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Discussione: Tensore energia impulso
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06-01-2022, 22:22 #1
Tensore energia impulso
Su consiglio di @Joe77, provo a spiegare cosa si intende con il famoso tensore energia impulso . Qualunque critica, aggiunta o modifica è ben accetta ovviamente!
Iniziamo con le equazioni di Einstein (assumiamo per comodità ):
Ma cosa si intende fisicamente con ? Iniziamo con qualcosa di più semplice: la densità numerica, cioè il numero di particelle contenute in un determinato volume a riposo
Una cosa che si può aggiungere è che il numero di particelle resta costante nella scatola: infatti (per il teorema della divergenza, per i curiosi) . Le particelle quindi non vengono create magicamente ma restano costanti in numero nel contenitore.
Quindi per concludere questa introduzione, il numero di particelle nel volume è quindi che può essere riscritta come
- è quindi il flusso attraverso una superficie con vettore normale
- è la densità numerica (flusso attraverso la superficie con direzione parallela alla dimensione temporale)
È necessario ora generalizzare questa densità numerica: abbiamo bisogno della densità numerica di un 4-vettore, poiché l'energia e il momento sono rispettivamente le componente temporale e spaziali del quadrimomento . Dal punto di vista matematico basta utilizzare un tensore di rango due: un elemento matematico del tipo , che è esattamente il nostro tensore energia-impulso! Abbiamo quindi
Per capire però cosa siano le componenti di consideriamo prima :
- cioè la densità di energia;
- cioè la densità della quantità di moto.
Possiamo quindi scrivere il tensore energia impulso in una formulazione covariante
Cosa rappresentano ora e ? Possiamo scrivere
- cioè il flusso di energia lungo la direzione ;
- cioè la forza che agisce sulla superficie con normale diretta lungo divisa per l'area
Si può generalizzare il tutto dicendo quindi che è il flusso di energia nella direzione e che è la componente i-esima di una forza esercitata su una superficie con normale lungo divisa per l'area (chiamato anche stress tensor)
Quindi il tensore energia impulso si riassume nella matrice
L'esempio di semplice di stress tensor è la pressione che agisce sulle pareti di un bicchiere piano d'acqua. La pressione dell'acqua è sempre perpendicolare alla superficie e quindi il tensore è diagonale; inoltre, la pressione è isotropa e quindi le componenti sono tutte uguali e quindi
Per un fluido perfetto nello spaziotempo di Minkowski possiamo scrivere il tensore energia impulso in funzione della sua densità e pressione
Questo è tutto! Spero di essere stato abbastanza chiaro.
In un prossimo post/commento potrei proporre (se a qualcuno interessa) la derivazione delle equazioni di Friedmann che descrivono l'espansione dello spazio.Ultima modifica di manzonis; 06-01-2022 alle 22:24 Motivo: typo
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