dubbio meccanica orbitale

[Enrico Corsaro]

Io credo che, partendo dall'ipotesi semplificata di orbita perfettamente circolare, imprimendo un'accelerazione in direzione del moto (componente tangenziale), quello che varia di fatto è l'ECCENTRICITA' dell'orbita: cioè, partendo da una orbita circolare di raggio r1 e di velocità costante v1, aumentiamo la velocità (per semplicità supponiamo in un lasso di tempo trascurabile rispetto al periodo orbitale, e che quindi possiamo considerare "istantaneo"), ad un valore vP (poi sarà chiaro il perché di questo nome).
Ciò che io credo che succeda questo punto, è che la posizione in cui si trova il satellite in quell'istante diventa il perigeo di una nuova orbita, non più circolare, ma ellittica, con un perigeo pari a r1 e un apogeo r2 ( >r1, ovviamente), e nella quale la velocità varia da vP (velocità massima, al perigeo) a vA (velocità minima, all'apogeo).
Occorre notare che vA sarà minore non solo di vP (come è per definizione di orbita ellittica), ma anche di v1! Non ho la dimestichezza matematica per dimostrarlo, ma se immaginiamo di tracciare un'orbita circolare passante per l'apogeo dell'orbita ellittica in questione, è intuitivo che la velocità orbitale v2 deve essere maggiore di vA (altrimenti l'energia cinetica non sarebbe sufficiente per mantenere l'orbita circolare), ma sappiamo che v2 deve essere minore di v1, quindi vA è obbligatoriamente minore di v1.

@bertupg hai sollevato numerosi dettagli però è meglio affrontarli poco a poco altrimenti ci affolliamo troppo le menti e chi legge non riesce a seguire più nulla.

Premetto che non sono un ingegnere aeronautico e che di base non so come determinate manovre vengano eseguite, in che ordine e con quale priorità. Di base però si può ragionare sulla logica di fondo e cercare di afferrare quantomeno il concetto, per i meno esperti.

Per capirci meglio, poniamoci nel caso di due soli corpi, in orbita attorno ad un centro di massa. Nell'esempio pianeta-satellite, il centro di massa risulterà chiaramente all'interno del pianeta, per cui si può approssimare il moto come quello del satellite in orbita attorno al pianeta.

Potenzialeefficace.JPG
La figura mostra il grafico chiave per capire come il moto avvenga. In verticale è riportato il cosiddetto potenziale efficace, un potenziale che ci dice quanto sia l'energia del corpo in orbita (somma di potenziale gravitazionale e centrifugo dato dal moto di rivoluzione per effetto del momento angolare) ad esclusione di quella cinetica lungo la direzione radiale. In orizzontale la distanza dal centro (r = 0). L'energia totale (somma di cinetica e potenziale) è indicata con E e riportata in diversi valori da delle linee in orizzontale.
Il moto del corpo in orbita è vincolato dalla curva a buca del potenziale efficace. Il corpo cioè si può muovere solo dentro i limiti imposti dalla buca, e non oltre.
Quello che succede è che se il corpo ha una energia totale E con il minimo valore possibile (in pratica cioè con energia cinetica nulla), l'orbita è circolare. Se E è negativa e comunque più elevata del valore minimo, l'orbita è invece ellittica (cioè il corpo si muove radialmente tra due posizioni massima e minima), mentre se E è maggiore di zero, l'orbita è una parabola, cioè il corpo sfugge via dal sistema legato senza più ritornare in orbita.

Il discorso che ho affrontato l'ho volutamente posto in una condizione semplice, cercando di far cogliere l'essenza del problema, cioè la conservazione del momento angolare.

Se però tiriamo in ballo la geometria dell'orbita le cose ovviamente si complicano.
Per capirci bene quello che succede è il seguente:
1) Se applico una accelerazione lungo la direzione RADIALE, sto cambiando la velocità radiale del corpo in orbita e dunque introduco una energia cinetica al corpo in orbita. Di conseguenza, cambio l'energia totale E. Questo significa che sto cambiando l'eccentricità dell'orbita ma i punti di massimo e minimo raggio non dipendono dalla posizione iniziale come diceva bertupg, bensì dall'energia totale E acquisita e sono calcolabili direttamente come soluzione dell'equazione dinamica che regola il sistema. Questo significa che se ad esempio l'orbita era inizialmente circolare, accelerando radialmente, la farò diventare ellittica. Viceversa però, tutti i sistemi tendono per natura alla minima energia e cioè anche se inizialmente l'orbita è ellittica, con il tempo essa tendera a diventare circolare (effetto noto come circolarizzazione dell'orbita), cioè tenderà ad annullare ogni componente radiale di moto.
2) Se applico una accelerazione lungo la direzione del moto orbitale invece, non sto introducendo alcuna energia cinetica, ma sto cambiando la velocità angolare del corpo in orbita! Di conseguenza, poichè il momento angolare deve globalmente mantenersi costante, il sistema per compensare questa variazione, farà si che il corpo si sposti su di un'orbita diversa secondo il bilancio dato tra momento d'inerzia e velocità angolare orbitale (se uno aumenta, l'altra decresce e viceversa), senza però cambiarne l'eccentricità, come invece avviene nell'altro caso.

Questo concetto è fondamentale da capire ed è basilare per poter gestire qualsiasi altro spostamento più complesso che sia la combinazione di moti in varie direzioni.

[bertupg]

Ok, sono d'accordo con il principio di conservazione della quantità di moto, ma questo:

2) Se applico una accelerazione lungo la direzione del moto orbitale invece, non sto introducendo alcuna energia cinetica, ma sto cambiando la velocità angolare del corpo in orbita!

mi lascia molto perplesso...

L'energia cinetica, da che io sapevo, è proporzionale alla massa e al quadrato della velocità.
Se applico un'accelerazione in direzione del moto, mi aspetto che la velocità aumenti, e per tanto anche l'energia cinetica. Dov'è che sbaglio?

A me sembra che, par applicare una qualunque accelerazione, diversa da quella centripeta, sia necessaria una forza "esterna", che nel caso dei razzi del satellite è l'energia chimica sprigionata dalla combustione, la quale viene "iniettata" nel sistema aumentando l'energia totale.
Quindi mi sa che la conservazione della quantità di moto va a farsi benedire, fino a che non spengo i razzi e non analizzo la "nuova" orbita così ottenuta... o no?

[Enrico Corsaro]

L'energia cinetica, da che io sapevo, è proporzionale alla massa e al quadrato della velocità.
Se applico un'accelerazione in direzione del moto, mi aspetto che la velocità aumenti, e per tanto anche l'energia cinetica. Dov'è che sbaglio?

Il moto in campo centrale è descritto in termini di due coordinate, una radiale ed una angolare. Applicando una accelerazione in direzione angolare, quella citata da te al punto 2), non sto introducendo una energia cinetica. L'energia cinetica in campo centrale è espressa dal moto lungo la direzione radiale. Il moto angolare è invece unicamente legato all'effetto del momento angolare del sistema.

A me sembra che, par applicare una qualunque accelerazione, diversa da quella centripeta, sia necessaria una forza "esterna", che nel caso dei razzi del satellite è l'energia chimica sprigionata dalla combustione, la quale viene "iniettata" nel sistema aumentando l'energia totale.
Quindi mi sa che la conservazione della quantità di moto va a farsi benedire, fino a che non spengo i razzi e non analizzo la "nuova" orbita così ottenuta... o no?

La quantità di moto smette di conservarsi se acceleri lungo la direzione radiale, non lungo quella angolare cioè del moto orbitale. L'errore che fai è pensare al moto orbitale come se fosse un moto rettilineo, non è una associazione corretta. La quantità di moto non entra piu' in gioco se analizzi la componente lungo il moto orbitale.
Per capirlo, pensa all'esempio della pattinatrice. Pur applicando essa stessa una forza alle sue braccia che le permette di muoverle da una posizione chiusa ad una estesa, non riesce a cambiare il momento angolare. Il movimento che porta la pattinatrice ad estendere le sue braccia è equivalente ad applicare una forza con dei razzi che spostano le estremità delle braccia verso l'esterno. Cambia solo il momento d'inerzia del suo corpo, ed il suo sistema per far si che il momento angolare si conservi, varia la velocità angolare con cui la pattinatrice ruota. Estendendo le braccia il momento d'inerzia aumenta e di conseguenza la velocità angolare diminuisce. Questo perchè la forza applicata dalla pattinatrice stessa non è una forza esterna al sistema. Ci vorrebbe in pratica qualcuno che la trattenga, oppure che essa freni usando l'attrito con il terreno, per cambiare il momento angolare. @bertupg è piu' convincente così con l'esempio?

[bertupg]

Guardate, io dopo un po' nelle formule mi perdo, comunque, a forza di fare, sono riuscito a trovare riscontro (ma guarda un po') su ciò che avevo in mente e cercato maldestramente di spiegare, ed ho scoperto che si chiama "Trasferimento alla Hohmann" (https://it.wikipedia.org/wiki/Trasfe...o_alla_Hohmann), senza bisogno di andare a spulciare in manuali di ingegneria aeronautica o archivi segreti della NASA.

Non mi stupisce in effetti che una cosa del genere fosse già stata ideata molto tempo addietro (di certo non ho mai avuto, e mai avrò, la pretesa di avere idee innovative e brillanti), ma mi rincuora che ciò che ho scritto nel mio primo intervento abbia un effettivo riscontro nella realtà. (Anzi, anche se non vi è merito alcuno, un po' mi compiaccio di esserci arrivato anche da solo).
Forse ho usato il termine sbagliato quando ho scritto "eccentricità": avrei in effetti dovuto parlare di "asse maggiore", e ad essere onesto avrei voluto farlo, ma mi sembrava in questo modo di introdurre un ulteriore complicazione, quando quello che volevo far capire era solo che l'effetto della prima accelerazione è quello di passare da un'orbita circolare ad una ellittica (e viceversa nella seconda accelerazione).

Come ho detto, forse la mia spiegazione è stata un po' confusionaria e maldestra, ma quella della pagina di wikipedia mi sembra perfettamente chiara, e non particolarmente complicata, senza bisogno di introdurre quantità di moto, energia potenziale e quant'altro, spiegando quindi il fenomeno, a mia impressione, nei termini più semplici possibili.

Poi, se si vuole indagare sul fatto che tra l'orbita iniziale interna e l'orbita finale esterna vi sia o meno variazione di quantità di moto, non sta a me appurarlo. Io volevo solo mostrare come, solo unicamente con spinte in direzione del moto, e quindi ACCELERANDO in momenti specifici dell'orbita, si può passare da un'orbita circolare interna a velocità elevata, ad una più esterna a velocità più bassa, "risolvendo" l'apparente paradosso citato da @luca.g nel post di apertura della discussione.

[Enrico Corsaro]

Grande @bertupg!

[Enrico Corsaro]

Quello che riassume la figura è abbastanza chiaro a mio avviso. Senza tirare in ballo equazioni si vede che di fatto l'orbita inizialmente circolare viene trasformata in un'orbita ellittica accelerando il satellite e cambiando così la sua energia totale, secondo il grafico che ho mostrato prima. Di seguito, per rendere l'orbita nuovamente circolare si compie un ulteriore intervento nel momento in cui il satellite raggiunge il punto a massima distanza dell'orbita ellittica, che di fatto cambia nuovamente l'eccentricità dell'orbita riportandola alla condizione di minima energia.

[andrea macchiarelli]

\leftarrow\leftarrow

Buongiorno ragazzi,
ho un dubbio sulla meccanica orbitale e non riesco a venirne fuori. Premetto che conosco la fisica (laurea in ingegneria) ma sono quei dubbi che ti assalgono e non riesci a venirne fuori. In pratica parlando di orbite, sappiamo che ad un orbita più lontana è associata una minore velocità orbitale mentre ad una più stretta una maggior velocità orbitale. Se però io ho un oggetto (pianeta o satellite che sia) e voglio allargarne l'orbita devo aumentarne la velocità, concetto però in contrasto con quanto detto prima, cioè ad un orbita più larga corrisponde una minor velocità orbitale. Ad esempio se la terra rallentasse "cadrebbe" verso il sole o restringerebbe la sua orbita, ma secondo quanto constatato prima una minor velocità dovrebbe corrispondere un'orbita più allargata e non più stretta.
Quindi se io ho 2 satelliti alla stessa altezza (quindi stessa orbita) avranno ovviamente la stessa velocità orbitale, ma se ne accelero uno aumentandone la velocità questo si sposta su un orbita più "alta" quindi più ampia, ma secondo quanto detto prima non dovrebbe avere una minor velocità rispetto al satellite più "basso"?
A me sembra un paradosso, ma la spiegazione credo che risieda nella conservazione del momento angolare ma riesco a capire come. qualcuno può darmi una spiegazione esauriente?

Grazie!

Penso che il sistema sia in equilibrio instabile. Una qualsiasi perturbazione comporta una variazione verso uno stato di non equilibrio. Potrebbe successivamente intervenire un altra perturbazione atta a ristabilire l'equilibrio o comprometterlo ulteriormente. La luna per esempio é in equilibrio instabile e si sta allontanando di qualche centimetro al gorno

[bertupg]

[...]si sta allontanando di qualche centimetro al gorno

all'anno

[luca.g]

Ragazzi riesumo questa discussione perché dopo tanti anni è stato pubblicato un quesito identico al mio con relativa soluzione. Consiglio la lettura dell'articolo.

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it...ento-orbitale/

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[SVelo]

Scritto da: Vincenzo Zappalà