Cerchio, 2 sfera, 3 sfera... Quale analogia?

[DarknessLight]

Dalla terminologia in uso però vedo molta confusione per cui è meglio cercare di chiarire i concetti dalla base

Indubbiamente credo di aver fatto molta confusione. Da come ne parli credo di aver scalato le varie figure di 1 dimensione: credevo che la 2 sfera fosse la sfera "classica", cioè quella che fa da bordo ad una palla tridimensionale, mentre credevo che la 3 sfera fosse il suo analogo ma con il bordo in 3 dimensioni che racchiude una "palla" in 4 dimensioni.
La confusione me l ha fatta fare la pagina di Wikipedia, dai un occhiata: http://it.wikipedia.org/wiki/3-sfera.
Invece a quanto pare tu parli di 2 sfera come fosse un cerchio, mentre la 3 sfera è la sfera "classica". Infine la 4 sfera è il bordo in 3 dimensioni in uno spazio a 4 dimensioni. È giusto questo?

Infatti tu dici

la 2-sfera è un cerchio per intenderci. Si parla di sfera quando siamo in 3 dimensioni, e di ipersfera in dimensioni superiori a 3 (oppure N-sfera in generale, dove N è il numero di dimensioni con . Inoltre, una cosa è la sfera, un'altra è la superficie sferica. La superficie di una N-sfera è sempre in N-1 dimensioni. Quindi in una 3-sfera, o semplicemente sfera, la superficie è in due dimensioni

Mi pare proprio di capire che ho sbagliato scalando le varie figure di 1 dimensione in più rispetto a ciò che sono.
Ma a questo punto allora è la pagina di Wikipedia ad essere sbagliata? Oppure ho capito male quello che volevi dire?

Nell'esempio fatto in figura da Zappalà, hai un cerchio che si espande (2 dimensioni), in cui l'Universo è rappresentato da una circonferenza (1 dimensione!).

Ok

Se consideriamo la 3-sfera, possiamo estendere l'analogia menzionata da Zappalà tramite l'uso di una sfera che si espande, e con un raggio che definisce l'asse temporale. L'Universo in questo caso sarà dunque rappresentato dalla superficie sferica, in 2 dimensioni. L'analogia continua a sussistere perchè è ancora visualizzabile. Ma siccome è uno schema, non aggiunge sostanzialmente nulla a quanto già il caso del cerchio ci mostra. Quindi il caso del cerchio illustrato da Zappalà e da te è già sufficiente

Ok

Se adesso consideriamo una 4-sfera, con l'Universo che stavolta diventa una ipersuperficie a 3 dimensioni, non ha più senso tenere in ballo l'analogia perchè non è più visualizzabile.

Ok, questa non è più un analogia ovviamente: questa è la "forma" reale dell universo o sbaglio?
Cioè, diciamo che l universo è finito e illimitato, poi sappiamo che ha 4 dimensioni, allora a logica la 4 sfera dovrebbe essere in grado di spiegare come è fatto.
La 4 sfera non è appunto un oggetto finito e illimitato che risiede in uno spazio a 4 dimensioni?
Poi ovviamente con la 3 sfera o con il 3 toro descrivo il volume dell universo, ma solo il volume. Invece con la 4 sfera posso descrivere l universo nel suo completo ovvero spazio + tempo.

Spazialmente (e dico solo spazialmente) si può considerare una 3-sfera, ma non ci sono le prove definitive di ciò. In questo caso dobbiamo stare attenti comunque a non confondere ciò che è la metrica dello spazio-tempo, di cui ho parlato nel mio articolo sul portale, con quella che invece è la topologia dell'Universo, cioè la forma fisica vera e propria, di cui si parla in questa discussione.

Ok, 3 sfera o 3 toro per descrivere il VOLUME, ma volume + tempo è una 4 sfera.
D accordo, noi non riusciamo a visualizzarla visivamente, ma matematicamente si. Questo non basta?

E lo schema NON è corretto per rappresentare realmente l'Universo. Il tempo NON è la coordinata radiale di una sfera in 4 dimensioni

se mi stai dicendo semplicemente che lo schema di Zappalà del cerchio è, appunto, solo uno schema e che quindi riduce le dimensioni dell universo a 2 quando invece ne dovrebbe avere 4, allora ok.
Però a questo punto se invece di un cerchio utilizzo una 4 sfera dovrebbe essere tutto risolto. Ovviamente mi dirai che non è così semplice, ma è il motivo del mio errore che mi sfugge..

Infatti poi dici...

In quanto schema come ti dicevo, ha l'unico compito di darci una visualizzazione semplice e pratica dell'evoluzione dell'Universo, nient'altro. Non c'è un modo per visualizzare qualcosa che si estende in modo indefinito ed in 4 dimensioni, ok? Possiamo solo limitarci a visualizzarne porzioni, quindi riducendo il numero di dimensioni a 3.
Nel caso della sfera di Hubble, cioè tutto ciò che sostanzialmente possiamo percepire, effettivamente la forma topologica è quella di una sfera in 3 dimensioni, per forza di cose.
Di fatto non abbiamo un modo per verificare la forma al di là di ciò che osserviamo e che possiamo osservare...ragionevolmente è possibile pensare ad una sfera, ma ci sono anche altri tipi di topologie come ad esempio quella di un toro in 3 dimensioni

ok, il volume è un 3 sfera o un 3 toro, ma l universo inteso come volume + tempo è una 4 sfera?

L'Universo dovrebbe essere finito per via della sua formazione, perchè ha avuto un inizio in cui tutto era addensato in un volume piccolissimo. Poichè il tempo trascorso da quell'istante iniziale è finito, anche il volume dovrebbe esserlo. Ciò però non ha nulla a che fare con l'esistenza di bordi. Non c'è motivo di base per cui debbano esistere dei bordi fisici, oltre i quali non puoi andare perchè vai a sbattere e tra l'altro contemplarli sia fisicamente che matematicamente comporterebbe delle complicazioni enormi. Per questo diciamo dunque che lo spazio-tempo è illimitato. Un modo di visualizzarlo è quello del palloncino, o della circonferenza di cui parlavamo prima.

Ok


Comunque in sintesi la domanda è (mi ripeto per essere chiaro ed evitare fraintendimenti): il volume dell universo è una 3sfera o un 3-toro, ma l universo ha 4 dimensioni. Va bene una 4 sfera? Immagino che dirai di no ma non capisco il perché..

[Enrico Corsaro]

Indubbiamente credo di aver fatto molta confusione. Da come ne parli credo di aver scalato le varie figure di 1 dimensione: credevo che la 2 sfera fosse la sfera "classica", cioè quella che fa da bordo ad una palla tridimensionale, mentre credevo che la 3 sfera fosse il suo analogo ma con il bordo in 3 dimensioni che racchiude una "palla" in 4 dimensioni.
La confusione me l ha fatta fare la pagina di Wikipedia, dai un occhiata: http://it.wikipedia.org/wiki/3-sfera.
Invece a quanto pare tu parli di 2 sfera come fosse un cerchio, mentre la 3 sfera è la sfera "classica". Infine la 4 sfera è il bordo in 3 dimensioni in uno spazio a 4 dimensioni. È giusto questo?

Nella pagina wiki ci si riferisce a 3-sfera come superficie sferica in 3 dimensioni, cioè l'involucro di una palla in 4 dimensioni.

Per chiarezza in questo contesto comunque preferisco parlare di superficie sferica quando indico solo l'involucro e di sfera quando indico tutto cioè superficie e volume in essa contenuto. La 2-sfera in tal senso non esiste, perchè appunto è un oggetto in due dimensioni che si chiama cerchio. Nel link di wikipedia la 2-sfera è contemplata in quanto rappresenta la superficie sferica di una palla in 3 dimensioni. Per evitare confusione, facciamo riferimento alla nomenclatura che ti ho adottato prima.
La 3-sfera dunque è la sfera in 3 dimensioni, come un pallone ad esempio (la stessa che wikipedia chiama 3-sfera). La 4 sfera è una sfera di 4 dimensioni, ecc. Quindi devi riscalare tutto il tuo discorso con una dimensione in più.
Nello schemino ti ho già detto che non ha più senso parlare oltre il caso di una sfera in 3 dimensioni (una palla cioè), dove l'Universo diventa la superficie della sfera, cioè in due dimensioni.

Ok, questa non è più un analogia ovviamente: questa è la "forma" reale dell universo o sbaglio?
Cioè, diciamo che l universo è finito e illimitato, poi sappiamo che ha 4 dimensioni, allora a logica la 4 sfera dovrebbe essere in grado di spiegare come è fatto.

E' la forma reale dell'Universo, giusto. Noi sappiamo che spazialmente può essere una sfera, ma non possiamo visualizzarlo in 4 dimensioni, capisci? Non ha senso chiedersi se sia una sfera in 4 dimensioni, non puoi visualizzare il tempo come una coordinata spaziale!

La 4 sfera non è appunto un oggetto finito e illimitato che risiede in uno spazio a 4 dimensioni?

Un oggetto geometrico in N dimensioni NON può risiedere in uno spazio di N dimensioni, ma semmai di N+1 dimensioni.

Poi ovviamente con la 3 sfera o con il 3 toro descrivo il volume dell universo, ma solo il volume. Invece con la 4 sfera posso descrivere l universo nel suo completo ovvero spazio + tempo.

Questo perchè fai lo sbaglio di voler visualizzare la coordinata temporale come una coordinata spaziale, che è lo stesso errore che ti induce a fare lo schemino nella figura che discutevamo. E' tutto sbagliato, dimenticati per favore di questa associazione. NON puoi visualizzare la coordinata temporale, nè tantomeno immaginarti l'Universo in 4 dimensioni. Puoi solo dire che per un istante di tempo FISSO, l'Universo dovrebbe avere la forma di una sfera in 3 dimensioni. STOP.

Ok, 3 sfera o 3 toro per descrivere il VOLUME, ma volume + tempo è una 4 sfera.
D accordo, noi non riusciamo a visualizzarla visivamente, ma matematicamente si. Questo non basta?

Matematicamente lo descriviamo come una sfera in 3 dimensioni, con le 3 dimensioni spaziali che variano nel tempo...questo non significa che sia una sfera in 4 dimensioni...
Il fatto che matematicamente puoi definire una sfera in 4 dimensioni non implica che fisicamente l'Universo sia una sfera in 4 dimensioni.

se mi stai dicendo semplicemente che lo schema di Zappalà del cerchio è, appunto, solo uno schema e che quindi riduce le dimensioni dell universo a 2 quando invece ne dovrebbe avere 4, allora ok.
Però a questo punto se invece di un cerchio utilizzo una 4 sfera dovrebbe essere tutto risolto. Ovviamente mi dirai che non è così semplice, ma è il motivo del mio errore che mi sfugge..

Te lo chiedo un'ultima volta...lascia stare lo schema per estenderlo a 4 dimensioni .

ok, il volume è un 3 sfera o un 3 toro, ma l universo inteso come volume + tempo è una 4 sfera?

Comunque in sintesi la domanda è (mi ripeto per essere chiaro ed evitare fraintendimenti): il volume dell universo è una 3sfera o un 3-toro, ma l universo ha 4 dimensioni. Va bene una 4 sfera? Immagino che dirai di no ma non capisco il perché..

Devi intendere che sia una 3-sfera solo quando puoi visualizzarla, come coordinate spaziali soltanto. L'effetto del tempo fa cambiare le dimensioni spaziali di questa 3-sfera, non la fa diventare una 4-sfera. Non abbiamo nessuna formalizzazione matematica di ciò che dici per quanto riguarda l'Universo.

A questo punto ti faccio io una domanda. Dimmi secondo te perchè dovrebbe essere una sfera in 4 dimensioni.
Mettendola in termini pratici, ciò che mi stai dicendo è che definisci l'Universo in questo modo



dove x, y, e z sono le tre coordinate spaziali e t quella temporale, sono le coordinate al punto centrale e R è un raggio in 4 dimensioni. Perchè mai dovrebbe essere così? Quali sono i fondamenti di questa conclusione? Per ciò che sappiamo, l'unica equazione che lega le 4 coordinate fra loro è quella indotta dalla metrica dello spazio-tempo, e non è di certo l'equazione di una sfera in 4 dimensioni. Il tempo scorre di base indipendentemente dalle tre coordinate spaziali e anzi sono le 3 coordinate spaziali che dipendono dal tempo.

[DarknessLight]

Ok, dimentico tutto.
Insomma, @Enrico Corsaro, l unico modo con cui riusciamo a visualizzare l universo è la sfera di hubble che si espande nel corso del tempo. Punto.

La confusione mi è stata generata dall aver frainteso il concetto di 3 sfera e 2 sfera, ecc.. Adesso ho capito.
Con l esempio del cerchio di Zappalà (e anche con quello della 3 sfera), immaginavo (impropriamente a quanto pare) di poter mettere in fila ogni circonferenza una dopo l altra partendo da un punto adimensionale così da generare un cono con origine nel Big bang che rappresentasse quindi l universo 4D. Come nelle seguenti illustrazioni 1152px-World_line2-it.svg.jpg Big_bang_manifold_(it).png Modelli-universo.jpeg

Ora ho capito che questa analogia va rimossa perchè NON POSSO PENSARE AD UNA DIMENSIONE TEMPORALE COME SE FOSSE UNA DIMENSIONE SPAZIALE.

Quindi, dimentico tutto e devo semplicemente pensare ad una sfera di hubble (quindi una 3 sfera) che nel corso del tempo aumenta il suo volume. Nient altro.


I miei fraintendimenti sulle 2 e 3 sfere derivano dalla lettura di queste pagine del libro di Rovelli 20150604_005424.jpg
Se non riesci a leggere provo domani a scrivere in formato testo il contenuto.
Comunque se vedi lui dice nelle didascalie delle immagini "una sfera si può rappresentare come due dischi incollati per il bordo", "una 3-sfera si può rappresentare come due palle attaccate per il bordo".
E anche "per capire come sia fatta una 3-sfera torniamo un momento alla sfera usuale: la superficie di una palla o la superficie della Terra [...]"
Vedi, sembra che lui parli di 3-sfera come se fosse diversa dalla sfera "classica" o usuale come la chiama lui... ma avrò capito male io di sicuro...
E l equazione che riporta per la 3 sfera è x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 1 (definita in R^4).

E anche su wiki dice "La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l'analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. La 3-sfera è chiamata spesso ipersfera, anche se con lo stesso termine si indicano tutte le n-sfere con n≥3.
Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie (varietà) bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale."

Dice proprio "la sfera ordinaria, chiamata anche 2 sfera è una superficie bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale..."
Non dice che è una circonferenza monodimensionale.

Queste cose mi hanno confuso. E ammetto che ancora fatico a capire. La nomenclatura che usi tu mi sembra diversa, ma non sto mettendo in dubbio... sono io che non capisco...
Io seguirò senz altro il tuo consiglio è lascerò perdere queste analogie!!!
D ora in poi devo solo pensare ad una sfera di hubble (quindi in 3 dimensioni) che si espande nel corso del tempo. O al massimo penso a un toro.
È giusto così?

E l unica cosa certa che rimane invece è che l universo è finito ma senza bordo (illimitato), proprio come dice Rovelli.

[DarknessLight]

Comunque sia d ora in poi utilizzerò la nomenclatura che tu hai proposto

[Enrico Corsaro]

Ok, dimentico tutto.
Insomma, @Enrico Corsaro, l unico modo con cui riusciamo a visualizzare l universo è la sfera di hubble che si espande nel corso del tempo. Punto.

La confusione mi è stata generata dall aver frainteso il concetto di 3 sfera e 2 sfera, ecc.. Adesso ho capito.
Con l esempio del cerchio di Zappalà (e anche con quello della 3 sfera), immaginavo (impropriamente a quanto pare) di poter mettere in fila ogni circonferenza una dopo l altra partendo da un punto adimensionale così da generare un cono con origine nel Big bang che rappresentasse quindi l universo 4D. Come nelle seguenti illustrazioni 1152px-World_line2-it.svg.jpg Big_bang_manifold_(it).png Modelli-universo.jpeg

Si avevo capito perfettamente, queste rimangono illustrazioni, non sono l'Universo così come è realmente :-).

Ora ho capito che questa analogia va rimossa perchè NON POSSO PENSARE AD UNA DIMENSIONE TEMPORALE COME SE FOSSE UNA DIMENSIONE SPAZIALE.

Quindi, dimentico tutto e devo semplicemente pensare ad una sfera di hubble (quindi una 3 sfera) che nel corso del tempo aumenta il suo volume. Nient altro.

Perfetto!

I miei fraintendimenti sulle 2 e 3 sfere derivano dalla lettura di queste pagine del libro di Rovelli 20150604_005424.jpg
Se non riesci a leggere provo domani a scrivere in formato testo il contenuto.
Comunque se vedi lui dice nelle didascalie delle immagini "una sfera si può rappresentare come due dischi incollati per il bordo", "una 3-sfera si può rappresentare come due palle attaccate per il bordo".
E anche "per capire come sia fatta una 3-sfera torniamo un momento alla sfera usuale: la superficie di una palla o la superficie della Terra [...]"
Vedi, sembra che lui parli di 3-sfera come se fosse diversa dalla sfera "classica" o usuale come la chiama lui... ma avrò capito male io di sicuro...
E l equazione che riporta per la 3 sfera è x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 1 (definita in R^4).

E' solo una questione di terminologia, il concetto non cambia per intenderci. L'importante è che ci capiamo in questo contesto, anche per i lettori che ci seguono. Avevo corretto la prima parte della mia risposta in questo senso per renderla più chiara, magari rivedila se te la sei persa.
La 3-sfera di cui si parla è di fatto una superficie sferica, e non la palla in 3 dimensioni. La superficie in 3D si definisce di fatto in uno spazio a 4D, quindi è tutto corretto, compresa l'equazione.
Quindi la N-sfera in termini geometrici è sempre una superficie sferica, e non la palla in essa contenuta.

Nel post precedente però ho preferito parlare di sfera come di palla, e di superficie sferica come di superficie della palla, per evitare di usare la terminologia geometrica che in questo caso può creare confusione, come infatti è accaduto.
La definizione che da Rovelli è certamente corretta geometricamente e va benissimo. Quello che a te interessa in ogni caso è pensare che lo spazio (in 3 dimensioni) è assimilabile ad una 3-sfera, cioè una superficie sferica in 3 dimensioni, oppure ad un 3-toro, una superficie toroidale in 3 dimensioni, nient'altro.

D ora in poi devo solo pensare ad una sfera di hubble (quindi in 3 dimensioni) che si espande nel corso del tempo. O al massimo penso a un toro.
È giusto così?

Sfera di Hubble come limite osservabile, che sarebbe una superficie in 2 dimensioni, cioè una 2-sfera per rifarci alla definizione geometrica, come quella di Rovelli e Wikipedia. Ma a questo devi aggiungere tutto ciò che c'è al suo interno, cioè diventerà una palla in 3 dimensioni...il cui volume è in continua espansione col tempo. Questo è l'Universo osservabile, cioè l'universo che percepiamo e viviamo.
Ovviamente per definizione, la sfera di Hubble è oltre che finita, limitata, perchè ha dei bordi ben identificabili.

E l unica cosa certa che rimane invece è che l universo è finito ma senza bordo (illimitato), proprio come dice Rovelli.

Diciamo che non è certo perchè non è scientificamente dimostrato, ma è molto probabile che sia così per estrapolazione rispetto a ciò che osserviamo.

[DarknessLight]

Sì, penso di aver capito.
Mi sa che abbiamo usato due nomenclature differenti. Quella che io chiamavo 3 sfera sarebbe la tua 4 sfera se non ho capito male.
Dimmelo se sbaglio, per favore.

Invece...

Sfera di Hubble come limite osservabile, che sarebbe una superficie in 2 dimensioni, cioè una 2-sfera per rifarci alla definizione geometrica, come quella di Rovelli e Wikipedia. Ma a questo devi aggiungere tutto ciò che c'è al suo interno, cioè diventerà una palla in 3 dimensioni...il cui volume è in continua espansione col tempo. Questo è l'Universo osservabile, cioè l'universo che percepiamo e viviamo.
Ovviamente per definizione, la sfera di Hubble è oltre che finita, limitata, perchè ha dei bordi ben identificabili

Benissimo.

Diciamo che non è certo perchè non è scientificamente dimostrato, ma è molto probabile che sia così per estrapolazione rispetto a ciò che osserviamo.

ok, benissimo.


Ora, una domanda che forse ha un carattere un po più filosofico e forse ha poco a che vedere con la cosmologia in se: la conclusione a cui siamo giunti è che "NON POSSO PENSARE AD UNA DIMENSIONE TEMPORALE COME SE FOSSE UNA DIMENSIONE SPAZIALE". E da qui abbiamo demolito tutta l analogia che io cercavo di interpretare. Quindi l universo è rappresentabile unicamente attraverso la sfera di hubble quindi una superficie in 2D, tenendo ovviamente conto del suo contenuto 3D, e che si espande nel tempo.
Ma secondo te questa "limitazione visiva" che non ci permette di concepire la struttura dell universo 4D è semplicemente un limite visivo dell essere umano, oppure anche matematicamente non si può spiegare la forma dell universo (ovviamente in modo che siano spiegate tutte le 4 dimensioni)? Perché, ricordiamolo, l universo ha 4 dimensioni, non 3. Quindi siamo noi umani ad essere in parte ciechi.
Cioè, le analogie visive sono una cosa, la matematica é un altra. Io sono dell idea che una cosa può funzionare a livello matematico eppure può essere impossibile da visualizzare.
tu che dici, semplicemente non riusciamo a Vedere la forma dell universo e quindi ricorriamo all uso di analogie, oppure proprio matematicamente non siamo in grado di definirla?
Non so se questa è una domanda del tutto lecita o che ha un senso... nel dubbio io chiedo
Io credo che semplicemente la nostra mente essendo abituata a lavorare in 3D allora non è in grado di Vedere l universo 4D, però matematicamente si può eccome. Sbaglio secondo te?

[Enrico Corsaro]

Sì, penso di aver capito.
Mi sa che abbiamo usato due nomenclature differenti. Quella che io chiamavo 3 sfera sarebbe la tua 4 sfera se non ho capito male.
Dimmelo se sbaglio, per favore.

Si si giusto, la 3-sfera di cui parli in pratica racchiude una palla in 4 dimensioni.

Quindi l universo è rappresentabile unicamente attraverso la sfera di hubble quindi una superficie in 2D, tenendo ovviamente conto del suo contenuto 3D, e che si espande nel tempo.
Ma secondo te questa "limitazione visiva" che non ci permette di concepire la struttura dell universo 4D è semplicemente un limite visivo dell essere umano, oppure anche matematicamente non si può spiegare la forma dell universo (ovviamente in modo che siano spiegate tutte le 4 dimensioni)? Perché, ricordiamolo, l universo ha 4 dimensioni, non 3. Quindi siamo noi umani ad essere in parte ciechi.
Cioè, le analogie visive sono una cosa, la matematica é un altra. Io sono dell idea che una cosa può funzionare a livello matematico eppure può essere impossibile da visualizzare.
tu che dici, semplicemente non riusciamo a Vedere la forma dell universo e quindi ricorriamo all uso di analogie, oppure proprio matematicamente non siamo in grado di definirla?

Matematicamente si può fare tutto, ma che senso ha in questo contesto? La cosmologia è fisica, non è matematica, anche se usa la matematica come linguaggio. Stiamo cercando di ragionare su qualcosa di reale, che esiste e che non conosciamo nella sua interezza. Come possiamo farlo? L'unica è con estrapolazioni...e come ti dicevo, generalmente si considera appunto l'Universo come una 3-sfera, o al limite un 3-toro. Matematicamente sai definirle bene, questo mi sembra chiaro, ma fisicamente non sappiamo se sia così o meno. Quindi matematicamente puoi formalizzare tutto ciò che desideri, il punto è poi capire se ciò ha un senso fisico o meno. La risposta quindi già la sai e ne abbiamo discusso fin'ora.

[DarknessLight]

@Enrico Corsaro direi che questo fa al caso nostro. Leggi cosa ho trovato scritto in un articolo del forum (sempre del Prof Zappalà):

"Il vero problema di fondo è che la teoria della relatività non può essere espressa con figure semplici, in quanto vi è sempre una dimensione che non riusciamo a disegnare, mentre sappiamo che spazio e tempo sono strettamente collegati. Cosa si fa di solito? Si cerca di rappresentare la situazione in modo parziale, a seconda di cosa si vuole dimostrare o spiegare. Ecco allora il palloncino che si gonfia quando si vuole descrivere l’espansione dell’Universo; il cono di luce che ci premette di muoverci in uno spazio bidimensionale; le astronavi che rallentano e si allungano all’infinito arrivando vicino a un*buco nero; il tempo che diventa spazio e viceversa, al suo interno, ecc., ecc. Tutte cose ottime per capire qualcosa. Ma, non essendo esatte per definizione, se si analizzano a fondo sollevano dubbi più che giustificati"

Quando tu dicevi che l universo possiamo conoscerlo solo attraverso delle estrapolazioni intendevi dire che possiamo vederne solo una parte per volta, possiamo intuire che il tempo sia una coordinata cartesiana lungo cui si sviluppa il volume ma per forza di cose le nostre metafore sono imprecise perchè fanno SEMPRE a meno di almeno una dimensione. Quindi se analizzate come si deve alla fine ci si rende comunque conto che analogie sono e analogie restano. Niente di più.

In effetti la quarta dimensione ammette, come ogni altra dimensione, una descrizione astratta nell'ambito della topologia. Ciò significa che SOLO matematicamente possiamo dare una descrizione della topologia 4D del cosmo, ma visivamente le analogie sono FUNZIONALI ma ristrette ad uno specifico ambito perciò si rischia di cadere in interpretazioni fuorvianti ed errate.

A proposito di questo, quella che tu chiami 4 sfera mi pare di aver capito che sia la 3 sfera di Wikipedia. Ovvero una varietà (o superficie) TRIDIMENSIONALE che fa da bordo alla palla 4-dimensionale. Così come la classica superficie sferica è una varietà bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale.
Quindi, senza analogie ma solo a livello matematico, l universo inteso come tempo + spazio è fatto proprio come la tua 4 sfera, dato che comunque questa 4 sfera mica possiamo rappresentarla e la sua quarta dimensione per noi esiste solo come astrazione topologica, quindi (SENZA ANALOGIA) l universo è proprio una 4 sfera!!!
Noi non possiamo immaginarla questa 4 sfera, proprio come non possiamo immaginare l universo quadridimensionale. Ma ora NON sto facendo una analogia come quella del cono di luce, questa è la realtà matematica di come è fatto l universo.
La quarta dimensione della 4 sfera non è una coordinata spaziale, bensì è solo un astrazione topologica.. quindi per descrivere l universo (inteso come sfera di hubble in evoluzione nel tempo) dovrebbe andare bene...
Questo discorso ancora mi lascia qualche dubbio secondo te è giusto il ragionamento?
Capito, non sto cercando di riesumare l analogia del cono di luce, ora ti sto proprio chiedendo la forma REALE, senza analogie. E visto che la 4 sfera è inimmaginabile (proprio come l universo 4D) allora forse potrebbe andare bene come descrizione della struttura dell universo.

[Enrico Corsaro]

A proposito di questo, quella che tu chiami 4 sfera mi pare di aver capito che sia la 3 sfera di Wikipedia. Ovvero una varietà (o superficie) TRIDIMENSIONALE che fa da bordo alla palla 4-dimensionale. Così come la classica superficie sferica è una varietà bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale.
Quindi, senza analogie ma solo a livello matematico, l universo inteso come tempo + spazio è fatto proprio come la tua 4 sfera, dato che comunque questa 4 sfera mica possiamo rappresentarla e la sua quarta dimensione per noi esiste solo come astrazione topologica, quindi (SENZA ANALOGIA) l universo è proprio una 4 sfera!!!
Noi non possiamo immaginarla questa 4 sfera, proprio come non possiamo immaginare l universo quadridimensionale. Ma ora NON sto facendo una analogia come quella del cono di luce, questa è la realtà matematica di come è fatto l universo.
La quarta dimensione della 4 sfera non è una coordinata spaziale, bensì è solo un astrazione topologica.. quindi per descrivere l universo (inteso come sfera di hubble in evoluzione nel tempo) dovrebbe andare bene...
Questo discorso ancora mi lascia qualche dubbio secondo te è giusto il ragionamento?
Capito, non sto cercando di riesumare l analogia del cono di luce, ora ti sto proprio chiedendo la forma REALE, senza analogie. E visto che la 4 sfera è inimmaginabile (proprio come l universo 4D) allora forse potrebbe andare bene come descrizione della struttura dell universo.

Dark non ci stai dormendo la notte con sto problema .
OK allora facciamo una cosa, dimentichiamo le definizioni che ti ho dato prima, dimentichiamo la N-sfera come te l'ho definita. Ritorniamo alla definizione geometrica, quella anche usata da Wikipedia.

Allora secondo me ci siamo già arrivati a comprendere il discorso ma poniamola in questi termini: non abbiamo conferma della topologia dell'Universo, DOVREBBE essere una 3-sfera oppure un 3-toro, ci siamo fin qui?
Una 3-sfera è in 3 dimensioni ma è definita in uno spazio a 4 dimensioni.
L'equazione te l'ho scritta nel post precedente, e te la ripeto qui



Se effettivamente l'universo (come spazio 3D) fosse topologicamente una 3-sfera allora questa sarebbe la definizione matematica della sua forma. Come puoi vedere, compaiono tutte e 4 le coordinate, incluso il tempo ma sono qui vincolate fra loro tramite l'equazione di una superficie sferica in 3D, facendo si che di fatto corrispondano a 3 dimensioni soltanto. La dimensione che dunque non è inclusa è quella temporale, perchè in generale ci riferiamo alla topologia in 3D come a ciò che è spazio soltanto. Dunque la coordinata esterna da considerare è il tempo stesso, che va così a costituire insieme alle 3 coordinate spaziali lo spazio-tempo in 4 dimensioni in cui la 3-sfera è immersa. Puoi se vuoi immaginare che per un istante di tempo fissato, quella 3-sfera coincida effettivamente con l'Universo in cui vivi. Ma quando il tempo scorre, si aggiunge la dimensione temporale che non visualizzi, ma che è formalizzata in una equazione del genere.
Comunque sia, questa potrebbe anche non essere l'equazione da considerare, e potrebbe di fatto essere quella di una superficie toroidale in 3 dimensioni, o ipertoro, che nello specifico in uno spazio-tempo a 4 dimensioni diventa già una figura geometrica molto più complessa della sfera, ma rimane tuttavia una possibile soluzione.
Quindi caro Dark, non possiamo rispondere in modo definitivo alla tua domanda, ma possiamo comunque formalizzare una possibile risposta in termini puramente geometrici .

[Giuseppe21]

Discussione interesante, tuttavia mi sorgeva un dubbio. Poiché si è usato il termine topologia dell'universo, se riuscissimo in qualche modo a dimostrare che è quella di una ipersfera, ciò significherebbe che la forma è effettivamente una sfera (tralasciando il discordso delle dimensioni) oppure che potrebbe essere qualsiasi varietà che in topologia ha le caratteristiche della sfera (non ha "buchi")?