2. Zero e Infinito si incontrano e si sommano

Abbiamo introdotto i concetti geometrici di zero e infinito. Possiamo ora trasportarli lentamente nel mondo della matematica attraverso le operazioni più semplici che essi possono eseguire tra di loro e con numeri qualsiasi. Insomma, facciamoli entrare nel mondo di tutti i giorni.

Dopo aver introdotto il concetto geometrico di zero e infinito, non ci sembra più tanto impossibile utilizzarli nelle più semplici operazioni di matematica. Basta tenere sempre presente la loro essenza. Facciamo, allora, una breve sintesi “matematica” di quanto capito geometricamente.

Cos’è lo zero? Bene, è la distanza tra le rotaie quando entriamo nel piano ampliato. Ossia, è la distanza apparente tra loro nel punto all’infinito. In altra parole, più si guarda lontano verso il punto all’infinito e più la distanza tra le rotaie diminuisce. Molto semplicemente potremmo dire che zero è l’inverso di infinito (e viceversa). Tuttavia, possiamo esprimere questa conclusione in un modo più “ferroviario”… Continuiamo a ragionare con le rotaie e diciamo la seguente frase: “Se il binario raggiunge il punto all’infinito, la distanza delle rotaie deve diventare zero, ossia convergere verso il punto all’infinito del binario”. Come possiamo tradurre questa frase estremamente intuitiva, ma troppo lunga per portarcela sempre dietro? Vogliamo provare a scriverla in modo matematico. Che ne dite di questa espressione?

d = D/r

Cosa vuol dire. Beh… d è la distanza apparente tra le rotaie, D è la distanza vera tra le rotaie e r è la lunghezza delle rotaie. D è una costante, dato che è quella che è e non può cambiare. Espressa in millimetri, centimetri o metri, poco importa. Possiamo considerarla un numero, come 1, 2 oppure 57. Ovviamente, per adesso non può essere zero dato che in quel caso non esisterebbe il binario, ma una sola rotaia! Possiamo, quindi, usare un’unità di misura a piacere e assegnarle il valore uguale a 1 (sia quel che sia, metri, piedi, pollici, indici, mignoli o quello che preferite). Analogamente la distanza r non può essere zero perché, anche in questo caso, non esisterebbe la rotaia (una rotaia di lunghezza zero non esiste per definizione).

Per tutti gli altri valori, invece, la relazione può essere utilizzata, anche se -voglio ribadirlo- è solo una nostra soluzione empirica che farebbe rabbrividire qualsiasi matematico. Pazienza, prima o poi correremo ai ripari. Per adesso sfruttiamola dato che ci serve a definire la relazione che intercorre tra zero e infinito. Quando faremo nostri alcuni concetti più difficili, la sistemeremo meglio. Per adesso, accontentiamoci. Di sicuro ci dice una cosa perfettamente logica: aumentando la lunghezza del binario r, diminuisce la distanza apparente d tra le due rotaie.

Non stiamo nemmeno a perdere tempo nel calcolare quanto vale d per diversi valori di r. Basta riportare la Fig. 7 dove ho segnato le varie grandezze sulla rotaia che si stringe.

fig.7
Figura 7

I più smaliziati saprebbero benissimo riconoscere triangoli simili e/o funzioni trigonometriche e/o altro ancora (ad esempio la parallasse trigonometrica), ma non occupiamocene, per adesso almeno. Andiamo direttamente alla “fine” della rotaia. Sappiamo benissimo quanto vale la distanza nel piano ampliato, ossia quando arriviamo alla retta dell’orizzonte. La distanza è proprio infinita, nel senso geometrico che le abbiamo dato la volta scorsa. Sappiamo, però, anche che raggiunto il punto all’infinito della rotaia, la loro distanza d diventa zero (è un punto senza dimensioni). Non stiamo facendo altro che applicare il concetto stesso di punto all’infinito, sia per la lunghezza del binario che per la sua larghezza. Cosa diventa la nostra banale formula scritta precedentemente? Banale:

0 = 1/∞

Come, in fondo, già prevedevamo: lo zero è l’inverso dell’infinito. Vale quindi anche:

∞ = 1/0

No, non spaventatevi, abbiamo trattato zero e infinito come numeri qualsiasi. Infatti, non vi stupireste senz’altro se scrivessi: 5 = 10/2 e poi la trasformassi in  2 = 10/5. Bene, ho fatto lo stesso con i simboli introdotti la volta scorsa, per non portarci sempre dietro una lunga tiritera di parole.

Notate bene che se anche avessi definito la distanza D con altre unità di misura e avessi trovato per lei valori numerici diversi, tipo 2, 5, 75 , ecc. La relazione non sarebbe cambiata di molto:

0 = 75/∞

e analogamente

∞ = 75/0.

D’altra parte sappiamo bene che qualsiasi sia la distanza tra i binari, essi devono incontrarsi all’infinito sempre in un punto di dimensioni uguali a zero. Questa frase vuole anche dire: “Tutte le rette parallele tra loro si incontrano in un solo punto all’infinito”. Frase che avevamo già utilizzato la volta scorsa.

Si può anche ragionare più terra-terra. Come si fa a confrontare un numero, per grande che sia, con –nientemeno- che infinito, il massimo dei massimi? E’ ovvio che rispetto a infinito qualsiasi numero è ben poca cosa. Essere 1 oppure 10 oppure 10000 non cambia la questione. E’ come mettere su una bilancia un pallina da tennis da un lato e un pianeta dall’altro. Analogo ragionamento si può fare per lo zero. Qualsiasi numero, per piccolo che sia, è enorme rispetto allo zero. Ne segue che paragonare un numero con il minimo dei minimi non può che far pendere la bilancia verso il numero.

Dire che qualsiasi numero (diverso da zero e da infinito) diviso per zero dà infinito o –analogamente- che qualsiasi numero diviso per infinito dà zero sembra una banalissima conseguenza, ma teniamola bene a mente perché tra non molto ci servirà per risolvere un grande dubbio. Ripetiamola ancora:

Qualsiasi numero diviso per infinito dà zero e qualsiasi numero diviso per zero dà infinito

Il “qualsiasi numero”, però, deve essere, per adesso almeno, diverso da zero e da infinito. E’ abbastanza comprensibile, ma tra non molto capiremo meglio il perché…

Possiamo anche riflettere su un altro punto fondamentale: il concetto di infinito è strettamente legato a quello di zero. Sono due grandezze indivisibili: sotto particolari condizioni (piano all’infinito) se esiste una deve esistere anche l’altra. Anzi, dove se ne incontra una si deve incontrare anche l’altra. Questa frase puramente geometrica si trasforma nella relazione appena trovata, ossia 1/0 = ∞ o 1/∞ = 0 . L’infinito conduce allo zero e lo zero conduce all’infinito

A questo punto è meglio completare la definizione di infinito. Se noi ci troviamo nel bel mezzo di un deserto, dove passa una ferrovia, vedremo un punto all’infinito dei binari sia da un lato che dall’altro. Non sono certo uguali! Definiamo allora un verso positivo e uno negativo alla ferrovia, come riportato in Fig. 8. Da un lato avremo l’infinito positivo e dall’altro quello negativo. Nello stesso identico modo in cui diamo il valore + 5 o – 5 a un numero rispetto allo zero. Per lo zero (al momento) non ci sono problemi: + 0 e – 0 sono la stessa cosa.

Fig.8
Figura 8

Vogliamo provare a scrivere le altre possibili relazioni tra zero e infinito oppure tra essi stessi? Non ci dovrebbero essere problemi. Al limite, ciò che non riusciamo a definire lo identificheremo come indeterminato. Vedrete quanto sarà importante questa parola.

Cominciamo con le due più semplici: l’addizione e la sottrazione. Esse sono in realtà la stessa cosa se consideriamo i numeri negativi, dato che la differenza di due numeri positivi è la somma di un numero positivo e di uno negativo.

Bene possiamo scrivere un bel po’ di possibili operazioni

0 + 0

0 – 0

∞ + ∞

∞ – ∞

∞ + 0

∞ – 0

0 – ∞

Potreste facilmente trovare il risultato da soli. Permettetemi, però, di essere proprio come un professore esageratamente meticoloso (di matematica appunto) e di spiegare tutti i passaggi anche quelli apparentemente più facili.

0 + 0 vuol dire sommare niente a niente. E’ ovvio che niente più niente rimane comunque niente, ossia il risultato non può che essere 0.

0 – 0 non cambia di molto la situazione. Togliere niente a niente è sempre niente. Il risultato è nuovamente 0.

∞ + ∞  vuol dire aggiungere all’infinito un altro infinito. Beh… non esageriamo! Oltre all’infinito non ci può essere che infinito, se no che infinito sarebbe? Possiamo concludere tranquillamente che il risultato è ancora .

∞ – ∞  vuol dire togliere infinito all’infinito. Verrebbe ovvio dire che il risultato è zero, come 5 – 5. Purtroppo, non possiamo esagerare con la somiglianza dell’infinito a un numero reale e ben determinato. Come visto precedentemente, l’infinito non è veramente quantificabile. Proviamo a metterla così (state attenti perché più in là questo ragionamento sarà essenziale): ci sono due ferrovie che vanno entrambe all’infinito, ma in una delle due il treno va più veloce. Cosa potremmo concludere? Che il treno più veloce raggiunge l’infinito prima del secondo? Sì, lo so, sembra un discorso assurdo, ma vedremo che è un concetto fondamentale.

Non perdiamo troppo tempo e ammettiamo, per adesso, che l’infinito non è qualcosa di realmente misurabile. Va tutto bene finché lo si paragona a zero o un altro numero qualsiasi, ma quando si tratta di sottrarre due infiniti la risposta non è ovvia e non ne siamo capaci (per adesso, ovviamente). Insomma, per concludere, la sottrazione di due infiniti non ha un risultato immediato. Devo studiarli più da vicino e non posso concludere che la differenza sia zero. In altre parole, la soluzione è indeterminata. E’ il primo caso che troviamo. Teniamolo bene a mente.

∞ + 0 e ∞ – 0  non danno problemi, anche per quanto abbiamo detto precedentemente. Togliere niente o aggiungere niente a un qualsiasi “tipo” di infinito non può cambiare assolutamente il concetto di infinito. Il risultato è sempre in entrambi i casi.

0 – ∞  è praticamente la stessa cosa, ma il risultato ci dà l’infinito della parte opposta del binario, ossia – ∞.

Riscriviamo la lista di prima con i risultati a fianco. Scusate la lungaggine, ma è meglio partire con il piede giusto. Fidatevi…

0 + 0 = 0

0 – 0 = 0

∞ + ∞  = ∞

∞ – ∞ = indeterminato

∞ + 0 = ∞

∞ – 0 = ∞

0 – ∞ = – ∞

Per fare un buon lavoro, dovremmo dire qualcosa anche riguardo alla situazione in cui si sostituisse il numero zero con un numero qualsiasi n. In parte ne abbiamo già discusso, ma vale la pena ribadire i risultati. I più esperti saltino pure questo nuovo banalissimo elenco.

n + 0 = n

n – 0 = n

∞ + n  = ∞

∞ – n = ∞

n – ∞ = -∞

Cosa ci confermano queste relazioni? Ciò che già sapevamo: lo zero non cambia il valore di un numero, sia che si aggiunga o si tolga. Inoltre, aggiungere o togliere un numero finito all’infinito non cambia assolutamente il suo valore di infinito. Solo un altro infinito può metterlo in crisi.

Sarò sicuramente pedante e lento, ma ritengo giusto fermarmi qui. Per adesso tenetevi ben stretti due risultati fondamentali:

1)      Dividere un numero qualsiasi (diverso da zero) per zero dà sempre infinito così come dividere il numero (diverso da infinito) per infinito dà sempre zero.

2)      Sottrarre infinito da infinito è un’operazione che, per il momento, non ci fornisce un risultato concreto, ossia la soluzione è indeterminata.

Come abbiamo visto, il punto (2) comincia a crearci problemi. Forse, le operazioni che conosciamo non funzionano sempre bene nel piano ampliato.  Vedremo presto come vanno le cose con le altre operazioni…

di Vincenzo Zappalà – tratto da: L’Infinito Teatro del Cosmo