7. Pendenze e angoli: viva la trigonometria!

Qualcuna/o dirà: “No… aiuto! La trigonometria no… non l’ho mai digerita!”. Mi spiace per lei/lui, ma non possiamo farne a meno. E poi perché tanta paura? Anche lei nasce molto facilmente dal celebre triangolo rettangolo tanto caro a Pitagora e permette di capire il significato più profondo di certi numeri che sembrano essere solo numeri, ma che sono, invece, qualcosa di ben più importante. Chiedetelo alla cinematica, alla dinamica e a tutta la fisica…

Pendenza, pendenza… possiamo liquidarla così, senza approfondire il suo significato più profondo? No, di certo. Anche perché essa ha un’importanza “stratosferica”, oltre che permettere una rappresentazione geometrica e fisica di concetti puramente matematici.

Seni, coseni e tangenti

Fermiamo tutto e introduciamo nientemeno che la trigonometria. No, non saltate sulle sedie. Ci limiteremo ai concetti più semplici e immediati. Prima o poi dovevamo farlo.

Introduciamola nel modo più facile, utilizzando il solito triangolo rettangolo tanto caro a Pitagora.

Consideriamo la Fig 19, ma non guardate ancora il cerchio e limitatevi al triangolo azzurro ABO, retto in B.

 

fig.19
Figura 19

Si definisce seno dell’angolo α, e si scrive sin(α), il rapporto tra il cateto opposto all’angolo α e l’ipotenusa. Si definisce coseno dello stesso angolo e si scrive cos(α), il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa. Si definisce, infine, tangente dell’angolo α, e si scrive tan(α) il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e quello adiacente. In termini matematici:

sin(α) = AB/OA

cos(α) = OB/OA   …. (1)

tan(α) = AB/OB

Niente di più semplice, direi… ma… perché fare tanta fatica? Beh… lo vedremo un po’ alla volta. Intanto, cominciamo a capire cosa rappresentano le funzioni trigonometriche (sì, avete capito bene… anche loro sono funzioni e le useremo sicuramente) appena introdotte. Esse sono operazioni che si eseguono su un angolo e danno come risultato un numero, che indica soltanto quanto vale il rapporto tra due segmenti. Permettono, però, anche di esprimere i cateti di un triangolo in funzione dell’ipotenusa e di un angolo.

Infatti, le (1) diventano subito:

AB = OA sin(α) 

OB = OA cos(α)    …. (2)

Ne segue anche che:

AB/OB = sin(α)/cos(α) = tan(α)   …. (3)

A parole: la tangente trigonometrica di un angolo è uguale al rapporto tra il suo seno e il suo coseno.

Dalla loro stessa definizione e dal teorema di Pitagora si ha anche la semplice relazione:

AB2 + OB2 = OA2, ossia:

OA2 sin2(α) + OA2cos2(α) = OA2

Semplificando:

sin2(α) + cos2(α) = 1   …. (4)

Relazione che sarà molto utilizzata nella matematica. Per adesso teniamola in un cassetto.

Normalmente, si preferiscono definire le stesse funzioni nel cosiddetto cerchio trigonometrico, di utilizzo ben più generale. Esso non è altro che un cerchio di raggio uguale a 1 e di centro O. Lo vediamo sempre nella Fig. 19.

OR è uguale al raggio, così come OA e sono entrambi uguali a 1, per definizione. Consideriamo la perpendicolare a OR tracciata da A. Essa individua due segmenti AB e OB.

Dal triangolo rettangolo AOB, ricordando le definizioni date precedentemente, possiamo dire subito che:

AB= OA sin(α) = sin(α)

OB = OA cos(α) = cos(α)

Ovviamente vale anche:

AB/OB = sin(α)/cos(α) = tan(α)

Tuttavia, possiamo anche definire la tan(α), usando il triangolo TOR. Esso è ovviamente simile a AOB e possiamo scrivere:

TR/OR = AB/OB  e, quindi, (dato che OR = 1 per definizione):

TR = AB/OB = tan(α).

Notate che il segmento TR è un segmento molto importante e dà una motivazione “geometrica”al significato del nome “tangente trigonometrica”. Esso appartiene proprio alla tangente geometrica tracciata alla circonferenza in R. Vedremo quali enormi applicazioni avrà questa funzione, così banale e immediata, sia in matematica che in geometria e in fisica.

Cari amici, quante relazioni esistono tra le funzioni trigonometriche e quanto sono utili nella determinazione delle coordinate celesti e in cento altre problematiche. Ne vedremo qualcuna tra non molto e capiremo che mondo fantastico si nasconde in quel cerchio di raggio unitario!

Per adesso, possiamo abbandonare la trigonometria, ma non illudetevi…la riprenderemo molto presto!

Il significato di pendenza

Torniamo alla nostra retta passante per l’origine degli assi e disegniamola in Fig 20. Che significato ha la nostra m? Facilissimo: basta fare il rapporto tra la y e la x per vari punti della retta. AOA’, BOB’, POP’ sono tutti simili tra loro e posso scrivere tranquillamente:

yP/xP = yB/xB = yA/xA = costante     …. (5)

fig.20
Figura 20

Una retta passante per l’origine è proprio definita come il luogo dei punti che mantengono costante il rapporto delle loro coordinate. Se deve valere per tutti i punti, deve allora essere:

y/x = costante = m

ossia:

y = mx

Abbiamo ritrovato il risultato dato precedentemente e abbiamo anche capito meglio perché m è proprio la pendenza: essa è il rapporto tra y e x. Generalizzando, si può anche dire che è il rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti qualsiasi della retta e la differenza delle rispettive ascisse. Nel caso in cui uno dei due punti è proprio l’origine O(0,0), si ottiene la (5).

Più questo rapporto cresce e più la retta è ripida rispetto all’asse delle x. Come vedete, avrei potuto ricavare la funzione y =f(x) che caratterizza la retta anche in questo modo puramente geometrico. Ma si può fare molto di più.

Introducendo la trigonometria, abbiamo detto che il rapporto trai cateti di un triangolo rettangolo è uguale a tan(α), ossia alla tangente trigonometrica dell’angolo tra la retta e l’asse delle x. Possiamo perciò concludere, nella Fig. 21, che: 

y/x = m = tan(α)    …. (6)

Questa semplicissima relazione diventerà importantissima nel calcolo delle derivate di una curva qualsiasi e in molti problemi di cinematica e di dinamica.

fig.21
Figura 21

Per adesso, restiamo con i piedi per terra e vediamo subito un’applicazione fisica dell’equazione della retta passante per l’origine.

A posto… pronti… via!

Immaginiamo che la x diventi il tempo t e la y lo spazio percorso s. Vogliamo vedere come si muove un punto P, ossia come varia lo spazio al variare del tempo. Consideriamo il caso più semplice, ossia quello che dice che in tempi uguali si coprono spazi uguali. La Fig. 22 lo illustra perfettamente.

fig.22
Figura 22

Al tempo t =0 il punto P è fermo, ossia si trova nell’origine degli assi, e ha coordinate P(0,0). Scorrendo il tempo t lungo l’asse delle ascisse aumenta anche la distanza s (ordinata). L’importante è che in intervalli di tempo Δt uguali si percorrano spazi Δs uguali. Queste condizioni portano a disegnare una retta che passa per l’origine. Essa infatti risponde ai requisiti necessari dato che:

s1/t1 = s2/t2 = s3/t3 = s/t = costante

Ma la costante è proprio la nostra amica m, ossia la pendenza della retta. Infatti, si ha:

s/t = m    e di conseguenza:

s = m t

Che significato ha la m, in questo caso? E’ proprio ciò che obbliga a percorrere spazi uguali in tempi uguali, ossia la velocità costante. La velocità si definisce, infatti, proprio come lo spazio percorso nell’unità di tempo, ossia s/t. Possiamo allora scrivere senza esitazioni:

s/t = v

e, infine, l’equazione del moto rettilineo uniforme

s = v t    …. (7)

Abbiamo scritto la funzione che ci permette di calcolare lo spazio percorso da un punto al passare del tempo, se esso si muove con velocità costante. Un problema importantissimo per la fisica. Ricordiamo, addirittura, che la relatività ristretta si basa proprio su sistemi di riferimento che possono muoversi l’uno rispetto all’altro con velocità costante. Come vedete anche la funzione più semplice è necessaria per affrontare problemi complicatissimi.

La pendenza m è diventata la velocità nel moto rettilineo uniforme e quindi vale anche:

v = tan(α)

Una relazione apparentemente banalissima che dice soltanto che la velocità di un punto in moto rettilineo uniforme è proprio la tangente trigonometrica dell’angolo tra la  retta che descrive il movimento e l’asse del tempo. Vedremo presto che la tangente trigonometrica diventerà qualcosa di molto più importante (geometricamente e matematicamente) quando, invece di una retta, considereremo delle curve qualsiasi. E capiremo sempre meglio il suo nome. Chi ha letto il libro “La Fisica addormentata nel Bosco” lo sa molto bene!

Lasciamo libere le rette

Completata questa piccola divagazione “fisica”, rituffiamoci nella nostra retta matematica. La pendenza m, che abbiamo visto essere la tangente trigonometrica di un angolo, prende in generale il nome di coefficiente angolare di una retta.

Abbiamo analizzato molto bene un caso particolare di retta, anzi di un fascio di rette. E’ difficile scrivere la funzione y = f(x) che individua una qualsiasi retta, anche non passante per l’origine? No, è immediato e vorrei quasi lasciarlo fare a voi.  In ogni modo provateci prima di andare avanti.

Basta solo pensare al fatto che se la retta non passa per l’origine, vuole, allora, dire che quando l’ascissa x di un suo punto è 0, la sua ordinata non può esserlo. So che è un’ovvietà, ma tanto basta. Se non è zero allora deve essere:

x = 0

y = n      (positivo o negativo)

la retta allora diventa:

y = mx + n  …. (8)

che implica proprio che una retta qualsiasi, non passante per l’origine, può essere considerata una parallela a quella passante per O(0,0), con lo stesso valore di m, ma spostata rispetto alle ascisse di una quantità costante uguale a n. n, ovviamente, si determina annullando la x nell’equazione che rappresenta la funzione desiderata, infatti per x = 0, la formula (7) ci dice che y = n. Un esempio di quanto detto è dato nella Fig. 23

fig.23
Figura 23

Data una retta qualsiasi che coordinate avranno i suoi punti all’infinito (il positivo e il negativo)?

Basta scrivere l’equazione … e porre x =  + ∞ e – ∞. Si ottiene:

y = m (+/-∞) + n

Tuttavia, sappiamo benissimo che moltiplicare un numero diverso da zero per infinito dà infinito e che aggiungere un numero a infinito continua a dare infinito e quindi

y = +/- ∞

Insomma, per la retta, la “vecchia” descrizione di infinito funziona ancora e non crea problemi. I punti all’infinito di tutti i tipi di retta sono riportati in Fig. 24. Prendeteli, comunque, per quello che valgono: simboli, solo simboli…

fig.24
Figura 24

Insomma, ridendo e scherzando abbiamo scritto la nostra prima funzione. Sicuramente la più semplice, ma già estremamente interessante. Potremmo proseguire e “scovare” altre macchine f, ma prima di farlo bisogna a tutti i costi risolvere il problema legato al punto. Non possiamo più considerarlo, da un lato, come privo di dimensioni e, dall’altro, continuare a disegnarlo tranquillamente. E’ ora di fare chiarezza. Dobbiamo proprio fare conoscenza con il limite di una funzione. Anche infinito e zero acquisteranno una nuova veste, molto più matematica e corretta. Tuttavia, andiamo avanti senza fretta…

di Vincenzo Zappalà – tratto da: L’Infinito Teatro del Cosmo