C’è chi riflette e c’è chi raccoglie: le fasi planetarie

Una stella che emette luce e un corpo celeste che la riceve e la riflette danno luogo a situazioni molto variabili per un osservatore posto in una posizione qualsiasi. Sto parlando delle “fasi” dei pianeti e dei satelliti del Sistema Solare. Cercherò di trattare il problema nel modo più generale possibile, in modo che chiunque abbia voglia di pensare possa risolvere da solo tutte le configurazioni possibili senza nessun aiuto di tabelle e/o programmini costruiti “ad hoc” e che forniscono la solita “pappa pronta”. La vostra intelligenza e volontà ne trarranno soddisfazioni ben maggiori. Una parte di difficoltà lievemente più alta è stata scritta in corsivo e può essere tranquillamente saltata, anche se spero che non lo faccia nessuno. Questo articolo risponde alla prima parte delle domande fatte qualche giorno fa.

Cerchiamo di trattare i vari concetti, quasi sempre considerati separatamente, come risvolti, solo apparentemente diversi, di un unico problema ben più generale. Per far ciò consideriamo tre corpi celesti: il primo è la sorgente di luce, il secondo è il corpo che viene illuminato, il terzo è il corpo su cui è posto l’osservatore.

Iniziamo con la situazione esistente tra corpi appartenenti a un sistema planetario di una stella singola, come ad esempio quello del Sole. La sorgente di luce è allora proprio il Sole, il corpo illuminato un pianeta o un satellite, quello su cui sta l’osservatore la Terra. Rispetto a quest’ultimo esistono solo due tipi di pianeti: quelli più lontani e quelli più vicini al Sole, ossia quelli esterni e quelli interni. L’unico satellite di una certa importanza per questo problema è il satellite della stessa Terra, ossia la Luna.

Disegniamo allora la Fig. 1 dove S è il Sole, V un pianeta interno, M un pianeta esterno, T la Terra e L la Luna. Definiamo come angolo di fase φ l’angolo sotto cui il pianeta o il satellite vede la Terra e il Sole. L’angolo φ indica quindi di quanto sono inclinati i raggi solari che colpiscono il pianeta o il satellite rispetto alla linea di vista. E’ proprio quest’angolo che permette di calcolare l’area della parte illuminata del disco del pianeta o del satellite visto dalla Terra.

figura 1
Figura 1

Immaginiamo, per semplicità di spiegazione, che tutte le orbite stiano sullo spesso piano e siano circolari.

Delle semplicissime figure ci permettono di ricavare quest’area in funzione dell’angolo di fase per qualsiasi corpo e per qualsiasi posizione esso assuma lungo l’orbita. La situazione è quella rappresentata nella Fig. 2. La luce proveniente dal Sole può essere considerata come un fascio di raggi paralleli tra loro, viste le distanze in gioco rispetto alle dimensioni planetarie.

figura 2
Figura 2

La superficie illuminata riflette la luce ricevuta e solo una parte di questo fascio luminoso colpisce la Terra. L’angolo tra il fascio incidente e quello riflesso è proprio l’angolo di fase φ. E’ immediato comprendere che variando la posizione della Terra (e del pianeta o satellite) varia l’angolo e di conseguenza la “grandezza” del fascio luminoso riflesso che raggiunge l’osservatore.

Banali considerazioni geometriche (angoli formati da rette perpendicolari tra loro sono uguali) ci dicono che OPNT è ancora l’angolo di fase. La parte alta della figura è quella vista perpendicolarmente al piano orbitale; ad esempio, nella direzione del Polo Nord (PN), ma sarebbe analoga la visione dal Polo Sud. Il quadrato in basso rappresenta invece il pianeta visto dalla Terra, ossia nel piano orbitale (la situazione precedente ruotata di novanta gradi). Si notano chiaramente la parte illuminata e quella in ombra, entrambe delimitate da circonferenze e da proiezioni di circonferenze, ossia ellissi.

Per determinare esattamente l’area della parte illuminata ricorriamo alla Fig. 3. A sinistra la situazione precedente vista nella direzione perpendicolare al piano, nella parte destra il corpo celeste visto dalla Terra. Dal triangolo rettangolo TT’PN si ricava subito:

T’PN = r cos(φ) (dalla trigonometria elementare, come richiamata nella “Fisica addormentata nel Bosco”).

figura 3
Figura 3

Nella visione del disco planetario da terra (parte destra) la lunghezza CT è proprio uguale a T’PN, ossia a r cos(φ).

A questo punto, è immediato determinare l’area della parte illuminata del disco. Essa è data dal semicerchio di raggio r a cui va aggiunta metà dell’ellisse di semiasse maggiore uguale a r e di semiasse minore uguale a r cos(φ). L’area del semicerchio è πr2/2, mentre quella della mezza ellisse è πr2cos(φ)/2 (area ellisse = πab) e quindi l’area illuminata risulta:

A = πr2(1 + cos(φ))/2

Per qualsiasi corpo celeste del sistema solare la formula precedente permette di calcolare l’area illuminata vista da Terra conoscendo soltanto l’angolo di fase e il raggio apparente del corpo. Normalmente la fase di un pianeta si indica come rapporto tra la parte illuminata e l’area totale. Questo rapporto, che indichiamo con F, si riduce a:

F = A/ πr2 = (1 + cos(φ))/2  ……..… (1)

Questa formula “relativa” è molto utile per definire la fase, indipendentemente dalla luminosità apparente del pianeta. Infatti, dobbiamo tenere presente che il raggio r apparente, ossia visto dalla Terra, dipende dalla distanza del pianeta e quindi è variabile lungo tutta  l’orbita anche se essa è considerata circolare (si potrebbe anche scrivere la formula che lo definisce in base alla sua distanza dalla Terra).

Per verificare la correttezza della (1) possiamo applicarla ad alcuni casi limite. Per un angolo di fase uguale a 90° si ottiene cos(φ) = 0 e quindi F = 1/2 = 0.5, proprio la metà.

Per  φ = 0°  si ha F = (1 + 1)/ 2 = 1 (il disco visibile è completamente illuminato). Per φ = 180° si ha F = (1 – 1)/2 = 0 (il disco visibile è completamente oscuro).

Finora non abbiamo assolutamente differenziato la trattazione a seconda del tipo di pianeta che si considera o del tipo di satellite. La formula vale per tutti. Quello che cambia è l’intervallo di valori che possono essere raggiunti dall’angolo di fase φ.

Per chi volesse fare un passetto in più, posso dire che il calcolo dell’angolo di fase è altrettanto banale, a patto di sapere le distanze tra pianeta e Terra (Δ) e tra pianeta e Sole (d). Da un qualsiasi triangolo della Fig. 1 (SMT o SLT o SVT) si può ottenere il valore di φ attraverso il teorema di Carnot che permette di conoscere il coseno di un angolo dalle misure dei tre lati di un triangolo qualsiasi, come rappresentato in Fig. 4.

figura 4
Figura 4

Il teorema di Carnot dice:

ST2 = MS2 + MT2 – 2 MS MT cos(φ)

Ossia:

cos(φ) = (MS2 + MT2 – ST2)/(2 MS MT)

nel nostro caso, esprimendo le distanze in Unità Astronomiche:

ST = 1, MS = d, MT = Δ

E quindi:

cos(φ) = (d2 + Δ2 – 1)/2dΔ

Ovviamente, considerando orbite circolari, d è il semiasse orbitale ed è una costante. Ne consegue che l’angolo di fase dipende soltanto dalla distanza pianeta-Terra. Nel caso della Luna, è invece la distanza Terra-Luna che rimane costante e quindi l’angolo di fase dipende solo dalla distanza Luna-Sole.

Chi ha voglia, e quel minimo di dimestichezza con le funzioni trigonometriche, può divertirsi a calcolare gli intervalli dell’angolo di fase ammissibili per tutti i pianeti del Sistema Solare e dei vari satelliti. La stessa formula, infatti, si può facilmente applicare anche ai satelliti dei pianeti esterni.

Vediamo allora i casi particolari che più ci interessano. Iniziamo da un pianeta interno, come ad esempio Venere (ma le stesse considerazioni possono essere fatte per Mercurio). Esso è rappresentato nella Fig. 5. Le configurazioni più importanti si ottengono quando il pianeta si trova esattamente tra la Terra e il Sole e quando si trova esattamente dall’altra parte della stella. Esse vengono chiamate  congiunzione inferiore e superiore, rispettivamente. Nel primo caso l’angolo di fase è uguale a 180° e quindi, come visto precedentemente, l’area illuminata vista dalla Terra è ZERO. Nel secondo caso l’angolo φ è uguale a zero e quindi l’area illuminata è uguale all’intero disco.

figura 5
Figura 5

Particolare importanza ha anche il punto VE. Esso si ricava tracciando la tangente dalla Terra all’orbita di Venere, da cui segue che l’angolo tra le direzioni Venere-Sole e Venere-Terra è esattamente di 90°. Se ne deriva, quindi, che la parte illuminata è la metà del disco totale. Tuttavia, questo punto ha anche un’altra caratteristica: in esso la distanza apparente tra Venere e il Sole raggiunge il suo valore massimo. In altre parole, in quel punto Venere appare il più lontana possibile dal Sole e si dice che raggiunge l’elongazione massima. Sono queste le condizioni in cui Venere risulta più facilmente visibile prima dell’alba o dopo il tramonto del Sole (posizione speculare di sinistra). Potete facilmente simulare da soli le varie posizioni nel cielo notturno attraverso la semplicissima Fig. 5.

Ovviamente, il fatto che il disco visibile di Venere sia tutto o solo parzialmente illuminato, non vuol dire che la sua luminosità apparente vada di pari passo. Assolutamente no. Infatti, il disco di Venere è completamente visibile quando si trova al di là del Sole (congiunzione superiore), ma la sua distanza è massima e quindi l’area del disco apparente è decisamente più piccola (cambia il raggio apparente del disco). Chi volesse divertirsi ha tutti i mezzi per calcolare qual è la fase che dà la massima luminosità a Venere (bisogna tener conto sia del raggio apparente del disco sia della parte illuminata… buon divertimento!). Vi invito a provarci da soli, senza ricorrere ai valori già riportati sul web o a quelli forniti dai programmi preparati per gli “sfaticati” o per gli “ignorantelli.  In casi come questo, è molto più ripagante ricavare i risultati da soli, capendo ciò che si fa e quindi comprendendo appieno il fenomeno che si sta studiando. Basta solo recuperare la distanza tra Venere e il Sole.

Passiamo adesso a un pianeta esterno, ad esempio Marte. Lo schema è riportato in Fig.6. Anche in questo caso le configurazioni principali sono tre, in modo analogo a quanto successo per Venere. Tuttavia, le situazioni sono diverse.

figura 6
Figura 6

Marte in posizione opposta al Sole vuol dire angolo di fase uguale a zero e quindi disco completamente illuminato. Tuttavia, questa situazione non è visibile in quanto Marte scompare nella luce diurna. Più interessante è la posizione con Marte esterna alla Terra rispetto al Sole. Anche in questo caso l’angolo di fase è uguale a zero e quindi il disco è completamente illuminato. Tuttavia, il pianeta è decisamente più vicino (il suo raggio apparente è maggiore) e, inoltre, si vede proprio in piena notte. Questa posizione prende il nome di opposizione.

Infine, va notata la configurazione SMQT, in cui la direzione Terra-Sole e Terra-Marte formano un angolo di 90°. Questa posizione si dice di quadratura ed è relativa al valore minimo della parte illuminata del disco. Ossia l’angolo di fase raggiunge il suo valore massimo. Provare per credere!

Non ci rimane che occuparci della Luna (Fig. 7). In questo caso chi rimane costante è la distanza Terra-Luna. L’angolo di fase raggiunge tutti i valori tra 0 e 180° e porta alle ben note fasi lunari. Notate che ho disegnato i raggi provenienti dal Sole tutti paralleli tra loro, dato che il raggio dell’orbita lunare è molto piccolo rispetto alla distanza tra la Terra (e la Luna) e la stella. Non penso ci sia bisogno di evidenziare le fasi lunari. Le potete ricavare da soli studiando la variazione dell’angolo di fase.

figura 7
Figura 7

Non ho messo in evidenza il caso dei satelliti dei pianeti esterni. In realtà la fase che essi mostrano dalla Terra cambia di poco rispetto a quella che hanno i pianeti attorno a cui rivolvono. I satelliti, infatti, sono estremamente vicini ai loro pianeti e la distanza dalla Terra è decisamente maggiore del raggio orbitale. Ne risulta che l’angolo di fase può essere considerato lo stesso di quello del pianeta.

Tutta la trattazione è stata fatta sotto ipotesi un poco restrittive, anche se ancora accettabili per ottenere valori sufficientemente corretti. Dobbiamo, però, ricordare che le orbite dei pianeti non sono complanari, ossia stanno su piani che non coincidono tra loro. Inoltre le traiettorie non sono perfettamente delle ellissi e quindi il raggio delle orbite varia durante la rivoluzione. Tenendo conto di queste particolarità, il calcolo esatto della fase è leggermente più complicato (ma non più di tanto).

La conseguenza più importante della non complanarità delle orbite comporta, però, che le configurazioni del tipo Sole-Pianeta-Terra o  Sole-Terra-Pianeta o Luna-Terra-Sole o Terra-Luna-Sole non sono “quasi” mai delle rette come quelle rappresentate nelle figure precedenti, dove tutto si svolge su un unico piano. Ne deriva una situazione come quella della Fig. 8.

figura 8
Figura 8

Il piano orbitale della Terra è quello colorato di azzurro, mentre quello di Venere è colorato di rosso e quello della Luna di grigio. Essi formano tra di loro degli angoli non nulli (inclinazioni dell’orbita rispetto all’eclittica). Ne segue che le congiunzioni o le opposizioni non sono “quasi” mai rappresentabili su una sola retta e le direzioni tra i corpi formano angoli normalmente piccoli ma non trascurabili.

Ho detto, però, “quasi” mai.

In realtà, durante le rivoluzioni dei pianeti, della Terra e della Luna, può capitare che il pianeta e la Terra o la Luna e la Terra si trovino entrambi proprio sulla retta che definisce l’intersezione dei piani orbitali. Queste rette si chiamano linee dei nodi e indicano le uniche possibili posizioni in cui entrambi i corpi celesti (Terra e Luna o Terra e Pianeta) sono su una retta che passa per il Sole. Questa linea, infatti, appartiene a entrambi i piani orbitali, essendone la loro intersezione, e deve, ovviamente, passare per il Sole.

In questi casi nascono dei fenomeni particolari legati alle fasi. Si verificano delle OCCULTAZIONI reciproche. Le occultazioni prendono vari nomi a seconda dei corpi celesti coinvolti e si chiamano transiti ed eclissi. Il concetto è però uno e uno solo. Lo vedremo nel prossimo articolo.

Prima, vi prego di “digerire” bene quanto ho scritto sopra e poi ci potremo veramente divertire con i corpi celesti che giocano a nascondino.

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11 Commenti    |    Aggiungi un Commento

  1. Al fatto che vi fossero le fasi non solo nei pianeti esterni ci ero arrivata, ma questa rispolveratina di trigonometria ci voleva proprio. Mi ha fatto venire voglia di andare in soffitta e tirare fuori i quaderni di matematica delle superiori!

    Come sempre, ottima spiegazione con parole semplici.

  2. Beh, è chiaro che alla domanda (1) di questo post: "E’ vero che SOLO i pianeti interni e la Luna presentano le fasi ?"
    la mia risposta è stata errata: "Visti dalla Terra, la risposta è SÌ, altrimenti può anche essere NO.".
    Va bene, ho sbagliato... ma sbagliando s'impara, ed io sono sempre contento d'imparare
    Vediamo, però, "quanto" ho sbagliato:
    Per capirlo, voglio calcolare la fase F per tutti i pianeti esterni, da Marte a Nettuno.
    Considererò sempre orbite circolari, complanari e pianeti perfettamente sferici.
    Dalla figura 6 del post di Enzo, risulta evidente che l'angolo φ è ricavabile dalla formula:
    - ST = SM sin(φ)
    da cui:
    - sin(φ) = ST/SM
    e quindi:
    - φ = sin-1(ST/SM)
    perciò, la formula (1) er il calcolo della fase F diventa:
    - F = A / πr2 = (1 + cos(φ))/2 = (1 + cos(sin-1(ST/SM)))/2

    ST è la distanza tra il Sole e la Terra: circa 150 000 000 km
    SM è la distanza tra il Sole e Marte: circa 225 000 000 km

    risulta che l'angolo di quadratura tra la Terra e Marte è:
    - φMARTE = sin-1(ST/SM) = 0.73 radianti = 41.83°
    da cui:
    - FMARTE = 0.873 circa

    quindi, vista dalla Terra, la minima fase di Marte (in quadratura) equivale a circa l'87.3% di superficie illuminata.
    ...si potrebbe dire che ho commesso un errore del 12.7% .... non poco

    Vediamo ora cosa succede se applichiamo la stessa formula per i pianeti più esterni:

    ST non cambia mai: circa 150 000 000 km

    SMGIOVE = 778 000 000 km
    SMSATURNO = 1 426 000 000 km
    SMURANO = 2 870 000 000 km
    SMNETTUNO = 4 500 000 000 km

    φGIOVE = 0.194 rad = 11.12°
    φSATURNO = 0.1054 rad = 6.04°
    φURANO = 0.0523 rad = 3.00°
    φNETTUNO = 0.03333 rad = 1.91°

    FGIOVE = 0.9906 = 99.06%
    FSATURNO = 0.9972 = 99.72%
    FURANO = 0.9993 = 99.93%
    FNETTUNO = 0.9997 = 99.97%

    ...diciamo quindi che, da Giove in poi, il mio errore è ragionevolmente accettabile


    Ciao,
    Alex.

  3. Citazione Originariamente Scritto da AlexanderG Visualizza Messaggio
    Beh, è chiaro che alla domanda (1) di questo post: "E’ vero che SOLO i pianeti interni e la Luna presentano le fasi ?"[...]
    fossero tutti come te gli astrofili.... (o almeno quelli che si considerano tali, non quelli VERI) Bravo!!!!

  4. Era da un po’ che tentavo di completare ma devo accelerare i tempi, data l’imminente pubblicazione del secondo articolo di Enzo…

    Grazie al lavoro di Alex sappiamo come costruire un cono d’ombra, ma dobbiamo necessariamente (a mio avviso) generalizzare l’analisi per poi applicarla ai singoli casi.
    È importante tenere a mente che sia i transiti che le eclissi (che sono anch’esse dei “transiti più evidenti”) sono associate alle grandezze apparenti dei corpi che analizziamo.
    Immaginiamo, allora, che una sorgente luminosa proietti la propria luce su un piano. Interponiamo una sfera e vediamo cosa accade spostandola [figura 2]Allegato 2312.
    L’osservatore O3 si trova esattamente al vertice del cono d’ombra generato da P. Per lui sia S che P hanno la stessa dimensione apparente; ciò grazie al fatto che hanno la stessa dimensione angolare(1).che indicheremo con δ. Cosa accade se l’osservatore si sposta? Ovvio! La dimensione apparente di P cambia ...: cresce se O si avvicina (O2, O) a P e decresce se si allontana O5.
    In particolare per calcolare la dimensione angolare (quindi la dimensione apparente) di un oggetto dobbiamo calcolare l’arcotangente del rapporto tra diametro e distanza (troppe parole difficili, lo so!) ovvero δ = arctan §(diametro/distanza). Concentriamoci solo sulla distanza (a parità di diametro e quindi di dimensioni reali): se la distanza aumenta δ diminuisce e P “mi appare” più piccolo. Complicando i calcoli è possibile determinare qual è la dimensione minima osservabile (con un telescopio le cose cambiano) di P se lasciamo invariate le distanze.
    Ho disegnato, in semitrasparenza, un pianeta T che casualmente si trova proprio (a parte la mia disastrosa incapacità di disegnare) nelle condizioni in cui si trova la Terra (più o meno).
    Possiamo, inoltre, notare che l’osservatore O1 è posizionato fuori dal cono d’ombra ma in quello di penombra (definito dalle rette a1a1’ b1b1’).

    La trattazione di questi argomenti è affascinante ma è arrivato il momento di rispondere alle 7 domande (in realtà alla prima ho già risposto):
    1- NO;
    2- NO;
    3- Descritto da Alex (io sono fuori tempo massimo);
    4- La Luna non può eclissare la terra date le dimensioni reali e la distanza (ovvero dimensione apparente); Può solo determinare delle zone d’ombra e di penombra;
    5- No (per gli stessi motivi di cui al punto precedente);
    6- Il legame (spero di non dire cavolate) è sempre δ che determina l’osservabilità di un transito; inoltre, il transito così come le eclissi dipende dalle inclinazioni relative tra piano orbitale e piano dell’eclittica;
    7- Teoricamente da tutti i pianeti esterni. (ovviamente considerando la dimensione apparente del pianeta e del sole e con gli occhiali da sole)

    Spero di non essere fuori tempo massimo nonostante il primo articolo di Enzo.
    P.s. Mi sono divertito molto e per la prima volta ho capito cosa guardavo nel cielo. Grazie.

    1.Il diametro angolare del Sole da Terra corrisponde, del tutto fortuitamente, con quello della Luna; sebbene il Sole sia effettivamente circa 400 volte più lontano della Luna, anche il suo diametro effettivo è 400 volte maggiore, e questo fa sì che le loro dimensioni apparenti nel cielo terrestre siano simili. Questa particolare coincidenza rende possibili eclissi di Sole molto suggestive. [cit. Wikipedia].

  5. Citazione Originariamente Scritto da Luigi Visualizza Messaggio
    Era da un po’ che tentavo di completare ma devo accelerare i tempi, data l’imminente pubblicazione del secondo articolo di Enzo…

    tranquillo Luigi...
    ho appena finito di fare le figure. Domani inizio a scrivere il testo...
    prometto che non ti copio
    Comunque, bravissimo!!!!

  6. Citazione Originariamente Scritto da Vincenzo Zappalà Visualizza Messaggio
    tranquillo Luigi...
    ho appena finito di fare le figure. Domani inizio a scrivere il testo...
    prometto che non ti copio
    Comunque, bravissimo!!!!
    Grazie. Era un mio desiderio latente approfondire questi argomenti. Spero di non aver impressionato troppo le persone che mi vedevano in metro fare schizzi su un foglio di carta e pensare con gli occhi rivolti al cielo...
    P.s. Con Rosetta ho quasi terminato ... ma presto arriverà il TEATRO!!! Non riesco più a fermarmi ...

  7. Citazione Originariamente Scritto da Luigi Visualizza Messaggio
    Grazie. Era un mio desiderio latente approfondire questi argomenti. Spero di non aver impressionato troppo le persone che mi vedevano in metro fare schizzi su un foglio di carta e pensare con gli occhi rivolti al cielo...
    P.s. Con Rosetta ho quasi terminato ... ma presto arriverà il TEATRO!!! Non riesco più a fermarmi ...
    Grande , io in metro mi sono "sparato" la Fisica addormentata nel bosco

    Grazie a tutti per i complimenti ^__^

  8. Bravi Alex e Luigi!

    Mi piacerebbe ricordare la matematica e la trigonometria e fare calcoli come voi.

    Intanto, guardo e imparo da voi e da Vincenzo

  9. Grazie mille del dettagliatissimo articolo!
    Una domanda, i piani orbitali ruotano anch'essi, "facendo perno" sul Sole (o sul relativo pianeta, per i satelliti), oppure tendenzialmente rimangono sempre i medesimi?
    Michele