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Discussione: I perimetri orbitali

  1. #1
    Pianeta L'avatar di M.Vaglieco
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    I perimetri orbitali

    Il perimetro di una orbita ellittica in astronomia è calcolato tramite la terza legge di Keplero, ma indicato giustamente come Circonferenza Orbitale (in Wikipedia) e dato dal raggio della Circonferenza in cui è inscritto l'ellisse rappresentante l'Orbita del Pianeta.
    La formula è 2Rπ=2qπ (q>m semi-assi): in geometria invece il calcolo di tutto il perimetro di una Ellisse è dato da 2Rπ=(q+m)π, dove sono uguali i perimetri dei quadranti delle due figure ma non i valori intermedi.
    La differenza tra i due calcoli è minima, ma il concetto è importante.
    Domanda: c' è un motivo particolare perchè debba essere usato R=q anziché 2R=(q+m)?
    Tale risposta è importante, perché nel caso si adottasse la soluzione geometrica ciò porterebbe alla modifica di certe considerazioni; in primo luogo alla correzione della terza legge di Keplero dandogli una valenza matematica esatta .
    Spero in molte critiche costruttive. M.Vaglieco

  2. #2
    Staff • Autore L'avatar di Enrico Corsaro
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    Re: I perimetri orbitali

    Il motivo più ovvio che mi viene in mente per cui si assuma che q=m nel tuo caso, è che le orbite planetarie sono praticamente tutte (ad eccezione di quella di Mercurio) circolari con buona approssimazione (circa 1%). Francamente però non so dove tu abbia preso queste formule e non mi risulta siano corrette. La formula geometrica del perimetro di una ellisse di semiassi m e q è data da
    P = pigreco * radice( 2 * q^2 * m^2), cioè la generalizzazione del caso della circonferenza.
    In ogni caso, la terza legge di Keplero si avvale della misura del semiasse maggiore, e non del raggio, quindi non vedo come ciò che dici dovrebbe cambiarne la sua formulazione.
    C'è anche da dire che comunque a prescindere, le leggi di Keplero si basano sull'approssimazione di massa planetaria trascurabile rispetto a quella Solare, e di interazioni tra pianeti trascurabili anch'esse. Sappiamo poi che nel dettaglio ciò non è verificato, poichè le orbite planetarie non sono perfettamente ellittiche ma hanno fluttuazioni dovute alle interazioni pianeta-satelliti e pianeta-pianeta. Globalmente comunque l'effetto è con buona approssimazione rappresentabile dalla terza Legge.
    Ultima modifica di Enrico Corsaro; 10-03-2015 alle 13:21

  3. #3
    Pianeta L'avatar di M.Vaglieco
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    Re: I perimetri orbitali

    Citazione Originariamente Scritto da Enrico C. Visualizza Messaggio
    I
    • Giustamente tu parli di "approssimazione" ciò é valido nel calcolo, ma non accettabile matematicamente: altrimenti la I° legge di Keplero non avrebbe più senso, invece è delle sue Leggi che discutiamo, ne può essere diversamente.
    • Per il Perimetro della Ellisse ci si deve rifare all'integrale Ellittico, vedi Allegato.
    • Nella terza Legge il semi-asse maggiore è preso come raggio di una circonferenza: vedi allegato.
    • Le (ultime) tue affermazioni sono a posteriori alle considerazione che ora propongo. I limiti di validità delle Leggi di Keplero che tu spieghi (anche in Wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Keplero) giustificano l'approssimazione, e non solo della Terza Legge, approssimazione che può essere ridimensionata con opportune considerazioni.
    Converrai con me che le formule che gestiscono i calcoli devono basarsi sempre su Teoremi e Leggi matematiche. Ti ringrazio dell'interessamento e tengo a precisare che le cose che dico, sono osservazioni di discussione.M.Vaglieco
    P.S. Spero di aver caricato bene l'allegato: qualche anima pietosa potrebbe darmi ragguagli?
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  4. #4
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    Re: I perimetri orbitali

    Mi spiace ma non riesco a leggere le equazioni nel documento word.
    Se riesci sarebbe meglio convertirlo in PDF e riallegarlo.
    Dopo di che ne discutiamo più in dettaglio.

    Per quanto riguarda la natura matematica delle leggi, non mi trovo d'accordo con quello che sostieni.
    Il motivo è il seguente:
    le leggi di Keplero non sono di natura leggi esclusivamente geometriche, ma sono leggi fisiche.
    Il motivo di ciò è legato alla presenza del campo gravitazionale, che va a caratterizzare il moto di tipo centrale. La legge gravitazionale è di per sè una approssimazione, se pur molto precisa su scala del sistema solare. Le stesse leggi non sono altrimenti derivabili neanche analiticamente se non ti basi su alcune assunzioni basilari.

    La derivazone delle leggi di Keplero deve inevitabilmente implicare l'assunzione di base che le masse planetarie siano trascurabili rispetto a quella del Sole. All'atto pratico, il sistema dei corpi in moto di rivoluzione intorno al Sole è un problema noto come problema ad N-corpi, ed è caotico, ovvero non ha una soluzione matematica esatta e la sua risoluzione richiede calcoli numerici molto articolati. La NASA calcola annualmente la correzione sulla posizione dei singoli pianeti ed è possibile ricostruire la distribuzione dei pianeti andando a ritroso nel tempo, fino ad anche 15 mila anni fa, con un errore di circa 4 giorni sul moto orbitale (a circa 15 mila di anni fa, il che è incredibimente accurato).

    Concordo che le leggi fisiche si basano su leggi matematiche, ma fisica e matematica sono due cose diverse, e qui è la fisica che entra in gioco, con le sue approssimazioni.

    Che nella terza legge di Keplero il semiasse sia preso come raggio di una conferenza è assolutamente sbagliato e non capisco da dove tu abbia ottenuto questa conclusione.
    La terza legge ha un significato fisico profondo. I due semiassi dell'ellisse sono legati a quantità fisiche fondamentali nel sostenere il sistema orbitale, ovvero l'energia totale ed il momento angolare del sistema. In particolare, il semiasse maggiore è il solo legato esclusivamente all'energia del sistema (mentre il minore è legato anche al momento angolare), ed è proprio questa dipendenza il motivo per cui è il semiasse maggiore, e NON quello minore, che si lega direttamente al periodo orbitale.

    Il problema di base qui secondo me è che cerchi di spiegare da un punto di vista unicamente matematico una legge che di per se è fisica e nasce come tale da approssimazioni imprescindibili.

  5. #5
    Staff • Moderatore Globale L'avatar di Red Hanuman
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    Re: I perimetri orbitali

    @Enrico C. , ho convertito io il file...

    2D Allegato1.pdf

  6. #6
    Nana Bruna L'avatar di naieh
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    Re: I perimetri orbitali

    Ecco, ho di nuovo il problema di visualizzazione ): invece l'allegato di prima lo vedo senza problemi.

  7. #7
    Staff • Autore L'avatar di Enrico Corsaro
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    Re: I perimetri orbitali

    Ho letto il PDF, sono d'accordo sul fatto che l'equazione del perimetro è una approssimazione e che purtroppo non c'è una relazione esatta analiticamente. Leggendo in letteratura, sembra che l'approssimazione di Ramanujan sia tra le migliori disponibili, sempre in condizioni di semiassi non eccessivamente diversi fra loro (entro un fattore 3), il che va più che bene per il caso che si discute.

    Dati due semiassi q ed m, il perimetro può essere dato come
    P = pigreca * [ 3 * (q + m) - radice( (3q + m) * (q + 3m)) ]

    Capisco la relazione biunivoca che menzioni tra due cerchi ed una ellisse e che la utilizzi per ricavare la terza legge a partire da una circonferenza. Questo mi può star bene in una versione semplificata della derivazione e come esercizio didattico, ma non è il modo in cui si deriva la terza legge.
    Per farlo in modo rigoroso, ricorriamo alla meccanica classica. Bisogna partire prima dal calcolo delle orbite (prima legge), tramite il potenziale efficace del sistema centrale, poi si utilizza il risultato della seconda legge, ovvero la costanza della velocità areolare, proporzionale al momento angolare del sistema. Combinando il risultato delle prime due leggi si trova facilmente la proporzionalità costante tra periodo e semiasse maggiore. Non c'è nessuna assunzione di circolarità qui, nè si tratta di una approssimazione, le orbite sono realmente ellittiche. Inoltre, il calcolo del perimetro in questo caso non entra in gioco. Se vuoi discutere le equazioni in dettaglio, fammi sapere.
    Ultima modifica di Enrico Corsaro; 14-03-2015 alle 17:11

  8. #8
    Pianeta L'avatar di M.Vaglieco
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    Re: I perimetri orbitali

    E' mia convinzione che a ogni «modello» fisico corrisponda un «modello» matematico ma non che ogni modello matematico rappresenti un modello fisico.
    Citazione Originariamente Scritto da Enrico C. Visualizza Messaggio
    Il problema di base qui secondo me è che cerchi di spiegare da un punto di vista unicamente matematico una legge che di per se è fisica e nasce come tale da approssimazioni imprescindibili.
    Se tutto fosse immobile non ci sarebbe nessuna approssimazione; determinare una «approssimazione» è il presentare due aspetti diversi dello stesso fenomeno: il sole stava quà adesso sta là, "aspetto fisico", "misuro i due fenomeni" per cercare di capire cosa è successo "aspetto matematico".
    Enrico ,purtroppo non riesco (e non posso) seguirti: Le tue considerazioni sono molto interessanti ma rivestono un aspetto filosofico, su cui si può discutere, ma è tutto un altro campo. Il rigore della matematica (e quindi della geometria, che è un suo strumento) applicato alla fenomenologia ha dato luogo a idee razionali «filosofiche» nel tentativo di giustificare non solo il mondo che ci circonda ma noi stessi in questo mondo.
    La tua osservazione:
    Citazione Originariamente Scritto da Enrico C. Visualizza Messaggio
    Che nella terza legge di Keplero il semiasse sia preso come raggio di una circonferenza è assolutamente sbagliato.
    si rifà a questo tuo modo di scindere realtà (presunta tale = sono perfettamente d'accordo) e concetti personali: per qualche altro che ci legge, dico che l'espressione (2Rπ) è per convenzione (se vuoi) la misura di una circonferenza, qualunque sia la costante R, ma che nulla toglie allo stupore di un fenomeno «circolare». Il T che compare nella formula è il tempo, che non ha alcun riscontro fisico: in realtà non esiste se non per convenzione, e su questo il tuo discorso andrebbe bene.
    Sinceramente non so cosa dirti: mi viene in mente il filosofo greco Pirrone e la sua acatalepsia, che implica l'impossibilità della conoscenza delle cose nella loro intima natura.
    Ciò che dici è comunque da pensare e approfondire ma in altra sede. Auguri.
    Qualcuno può dirmi se in HTML è possibile scrivere "le discussioni" in un linguaggio matem. come LaTex. Grazie M.Vaglieco
    Ultima modifica di etruscastro; 14-03-2015 alle 13:03

  9. #9
    Pianeta L'avatar di M.Vaglieco
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    Re: I perimetri orbitali

    Citazione Originariamente Scritto da Enrico C. Visualizza Messaggio
    Ho letto il PDF, sono d'accordo sul fatto che l'equazione del perimetro è una approssimazione e che purtroppo non c'è una relazione esatta analiticamente. Leggendo in letteratura, sembra che l'approssimazione di Ramanujan sia tra le migliori disponibili, sempre in condizioni di semiassi non eccessivamente diversi fra loro (entro un fattore 3), il che va più che bene per il caso che si discute.

    Dati due semiassi q ed m, il perimetro può essere dato come
    P = pigreca * [ 3 * (q + m) - radice( (3a + b) * (a + 3b)) ]

    Capisco la relazione biunivoca che menzioni tra due cerchi ed una ellisse e che la utilizzi per ricavare la terza legge a partire da una circonferenza. Questo mi può star bene in una versione semplificata della derivazione e come esercizio didattico, ma non è il modo in cui si deriva la terza legge.
    Per farlo in modo rigoroso, ricorriamo alla meccanica classica. Bisogna partire prima dal calcolo delle orbite (prima legge), tramite il potenziale efficace del sistema centrale, poi si utilizza il risultato della seconda legge, ovvero la costanza della velocità areolare, proporzionale al momento angolare del sistema. Combinando il risultato delle prime due leggi si trova facilmente la proporzionalità costante tra periodo e semiasse maggiore. Non c'è nessuna assunzione di circolarità qui, nè si tratta di una approssimazione, le orbite sono realmente ellittiche. Inoltre, il calcolo del perimetro in questo caso non entra in gioco. Se vuoi discutere le equazioni in dettaglio, fammi sapere.
    Questo lo capisco meglio del precedente discorso. Enrico tra un risposta e l'altra devi avere un poco di pazienza, altrimenti non riesco a seguirti.

  10. #10
    Staff • Autore L'avatar di Enrico Corsaro
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    Re: I perimetri orbitali

    Cerco di fare un pò chiarezza sul mio discorso.
    Sono perfettamente d'accordo che ogni modello fisico si basa su un modello matematico, e che non vale il viceversa, su questo non ci sono dubbi.
    Sottolineo che le mie considerazioni non sono filosofiche, ma fisiche, ed è proprio di fisica che mi occupo per professione, non di filosofia o speculazione matematica.

    Detto ciò, capisco che tu voglia trovare un significato matematico profondo nella terza legge di Keplero poichè sei interessato esclusivamente all'aspetto matematico, ma per questo particolare caso c'è un aspetto fondamentale da considerare: la terza legge di Keplero, come le altre due leggi, nasce esclusivamente dal tipo di moto preso in considerazione, detto moto centrale. Moto centrale non significa che la conica descritta dal moto sia una circonferenza, ma più in generale che sia una conica con ellitticità minore di 1, ovvero una ellisse (e nel caso degenere una circonferenza). Il moto centrale ha origine per la natura del campo gravitazionale (un campo di tipo centrale ovvero) e il tipo di moto ha senso di essere descritto solo in funzione del tempo, astratto o reale che sia. Se rimuovessi il tempo dal sistema e cercassi di analizzare matematicamente il modello, il modello fisico non avrebbe più modo di esistere, e di conseguenza anche quello matematico.

    A prescindere comunque dalla considerazione temporale, il modello matematico-geometrico di riferimento è esclusivamente quello dell'ellisse, e null'altro. Ed è questo l'aspetto matematico rilevante, il fatto che un moto centrale possa essere descritto in prima approssimazione da un semplice modello geometrico, molto ben conosciuto.

    Spero però di non deludere le tue aspettative dicendoti che non c'è un significato matematico profondo nella terza legge. In questo senso la trattazione matematica è relativamente semplice e tale rimane per questo tipo di modello. Se poi vogliamo studiare la matematica dei parametri orbitali nel caso reale, la situazione si fa enormemente più complessa poichè le vere orbite non sono banalmente ellissi, ma sono soggette a modulazioni provocate da un sistema a multi corpi, e sono impossibili da risolvere in modo analitico esatto. Ed è per questo che il modello matematico dell'ellisse su ordini di precisione superiori qui non ha più utilità, nè esiste più un modello matematico ben definito, se non quello caotico.

    Quello che cerco di farti capire è che ciò che invece fa la differenza per le leggi di Keplero, e ciò che ha un significato profondo, è la loro caratterizzazione fisica, non quella matematica, soprattutto per la seconda e terza legge (mentre la prima è più legata alla natura geometrica).
    Ultima modifica di Enrico Corsaro; 14-03-2015 alle 18:14

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