Pagina 2 di 2 PrimaPrima 12
Risultati da 11 a 11 di 11
  1. #11
    Meteora L'avatar di manzonis
    Data Registrazione
    Oct 2021
    Messaggi
    25
    Taggato in
    5 Post(s)

    Re: Geometria dell'universo

    Per quanto riguarda la superficie sferica di raggio dobbiamo fare un po' più di conti..

    Notazione e premessa:
    1. La virgola negli indici indica la derivata, per esempio
    2. Consideriamo ora una metrica tempo indipendente, quindi avremo solo due coordinate: .


    Partiamo dalla metrica:

    Ricordiamo la definizione dello scalare di Ricci dove è la contrazione del tensore di Riemann. Il tensore di Riemann a sua volta è definito come
    dove gamma sono i simboli di Christoffel
    Gli unici simboli di Christoffel non nulli saranno e .

    Ora abbiamo tutto! Basta "solamente" tanta voglia di fare conti e derivate, però in maniera molto lineare si può calcolare il valore del tensore di Riemann, farne la contrazione del primo e terzo indice ottenendo il tensore di Ricci e ulteriormente contrarre questo per ottenere lo scalare di Ricci.

    Ovviamente questi conti sono lunghissimi. Conviene sfruttare una proprietà fondamentale dello spaziotempo. Preso un qualunque punto P in ogni spaziotempo, è possibile scegliere un sistema di coordinate tale che la metrica sia quella di Minkowski. Questo sistema viene detto Local Inertial Frame (LIF). In questo modo, se riusciamo a trovare un punto in cui e , i conti si semplificano di molto! Infatti lo scalare di Ricci assume la forma:

    È possibile costruire al polo nord della sfera un sistema di coordinate che soddisfi le condizioni dette poco fa: al polo è quindi possibile costruire un LIF semplificando i conti. La metrica quindi in prossimità del polo nord vale

    Sembra molto più complessa ma, esattamente al polo (con x=0 e y=0) questa diventa l'identità . Calcoliamo R con la (4) sommando su tutti gli indici:

    Molti termini si annullano e giungiamo alla forma
    Le derivate seconde della metrica valgono

    Possiamo finalmente concludere facendo questa ultima somma:

    Ed eccoci al risultato! La curvatura di una sfera di raggio vale al polo nord. Ora, dato che la sfera è simmetrica, la curvatura al polo nord sarà la stessa in ogni altro punto sulla superficie sferica!

Discussioni Simili

  1. Geometria dell'universo
    Di DOMMAG63 nel forum Mi presento
    Risposte: 3
    Ultimo Messaggio: 17-01-2022, 13:03
  2. Geometria dell'universo e co.
    Di edo44 nel forum Cosmologia
    Risposte: 8
    Ultimo Messaggio: 11-12-2014, 10:35
  3. Struttura dell'Universo
    Di Argonfusion nel forum Astrofisica
    Risposte: 3
    Ultimo Messaggio: 11-08-2013, 14:20
  4. Espansione dell'universo
    Di Dna94 nel forum Astrofisica
    Risposte: 6
    Ultimo Messaggio: 21-02-2013, 14:43

Permessi di Scrittura

  • Tu non puoi inviare nuove discussioni
  • Tu non puoi inviare risposte
  • Tu non puoi inviare allegati
  • Tu non puoi modificare i tuoi messaggi
  •