Ancora Red shif

[mario26c]

(...continua)
Qui finisce se vogliamo la parte relativa agli errori. Prima di mostrarti la parte dei calcoli che hai fatto correttamente e come poter svolgere i calcoli finali in maniera corretta aggiungo un'ultima cosa e ti avviso che questa parte del commento potrà sembrare un po' più complessa, ma spero di risultare chiaro (alla fine questa non è una lezione, è solo un cercare di capire qual è il modo corretto di approcciare la faccenda).
In cosmologia quindi esistono diversi tipi di distanze, in particolare si definisce la "distanza luce" come: {d}_{light} = c*Dt
con Dt l'intervallo di tempo tra emissione e ricezione della luce (spero che le equazioni si leggano...se non si leggono dimmi che allego una foto). Banalmente se la luce ha viaggiato per un miliardo di anni allora la distanza luce percorsa sarà di un miliardo di anni luce.

Poi esiste la distanza fisica ("distanza propria"), che ci servirà per dopo. La distanza fisica è la distanza che misureresti tra 2 oggetti istantaneamente con un metro (bloccando l'espansione dell'Universo). E' quella che comunemente intendiamo con "distanza" e si indica con "dp". Poiché l'Universo si espande, la distanza propria aumenta con il tempo. Per tenerne conto tipicamente si scrive la distanza propria come:
dp = a(t) * r

con a(t) il cosiddetto "fattore di scala" (che dipende dal tempo, ecco perché la "t" è messa tra parentesi) e "r" è la cosiddetta "distanza comobile". La distanza comobile "r" di una sorgente è una distanza fissa, che non tiene conto dell'espansione dell'Universo. E' come se avessimo diviso lo spazio con una griglia e avessimo indicato con "r" la distanza di una certa galassia in termini di "quadratini" su questa griglia. Quando l'Universo si espande, la griglia si espande ma la galassia rimane sempre sullo stesso quadratino della griglia ("r" quindi rimane costante). Sarà poi il termine a(t) che terrà conto dell'espansione della griglia e ci dice di quanto bisogna moltiplicare "r" per avere la distanza fisica corretta (che infatti aumenta con il tempo). Di fatto a(t) è proprio il fattore che ci dice come cambia la distanza di una galassia da noi al variare del tempo, a causa dell'espansione. Ovviamente a(t) è legato al parametro H e quindi alla composizione dell'Universo, ma per ora lasciamo stare, non mettiamo troppa carne al fuoco.
a(t) è quello che tu chiami "fattore di espansione", solo che tipicamente una volta assunto essere 1 ad un certo tempo (nel tuo caso 5 miliardi di anni dopo la nascita dell'Universo), non lo si assume = 1 in un altro momento (nel tuo caso anche a 7 miliardi di anni dopo la nascita dell'Universo). So che tu non intendevi questo come fattore di scala, però te lo dico solo perché dopo lo useremo.

Per comodità si assume che a(t) valga 1 ad un certo tempo di riferimento. In Cosmologia tipicamente questo tempo di riferimento è "oggi" (13.8 miliardi di anni dopo il Big Bang). Facendo così è come se a(t) indicasse di quanto aumenta la distanza di una galassia da noi rispetto alla sua distanza oggi. Ad esempio, se ad oggi una galassia si trova a 3 miliardi di anni luce da noi, abbiamo dp = 1 * r = r = 3 miliardi di anni luce (la distanza propria e quella comobile sono uguali al tempo di riferimento). Se tra un miliardo di anni (a causa dell'espansione dell'Universo) il fattore di scala è raddoppiato (a = 2), avremmo che la stessa galassia che si trovava sul quadratino r = 3 miliardi di anni luce, si troverà sempre sullo stesso quadratino r = 3 miliardi di anni luce della griglia, ma la sua distanza fisica sarà raddoppiata:
dp = 2 * r = 2 * 3 = 6 miliardi di anni luce.

Lo so, probabilmente ti ho dato diverse informazioni, che sembrano scorrelate l'una dall'altra. Ho fatto tutto questo cappello introduttivo però perché ora possiamo mettere insieme queste informazioni e capire cosa sta succedendo nel tuo caso e come procedere.

La prima cosa che ho fatto è cercare di capire come funziona il tuo Universo e usare quelle informazioni per poter tirar fuori dei numeri. Ti avviso che la cosa è interessante.
Intanto la prima cosa da notare è che tu fai crescere le distanze in maniera lineare, ossia dopo un tempo doppio la distanza è raddoppiata, dopo un tempo triplo la distanza è triplicata ecc. Questo lo fai sia per la distanza tra le galassie e sia per il "raggio dell'Universo" (non entriamo in merito alla questione del centro/raggio dell'Universo sennò non ne usciamo più). Di conseguenza, in base a ciò che abbiamo detto prima, il fattore di scala a(t) cresce "in maniera lineare con il tempo": dopo un intervallo di tempo doppio, a(t) sarà doppio e quindi la distanza fisica finale sarà raddoppiata rispetto a quella iniziale, dopo un intervallo di tempo triplo, a(t) sarà triplicato e quindi la distanza fisica finale sarà triplicata rispetto a quella iniziale e così via (tu hai fatto questo basandoti sull'assunzione errata di velocità di espansione costante, ma come ti mostro tra pochissimo, ci troviamo in uno scenario interessante).
Possiamo quindi scrivere a(t) = t/t0
dove "t" è il tempo che scorre e t0 è un tempo di riferimento usato per far si che quando t = t0 abbiamo che a = 1 (sarebbe "l'oggi" del mio esempio di prima ricordi? Abbiamo detto che "oggi" a = 1, ecco t0 ci dice a quale età corrisponde "oggi"). In Cosmologia come ti dicevo si assume t0 = 13.8 miliardi di anni (l'età dell'Universo oggi), ma per i nostri calcoli possiamo assumere che t0 = 5 miliardi di anni (detto in altre parole ho assunto di essere un osservatore che vive nel tuo Universo modello e che inizia a osservare il mondo intorno a sè quando l'Universo ha 5 miliardi di anni, questo perché il tuo problema inizia proprio con la partenza di un fotone in quel momento, non sarebbe vantaggioso assumere un tempo di riferimento diverso). Quindi ad un tempo t=5 Miliardi di anni, abbiamo che il fattore di scala vale 1.
Vediamo cosa succede e calcoliamo la distanza tra le due galassie dell'esempio al variare del tempo (abbreviamo la parola "miliardi di anni" con il simbolo "Gy", dall'inglese "Giga-years").
Sapendo che a 5 Gy dall'inizio dell'Universo la distanza fisica tra le 2 galassie vale 3 miliardi di anni luce (così hai assunto), possiamo già dire che dopo un tempo doppio (10 Gy), la distanza tra le 2 galassie sarà raddoppiata e dopo un tempo triplo (15 Gy), la distanza tra le galassie sarà triplicata. E questo è proprio ciò che ottieni tu.
Facendo i calcoli abbiamo:
- quando t = 5Gy:
dp = t/t0 * r = 5 / 5 * r = 1 * r = r = 3 miliardi di anni luce (questa distanza la avevi assunta tu e da cui possiamo subito capire che r = 3 miliardi di anni luce, abbiamo di fatto identificato il quadrettino della griglia espandibile su cui si troverà sempre incastonata la galassia B);
- quando t = 10 Gy:
dp = t/t0 * r = 10 / 5 * r = 2 * r = 2 * 3 = 6 miliardi di anni luce
-quando t = 15 Gy:
dp = t/t0 * r = 15 / 5 * r = 3 * r = 3 * 3 = 9 miliardi di anni luce
e così via.

Uguale per il raggio dell'Universo:
-se t = 5 Gy:
dp = t/t0 * r = 5 / 5 = 1 * r = r = 4 miliardi di anni luce (da cui possiamo subito capire che r = 4 miliardi di anni luce, abbiamo di fatto identificato il quadrettino della griglia espandibile su cui si troverà sempre il "bordo" dell'Universo);
-se t = 10 Gy:
dp = t/t0 * r = 10 / 5 * r = 2 * r = 2 * 4 = 8 miliardi di anni luce
-se t = 15 Gy:
dp = t/t0 * r = 15 / 5 * r = 3 * r = 3 * 4 = 12 miliardi di anni luce
e così via.

Secondo il tuo modello, ripeto, le distanze crescono in modo lineare e questo viene espresso con un fattore di scala che cresce "linearmente" con il tempo, ossia a(t) = t / t0 (con t0 assunto essere 5 Gy).
Una domanda interessante è: questo fisicamente è possibile? La risposta è sì, fisicamente è possibile che il fattore di scala cresca linearmente con il tempo. Facendo i calcoli (nell'ambito dalla relatività generale), si può dimostrare che questo tipo di espansione può avvenire solo in un Universo vuoto (ossia senza materia, radiazione o altre forme di energia). Un Universo completamente vuoto sarebbe in grado di espandersi e le distanze tra 2 punti qualsiasi dello spazio aumenterebbero proprio così come hai calcolato tu. Questo tipo di Universo sarebbe infinito ed avrebbe una curvatura negativa (la sua geometria sarebbe quella che puoi trovare per analogia in 2 dimensioni al centro di una sella, ma non entriamo troppo nel dettaglio). Questa è proprio l' "escamotage" che ti dicevo, anche se hai calcolato le distanze in funzione del tempo basandoti su assunzioni concettualmente non corrette, comunque i calcoli delle distanze hanno un senso e sono corretti se si assume di vivere in un Universo vuoto, si dice "dominato dalla curvatura". Affascinante.

(continua...)

[mario26c]

(...continua)
E indovina? In un Universo di questo tipo la velocità di allontanamento delle galassie (...non ci sarebbero le galassie ma sono dettagli) è costante con il tempo! Una galassia che ad oggi ci appare allontanarsi da noi ad una certa velocità, conserverà la sua velocità di allontanamento per sempre (sembra strano, ma in un Universo fatto così non lo è). Ovviamente continuerà a valere la legge di Hubble-Lemaitre, quindi galassie più distanti ci appariranno muoversi più velocemente (la galassia B dell'esempio, che si trova a 3 miliardi di anni luce, si allontana a 0.6c, mentre una galassia che si trova sul bordo dell'Universo si allontana a 0.8c, poiché è più lontana), ma nel corso del tempo queste galassie manterranno la loro velocità. Quindi di nuovo, anche se non ha senso dire che l'Universo si espande ad una velocità costante, assumendo che l'Universo sia "vuoto", la relatività generale ci dice che le galassie mantengono effettivamente una velocità costante nel tempo (che però è diversa man mano che si considerano galassie sempre più lontane, quindi non è costante nello spazio).

Ho anche calcolato quanto varrebbe il valore del parametro di Hubble in quell'Universo "oggi" (con "oggi" mi riferisco sempre al tempo di riferimento t0 = 5 Gy dalla nascita del tuo Universo): H0 = 195.6 km/s/Mpc Se vuoi conoscere per curiosità il valore di H che osserverebbe un abitante di quell'Universo dopo 13.8 miliardi di anni dalla sua nascita, questo sarebbe: H1 = 71 km/s/Mpc. Come puoi notare il valore del parametro di Hubble diminuisce con il tempo, è come se l'espansione avvenisse ad un ritmo più lento man mano che passa il tempo. Di nuovo, è H che ci dice cosa accade all'espansione dell'Universo, mentre se si parla di velocità si rischia di fare confusione.

Ricapitolando, i tuoi conti sulla distanza valgono in un Universo vuoto, in quanto in quel caso le distanze aumenterebbero in maniera lineare con il tempo (il fattore di scala dell'espansione cresce in maniera lineare). Usando questo come modello di Universo, possiamo finalmente calcolare ciò che ci interessa.

Prendiamo il primo caso:
- età dell'Universo = 5 Gy (proprio uguale al tempo di riferimento t0)
- distanza fisica (propria) della galassia B dalla galassia A iniziale: dp = 3 miliardi di anni luce (uguale alla distanza comobile "r", poiché a(t) vale 1 al tempo t0).

Un fotone parte al tempo di emissione tem = t0 = 5Gy, a che tempo (tf) arriverà?

L'idea per rispondere a questa domanda (l'idea dietro la soluzione) è questa: si usa il fatto che alla fine del viaggio il fotone avrà percorso una distanza comobile "r". In altre parole, a prescindere da quando parte e per quanto tempo viaggia, il fotone percorrerà sempre lo stesso numero di quadretti della griglia (quelli che separano la galassia B da quella A), il fatto è che bisogna tener conto che questa griglia nel frattempo si è espansa (più il fotone resterà in viaggio e più i quadretti in cui viaggia si allargano, ma il loro numero, quantificabile con la distanza comobile, sarà sempre lo stesso). Sapendo come si è espansa la griglia durante il viaggio del fotone (ossia sapendo come cambia il fattore di scala in funzione del tempo) possiamo tener conto dell'espansione e sapere dopo quanto tempo il fotone arriverà a destinazione.
Da un punto di vista matematico bisogna calcolare qualcosa che in matematica si chiama "integrale". Non voglio entrare nel dettaglio del conto, per chi volesse affrontare il conto in maniera autonoma occorre risolvere questo integrale (usato proprio per calcolare "quanta distanza comobile percorre il fotone da quando è partito a quando arriva") e uguagliarlo a 3 miliardi di anni luce:

\int^{tf}_{tem} \frac{c * dt}{ a(t)} = 3 miliardi di anni luce

con tem = età dell'Universo al momento dell'emissione; tf = età dell'Universo al momento della ricezione.
Risolvendo questo integrale (facile da risolvere nel nostro caso, perché a(t) cresce linearmente con il tempo), si può ricavare tf, ossia il tempo in cui arriva il fotone.
Questo procedimento lo si può ripetere cambiando il tempo di emissione tem, infatti mettendo tem = 7 Gy, possiamo anche calcolare il tempo di arrivo del fotone nel secondo caso che hai portato come esempio.

Io ho già svolto questi calcoli, ottenendo che il fotone partito quando l'età dell'Universo è di 5Gy, arriva quando l'Universo ha un età tf = 9.11 Gy, mentre il fotone partito quando l'Universo ha 7 Gy, arriva nel momento in cui l'Universo ha tf = 12.75 Gy.

Se vuoi calcolare tu il tempo di arrivo di un fotone che parte quando l'Univierso ha una certa età (tem), basta che fai così (ho risolto l'integrale e viene fuori un esponenziale):
tf = tem * e^{r/5}

con r = la distanza comobile della galassia B dalla galassia A espressa in miliardi di anni luce. Puoi prendere magari un'altra galassia (galassia C) che ad un tempo t = t0 = 5 Gy dalla nascita dell'Universo ha una certa distanza "x", questa "x" (avendo assunto t0 = 5 Gy) è proprio la distanza comobile da mettere nella formuletta. In altre parole, tutte le distanze che "assegni" al tempo di riferimento saranno le tue distanze comobili.

Tornando agli esempi di prima quindi il conto che ho fatto è questo:
- nel primo caso: tf = 5 Gy * e^{3/5} = 5 Gy * 1.82 = 9.11 Gy
- nel secondo caso: tf = 7 Gy * e^{3/5} = 7 Gy * 1.82 = 12.75 Gy

Sapendo i tempi di arrivo è possibile calcolare di quanto si è allontanata la galassia B quando la luce arriva a destinazione. Ricordiamo che la distanza fisica dp = a(t) * r e che r = 3 miliardi di anni luce.
Se calcoliamo il fattore di scala ai 2 tempi finali, sappiamo quanto vale la distanza fisica della galassia B nei 2 casi.
- nel primo caso tf = 9.11 Gy, quindi: a = 9.11 / t0 = 9.11 / 5 = 1.82
- nel secondo caso tf = 12.75 Gy, quindi a = 12.75 / t0 = 12.75 / 5 = 2.55

quindi:
- nel primo caso quando la luce (partita a t = 5 Gy) arriva alla galassia A, la galassia B è arrivata a ben: dp1 = 1.82 * r = 1.82 * 3 = 5.46 miliardi di anni luce
- nel secondo caso quando la luce (partita a t = 7Gy) arriva alla galassia A, la galassia B è arrivata a ben: dp2 = 2.55 * r = 2.55 * 3 = 7.65 miliardi di anni luce

(per calcolare tali distanze abbiamo quindi prima calcolato il fattore di scala al tempo di arritvo "tf" e poi lo abbiamo moltiplicato per la distanza comobile r).

Come puoi notare la luce nel primo caso ha viaggiato per un tempo Dt = 9.11 Gy - 5 Gy = 4.11 Gy, nel secondo caso ha viaggiato per Dt = 12.75 Gy - 7 Gy = 5.75 Gy, quindi la distanza luce nel primo caso è 4.11 miliardi di anni luce e nel secondo caso è 5.75 miliardi di anni luce, ma come puoi notare la distanza "fisica", quella effettiva che separa le 2 galassie (quella che effettivamente ha compiuto la luce), nel primo caso è di dp1 = 5.46 miliardi di anni luce, nel secondo è dp2 = 7.65 miliardi di anni luce. Come puoi vedere, la distanza luce non può essere confrontata con la distanza propria.


E per quanto riguarda il calcolo del redshift? Il redshift cosmologico (che si indica con la lettera "z") di un fotone, si calcola in maniera molto semplice, perché essendo dovuto ad un espansione dello spazio (il fotone viene "stiracchiato"), dipende da quanto era "stiracchiato" lo spazio alla partenza del fotone e da quanto lo è alla fine, in altri termini dipende dal valore del fattore di scala a(t) al tempo di emissione (tem) e al tempo di ricezione (tf). La formula, molto semplice è la seguente:

z = a(tf)/a(tem) -1

Nel nostro caso:
- l'osservatore della galassia A osserverebbe che il fotone partito dalla galassia B a tem = 5 Gy (quando il fattore di scala valeva: a = 1) e arrivato a tf = 9.11 Gy (quando il fattore di scala valeva: a = 1.82) , ha un redshift pari a:
z = 1.82 / 1 - 1 = 1.82 - 1 = 0.82
- l'osservatore della galassia A osserverebbe che il fotone partito dalla galassia B a tem = 7 Gy (quando il fattore di scala valeva: a = 1.4) e arrivato a tf = 12.75 Gy (quando il fattore di scala valeva: a = 2.55) , ha un redshift pari a:
z = 2.55 / 1.4 - 1 = 1.82 - 1 = 0.82

Cosa noti? I 2 redshift sono uguali! In un Universo vuoto, in cui l'espansione è quella descritta sopra, il redshift di una sorgente rimane costante anche se la sorgente si allontana da noi! E' come se il fotone dovesse percorrere più tempo in volo (quindi subisse per più tempo l'effetto dell'espansione), ma tale effetto è perfettamente bilanciato dal fatto che l'espansione avviene ad un tasso sempre più piccolo (più """lentamente""", ora sappiamo cosa vuol dire), proprio di una quantità tale che l'effetto netto non varia con il tempo.
Infine ti volevo solo dire che ciò che tu chiamavi "fattore di stiramento" non era proprio il redshift, ma era: z + 1 (è come se tu avessi semplicemente diviso lunghezza d'onda finale per lunghezza d'onda iniziale), non è errato, ma non è propriamente quello che in Cosmologia viene chiamato "redshift", che al contrario è l'aumento percentuale della lunghezza d'onda finale rispetto a quella iniziale. Complimenti però perché non solo ci eri andato molto vicino (c'è solo un fattore 1 ininfluente perché costante) ma soprattutto perché lo avevi calcolato facendo un rapporto di distanze (lo stesso rapporto dei fattori di scala) e venendo la lunghezza d'onda del fotone "allungata" così come tutte le altre distanze, lo stavi calcolando nella maniera corretta.

(continua...per l'ultima volta)

[mario26c]

(...continua e finisce finalmente)

Concludo con il dirti che non ci sono fattori relativistici che non hai tenuto in considerazione per le velocità, per il semplice fatto che tutto ciò che ti ho spiegato tiene già conto della relatività (si ottiene dalle equazioni di campo della relatività generale) e le formule che sono state date in altri commenti per calcolare la velocità di allontanamento (che come puoi vedere non abbiamo usato), non sono valide nel caso del redshift cosmologico. Infatti sono valide per quello che riguarda l'effetto Doppler, ossia un redshift (o blueshift) dovuto ad una sorgente di luce in movimento NELLO spazio, non CON lo spazio, come avevo già detto in un altro post, quelle formule non sono valide per il redshift cosmologico che non è dovuto al moto di allontanamento delle galassie, ma bensi al modo in cui la lunghezza del fotone viene allungata dall'espansione dello spazio, mentre il fotone viaggia. La formula corretta che lega la velocità di allontanamento di una galassia da noi al suo redshift, è la seguente (abbiamo di nuovo a che fare con integrali):
v = c* \int^{z}_{0} \frac{dz}{ E(z)}
con E(z) un fattore che dipende dalla composizione dell'Universo e che per z << 1 ( quindi redshift molto piccoli) è pari a 1. Di conseguenza per oggetti che hanno redshift molto piccoli, la formula di sopra si riduce a:
v = c * z
che è di fatto la formula dell'effetto Doppler. Come dicevo in altri post, il redshift cosmologico si comporta COME un effetto Doppler per galassie vicine (si comporta inteso come "segue le stesse equazioni"), ma non è un effetto Doppler, ecco perché per redshift alti le equazioni dell'effetto Doppler (classico e relativistico) non sono corrette e non possono essere utilizzate. Infatti tali formule hanno problemi per velocità prossime a quelle della luce, al contrario l'equazione corretta (quella con l'integrale), non da alcun problema, e riesce a predire correttamente il fatto che molte galassie sembrano allontanarsi da noi a velocità maggiore di quella della luce.
(il fattore E(z) = \sqrt{a*{1+z}^{4}+b*{1+z}^{3 }+c*{1+z}^{2}+d} con a,b,c,d i cosiddetti "parametri di densità cosmologici" che spesso si indicano con altre lettere ma che per comodità ho indicato così, rispettivamente per la radiazione, materia, curvatura ed energia oscura, la cui somma a+b+c+d = 1).

Non è che l'effetto Doppler non esista, la luce delle galassie ha anche una componente di tipo Doppler dovuta al cosiddetto "moto proprio" delle galassie (dovuto principalmente ad interazioni gravitazionali con le galassie vicine), ma tale effetto è trascurabile rispetto al redshift cosmologico che però non è un effetto Doppler (e sicuramente nel nostro esempio non andava considerato), ma bensì è dovuto all'espansione dell'Universo (un altro modo per dirlo è che è dovuto al "flusso di Hubble").

Spero di non aver confuso le idee, ti chiedo scusa di nuovo (anche ai moderatori) per il commento eccessivamente lungo, però magari può essere stato d'aiuto a te o ad altri per chiarire molti aspetti che spesso destano confusione o malintesi, o che comunque ti ha fatto capire quanto è difficile lavorare e fare calcoli con un Universo in espansione, quindi è normalissimo che ti siano venute fuori cose contro-intuitive (sono venute fuori cose contro-intuitive anche con i calcoli corretti...). Ti faccio comunque di nuovo i complimenti perché non è da tutti affrontare dei calcoli in ambito cosmologico e perché comunque, tolti alcuni errori, una buona parte dei conti era corretta. Ti auguro una buona giornata, per qualsiasi domanda fai pure.

[mario26c]

Rileggendo il commento a mente fresca mi sono reso conto di un paio di errori di ortografia che mi sono sfuggiti (ci ho messo molto a scrivere il commento e l'ho modificato un po' di volte prima di pubblicarlo, quindi anche se l'ho riletto più di una volta qualche errore è sfuggito), solo che non posso più modificare i commenti precedenti.
Ne approfitto per dire che tutti i conti fatti (da me e in parte da @Maurizio_39) sono corretti e validi nel il caso di un universo vuoto, come ho detto più volte. Ovviamente per ottenere risultati validi per quello che riguarda il nostro Universo, occorre tenere conto della sua composizione per calcolare come varia il fattore di scala a(t) in funzione del tempo (anticipo già che per come è fatto il nostro Universo non esiste una formula semplice con cui si può esprimere a(t), ma si calcola numericamente al computer risolvendo la cosiddetta "Prima Equazione di Friedmann") e quindi come varia anche il parametro H(t) in funzione del tempo da inserire nella legge di Hubble-Lemaitre.
L'Universo in cui viviamo è abbastanza complesso
Buona giornata