C'è chi riflette e c'è chi raccoglie: le fasi planetarie

[Vincenzo Zappalà]

Una stella che emette luce e un corpo celeste che la riceve e la riflette danno luogo a situazioni molto variabili per un osservatore posto in una posizione qualsiasi. Sto parlando delle "fasi" dei pianeti e dei satelliti del Sistema Solare. Cercherò di trattare il problema nel modo più generale possibile, in modo che chiunque abbia voglia di pensare possa risolvere da solo tutte le configurazioni...
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[Ila]

Al fatto che vi fossero le fasi non solo nei pianeti esterni ci ero arrivata, ma questa rispolveratina di trigonometria ci voleva proprio. Mi ha fatto venire voglia di andare in soffitta e tirare fuori i quaderni di matematica delle superiori!

Come sempre, ottima spiegazione con parole semplici.

[AlexanderG]

Beh, è chiaro che alla domanda (1) di questo post: "E’ vero che SOLO i pianeti interni e la Luna presentano le fasi ?"
la mia risposta è stata errata: "Visti dalla Terra, la risposta è SÌ, altrimenti può anche essere NO.".
Va bene, ho sbagliato... ma sbagliando s'impara, ed io sono sempre contento d'imparare
Vediamo, però, "quanto" ho sbagliato:
Per capirlo, voglio calcolare la fase F per tutti i pianeti esterni, da Marte a Nettuno.
Considererò sempre orbite circolari, complanari e pianeti perfettamente sferici.
Dalla figura 6 del post di Enzo, risulta evidente che l'angolo φ è ricavabile dalla formula:
- ST = SM sin(φ)
da cui:
- sin(φ) = ST/SM
e quindi:
- φ = sin^-1(ST/SM)
perciò, la formula (1) er il calcolo della fase F diventa:
- F = A / πr² = (1 + cos(φ))/2 = (1 + cos(sin^-1(ST/SM)))/2

ST è la distanza tra il Sole e la Terra: circa 150 000 000 km
SM è la distanza tra il Sole e Marte: circa 225 000 000 km

risulta che l'angolo di quadratura tra la Terra e Marte è:
- φ_MARTE = sin^-1(ST/SM) = 0.73 radianti = 41.83°
da cui:
- F_MARTE = 0.873 circa

quindi, vista dalla Terra, la minima fase di Marte (in quadratura) equivale a circa l'87.3% di superficie illuminata.
...si potrebbe dire che ho commesso un errore del 12.7% .... non poco

Vediamo ora cosa succede se applichiamo la stessa formula per i pianeti più esterni:

ST non cambia mai: circa 150 000 000 km

SM_GIOVE = 778 000 000 km
SM_SATURNO = 1 426 000 000 km
SM_URANO = 2 870 000 000 km
SM_NETTUNO = 4 500 000 000 km

φ_GIOVE = 0.194 rad = 11.12°
φ_SATURNO = 0.1054 rad = 6.04°
φ_URANO = 0.0523 rad = 3.00°
φ_NETTUNO = 0.03333 rad = 1.91°

F_GIOVE = 0.9906 = 99.06%
F_SATURNO = 0.9972 = 99.72%
F_URANO = 0.9993 = 99.93%
F_NETTUNO = 0.9997 = 99.97%

...diciamo quindi che, da Giove in poi, il mio errore è ragionevolmente accettabile


Ciao,
Alex.

[Luigi]

Bravo Alex!

[Vincenzo Zappalà]

Beh, è chiaro che alla domanda (1) di questo post: "E’ vero che SOLO i pianeti interni e la Luna presentano le fasi ?"[...]

fossero tutti come te gli astrofili.... (o almeno quelli che si considerano tali, non quelli VERI) Bravo!!!!

[Luigi]

Era da un po’ che tentavo di completare ma devo accelerare i tempi, data l’imminente pubblicazione del secondo articolo di Enzo…

Grazie al lavoro di Alex sappiamo come costruire un cono d’ombra, ma dobbiamo necessariamente (a mio avviso) generalizzare l’analisi per poi applicarla ai singoli casi.
È importante tenere a mente che sia i transiti che le eclissi (che sono anch’esse dei “transiti più evidenti”) sono associate alle grandezze apparenti dei corpi che analizziamo.
Immaginiamo, allora, che una sorgente luminosa proietti la propria luce su un piano. Interponiamo una sfera e vediamo cosa accade spostandola [figura 2]Figura 2.pdf.
L’osservatore O3 si trova esattamente al vertice del cono d’ombra generato da P. Per lui sia S che P hanno la stessa dimensione apparente; ciò grazie al fatto che hanno la stessa dimensione angolare(1).che indicheremo con δ. Cosa accade se l’osservatore si sposta? Ovvio! La dimensione apparente di P cambia ...: cresce se O si avvicina (O2, O) a P e decresce se si allontana O5.
In particolare per calcolare la dimensione angolare (quindi la dimensione apparente) di un oggetto dobbiamo calcolare l’arcotangente del rapporto tra diametro e distanza (troppe parole difficili, lo so!) ovvero δ = arctan §(diametro/distanza). Concentriamoci solo sulla distanza (a parità di diametro e quindi di dimensioni reali): se la distanza aumenta δ diminuisce e P “mi appare” più piccolo. Complicando i calcoli è possibile determinare qual è la dimensione minima osservabile (con un telescopio le cose cambiano) di P se lasciamo invariate le distanze.
Ho disegnato, in semitrasparenza, un pianeta T che casualmente si trova proprio (a parte la mia disastrosa incapacità di disegnare) nelle condizioni in cui si trova la Terra (più o meno).
Possiamo, inoltre, notare che l’osservatore O1 è posizionato fuori dal cono d’ombra ma in quello di penombra (definito dalle rette a1a1’ b1b1’).

La trattazione di questi argomenti è affascinante ma è arrivato il momento di rispondere alle 7 domande (in realtà alla prima ho già risposto):
1- NO;
2- NO;
3- Descritto da Alex (io sono fuori tempo massimo);
4- La Luna non può eclissare la terra date le dimensioni reali e la distanza (ovvero dimensione apparente); Può solo determinare delle zone d’ombra e di penombra;
5- No (per gli stessi motivi di cui al punto precedente);
6- Il legame (spero di non dire cavolate) è sempre δ che determina l’osservabilità di un transito; inoltre, il transito così come le eclissi dipende dalle inclinazioni relative tra piano orbitale e piano dell’eclittica;
7- Teoricamente da tutti i pianeti esterni. (ovviamente considerando la dimensione apparente del pianeta e del sole e con gli occhiali da sole)

Spero di non essere fuori tempo massimo nonostante il primo articolo di Enzo.
P.s. Mi sono divertito molto e per la prima volta ho capito cosa guardavo nel cielo. Grazie.

1.Il diametro angolare del Sole da Terra corrisponde, del tutto fortuitamente, con quello della Luna; sebbene il Sole sia effettivamente circa 400 volte più lontano della Luna, anche il suo diametro effettivo è 400 volte maggiore, e questo fa sì che le loro dimensioni apparenti nel cielo terrestre siano simili. Questa particolare coincidenza rende possibili eclissi di Sole molto suggestive. [cit. Wikipedia].

[Vincenzo Zappalà]

Era da un po’ che tentavo di completare ma devo accelerare i tempi, data l’imminente pubblicazione del secondo articolo di Enzo…

tranquillo Luigi...
ho appena finito di fare le figure. Domani inizio a scrivere il testo...
prometto che non ti copio
Comunque, bravissimo!!!!

[Luigi]

tranquillo Luigi...
ho appena finito di fare le figure. Domani inizio a scrivere il testo...
prometto che non ti copio
Comunque, bravissimo!!!!

Grazie. Era un mio desiderio latente approfondire questi argomenti. Spero di non aver impressionato troppo le persone che mi vedevano in metro fare schizzi su un foglio di carta e pensare con gli occhi rivolti al cielo...
P.s. Con Rosetta ho quasi terminato ... ma presto arriverà il TEATRO!!! Non riesco più a fermarmi ...

[AlexanderG]

Grazie. Era un mio desiderio latente approfondire questi argomenti. Spero di non aver impressionato troppo le persone che mi vedevano in metro fare schizzi su un foglio di carta e pensare con gli occhi rivolti al cielo...
P.s. Con Rosetta ho quasi terminato ... ma presto arriverà il TEATRO!!! Non riesco più a fermarmi ...

Grande , io in metro mi sono "sparato" la Fisica addormentata nel bosco

Grazie a tutti per i complimenti ^__^

[Ila]

Bravi Alex e Luigi!

Mi piacerebbe ricordare la matematica e la trigonometria e fare calcoli come voi.

Intanto, guardo e imparo da voi e da Vincenzo