamo:



    e definendo nuova variabile diventa:



    Deriviamola rispetto alla coordinata r (distanza dal corpo sorgente del campo), e semplificando otteniamo:

    Da notare che nelle medesime condizioni, l'equazione del moto in fisica Newtoniana era:


    Quindi uguali a meno di un termine, che se ci si ragiona un attimo sopra, si vede che è un termine perturbativo.
    Quindi possiamo iniziare a risolvere l'equazione di Newton imperturbata e poi finire con la soluzione completa.
    Per il momento salto tutto il procedimento di calcolo ( è una semplice equazione differenziale di 2° grado, la cui soluzione è un oscillatore armonico) e viene:



    Ora , quindi se vogliamo capire quando avviene il perielio (cioè distanza minima) dobbiamo trovare per quale valore del coseno otteniamo il massimo.
    E otteniamo il massimo quando il coseno = 1, allora l'argomento del coseno deve essere = 0 o multiplo di , quindi:



    Quindi:


    E vediamo che è di più di , che equivale a un giro, ma è un pò di più.
    Per calcolarlo, facciamo una piccola approssimazione, moltiplichiamo e dividiamo per il denominatore, ma con il segno +:



    Quindi c'è una precessione del perielio di un angolo pari a:

    Che se sostituiamo i valori per il sole e il momento angolare di mercurio, otteniamo 43 secondi d'arco ogni secolo.
    Le misure dell'epoca erano di , quindi un primo punto a favore della relatività speciale, che successivamente se l'è dovuta vedere con il fenomeno della deflessione della luce e lo spostamento gravitazionale delle linee spettrali, tutti perfettamente spiegabili con tale teoria.

    Giusto per renderci dell'idea di quanto il nostro solo sia una stella poco estrema, si può calcolare e misurare che in alcune stelle di neutroni, si possono avere delle precessioni dei perieli, anche dell'ordine di 15° ogni anno.
    Ultima modifica di mazzolatore; 21-11-2021 alle 21:57
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  2. #12
    Nana Bruna L'avatar di mazzolatore
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Citazione Originariamente Scritto da Albertus Visualizza Messaggio
    Che tu sappia in ambito accademico o professionale si usano software tipo Mathematica o Matlab oppure si implementano algoritmi dedicati ad ogni particolare equazione in C or Python o altri linguaggi di programmazione ?
    Esatto sono equazioni non solo non lineari, ma alle derivate parziali, e per giunta tensoriali, e il sistema ha non poche equazioni.
    Inoltre per completezza, anche le semplici equazioni lineari di secondo grado non sono tutte risolvibili analiticamente, anzi della infinita serie di equazioni che uno può inventare, solo una infinitesima parte è calcolabile a mano.

    Posso darti una risposta parziale: per quel che è la mia esperienza (accademica) non ho mai usato software per integrare le equazioni, ma scrivevo proprio il codice in C, e C++. E SI, i codici diventano esageratamente lunghi, a meno che uno non è abbastanza pazzo, da scrivere un programma che genera il codice del programma da integrare
    So che anche ricercatori, utilizzano frequentemente il C per la risoluzione non solo di equazioni differenziali, ma anche per altri problemi.

    Per gli altri programmi non li ho mai visti ne utilizzati, non sò proprio .
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  3. #13
    Nana Bruna L'avatar di Giovanni1971
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    A questo punto non posso non citare un passo di un libro che sto leggendo, anzi, magari appena finito ne faccio una piccola recensione sul forum.

    Einstein himself, in a letter to Fokker, recounts that calculating this correction in his theory and finding a result of 43 arcseconds caused him palpitations of the heart for several days. His friend and biographer Adam Pais further states that this was the strongest emotional experience of Einstein's scientific career and possibly of his whole life”

    Grazie mille per la spiegazione @mazzolatore. È davvero bello vedere la ricostruzione formale del ragionamento (almeno per il poco che riesco a seguirne, se no viene un attacco cardiaco anche a me )
    To see a World in a Grain of Sand And a Heaven in a Wild Flower...

  4. #14
    Gigante L'avatar di Albertus
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    saluti

    sembra però che Einstein abbia commesso un errore nel calcolo dello spostamento del perielio di Mercurio
    qualcuno sa di che errore si tratta ?
    tra l'altro il manoscritto originale è stato venduto all'asta per qualche milione di dollari

  5. #15
    Nana Bruna L'avatar di mazzolatore
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Già che abbiamo toccato l'argomento della precessione del perielio nel moto di Mercurio, possiamo analizzare un'altra applicazione, che si può fare sotto l'ipotesi di campo generato da una distribuzione di massa non rotante e a simmetria sferica.
    Sto parlando dell'effetto della deflessione della luce, vediamo come si ricava la formula per poterla calcolare, e facciamo alcuni esempi.
    Come noto la luce la possiamo considerare come una particella a massa nulla, quindi dobbiamo studiare il moto della particella nel campo generato dalla distribuzione sferica di materia.
    Il moto di tale particella è descritto chiaramente dalla seguente n-pla di equzioni:



    Dove la particella la posiamo nel piano "equatoriale" , quindi del piano su cui si muove rimane costante a





    e il potenziale è leggermente differente dall'altro caso, questa volta perchè a differenza del caso di mercurio, la particella è senza massa



    Inseriamo uno schema per capire bene le variabili in gioco:

    IMG_20211125_194751.jpg

    Questo schema rappresenta il corpo sferico al centro del piano cartesiano, la posizione della luce che verrà deflessa, è data dalle variabili .
    b rappresenta il parametro d'impatto, cioè a che distanza dalla distribuzione di materia passa la luce imperturbata.
    La linea verticale sulla destra rappresenta la traiettoria imperturbata, mentre la curva mostra la traiettoria della luce che farà per via della deflessione.
    Il tutto visto dall'alto.
    Da notare che il piano su cui si muove la luce non cambia.

    Per calcolare l'angolo di deflessione, partiamo dal capire la relazione , che ci dice appunto in funzione dell'angolo , quanto vale r.

    Come per il caso di Mercurio, identifichiamo con , la variabile data da , e se dobbiamo scoprire , allora anche la , sarà funzione di

    Per non essere pedanti, sottointendiamo queste dipendenze (per essere pedanti la notazione sarebbe questa ), cioè u dipende da r, che dipende da che dipende dal parametro
    Adesso non ci resta che impostare il Problema di Cauchy e risolverlo.

    Anzitutto le condizioni iniziali dobbiamo capire quando vale e

    dove con zero intendiamo l'istante iniziale, ovvero stiamo indicando un istante temporale in cui la luce è molto lontana dal corpo che genera il campo.
    Quindi tradotto in parametro , quando stiamo cosi lontano l'angolo lo posiamo approssimare a zero, e quindi r tende a infinito, allora la funzione


    Per quanto riguarda dobbiamo calcolarlo.

    Il parametro b d'impatto,

    Perche il seno per il suo argomento che tende a zero, è approssimabile come il suo argomento.
    Quindi e quindi
    Quindi
    Perciò
    Sostituendo il valore di otteniamo che

    Per finire dobbiamo scrivere l'equazione da integrare, con qualche calcolo algebrico di questo genere si arriva :




    Bisogna risolvere questo problema e trovare , una volta noto, imponiamo che , e quindi possiamo scovare il valore di .

    Come vedete la fatica di scrivere tutto in funzione di , ci è stata ripagata, perche in questa variabile, l'equazione differenziale è molto semplice e risolvibile quasi immediatamente.
    Perciò evitiamo i calcoli e vediamo direttamente la soluzione:



    Imponendo che

    Otteniamo



    ergo



    Se per esempio inseriamo i dati per il Sole, dove m = massa, e b parametro d'impatto imponiamo che sia pari al raggio solare, cioè simuliamo che la luce di una galassia lontana passi redente alla superficie solare, allora tale luce verrà deflessa di un angolo pari a 1.75" d'arco

    Potreste divertirvi a calcolare come sarebbe la deflessione della luce, per altri oggetti tipo ,nane brune, nane bianche, galassie ecc, tenendo presente che questo risultato è stato ottenuto sotto le ipotesi di campo debole e per oggetti sferici non rotanti.

    Quindi se ci discostiamo da questi presupposti il risultato non sarà del tutto attendibile.

    E ricordando che
    Quindi
    Dobson Skyliner 200/1200, Celestron OMNI - 6mm 50°, SvBony 105

  6. #16
    Meteora L'avatar di manzonis
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    @mazzolatore bellissima discussione complimenti!!
    Rigorosamente perfetta!

  7. #17
    Nana Bruna L'avatar di Joe77
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Nel secondo post non mi torna il passaggio dove ricavi https://www.astronomia.com/forum/vla...507428f11b.png
    Se hai voglia me lo spieghi
    Ammesso che non sia troppo lungo

  8. #18
    Nana Bruna L'avatar di Joe77
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Comunque grandissimo

  9. #19
    Meteora L'avatar di manzonis
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    Citazione Originariamente Scritto da Joe77 Visualizza Messaggio
    Nel secondo post non mi torna il passaggio dove ricavi https://www.astronomia.com/forum/vla...507428f11b.png
    Se hai voglia me lo spieghi
    Ammesso che non sia troppo lungo
    Ciao, banalmente basta ricordare che e quindi si arriva alla relazione che hai citato.
    Spero di essere stato chiaro

  10. #20
    Meteora L'avatar di manzonis
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    Re: Ricavare le equazioni di Einstein

    @Joe77 per essere più precisi possiamo dire che per definizione è detta metrica inversa e si ha che dove è la delta di Kronecker che vale 1 per e zero per ogni altro valore. Essendo simmetrica possiamo dire che e quindi . Dato che gli indici vanno sommati (per la convenzione di Einstein) abbiamo che .
    Ultima modifica di manzonis; 29-12-2021 alle 23:13 Motivo: typo

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