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    Meteora L'avatar di manzonis
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    Re: Geometria dell'universo

    Per quanto riguarda la superficie sferica di raggio dobbiamo fare un po' più di conti..

    Notazione e premessa:
    1. La virgola negli indici indica la derivata, per esempio
    2. Consideriamo ora una metrica tempo indipendente, quindi avremo solo due coordinate: .


    Partiamo dalla metrica:

    Ricordiamo la definizione dello scalare di Ricci dove è la contrazione del tensore di Riemann. Il tensore di Riemann a sua volta è definito come
    dove gamma sono i simboli di Christoffel
    Gli unici simboli di Christoffel non nulli saranno e .

    Ora abbiamo tutto! Basta "solamente" tanta voglia di fare conti e derivate, però in maniera molto lineare si può calcolare il valore del tensore di Riemann, farne la contrazione del primo e terzo indice ottenendo il tensore di Ricci e ulteriormente contrarre questo per ottenere lo scalare di Ricci.

    Ovviamente questi conti sono lunghissimi. Conviene sfruttare una proprietà fondamentale dello spaziotempo. Preso un qualunque punto P in ogni spaziotempo, è possibile scegliere un sistema di coordinate tale che la metrica sia quella di Minkowski. Questo sistema viene detto Local Inertial Frame (LIF). In questo modo, se riusciamo a trovare un punto in cui e , i conti si semplificano di molto! Infatti lo scalare di Ricci assume la forma:

    È possibile costruire al polo nord della sfera un sistema di coordinate che soddisfi le condizioni dette poco fa: al polo è quindi possibile costruire un LIF semplificando i conti. La metrica quindi in prossimità del polo nord vale

    Sembra molto più complessa ma, esattamente al polo (con x=0 e y=0) questa diventa l'identità . Calcoliamo R con la (4) sommando su tutti gli indici:

    Molti termini si annullano e giungiamo alla forma
    Le derivate seconde della metrica valgono

    Possiamo finalmente concludere facendo questa ultima somma:

    Ed eccoci al risultato! La curvatura di una sfera di raggio vale al polo nord. Ora, dato che la sfera è simmetrica, la curvatura al polo nord sarà la stessa in ogni altro punto sulla superficie sferica!

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