Alice e lo specchio: le simmetrie

I più attenti avranno notato che spesso, quando si parla delle teorie della fisica, si fa riferimento ad una proprietà che sembra fondamentale: la simmetria. Vediamo cos’è e cerchiamo di capire perché è così importante….

Cominciamo con questo scritto un viaggio che ci porterà sempre più all’interno dei segreti della materia, fino ad arrivare a comprendere (almeno spero) quella che oggi è la più completa teoria che ne descrive le proprietà: il Modello Standard. Questo modello spiega molto delle proprietà del nostro universo, ma non spiega tutto: per questo è conosciuta anche come “Teoria del quasi tutto”.
Prima, però, cominciamo con qualcosa di semplice, che è alla base di ogni teoria fisica: la simmetria. Perché è così importante?

Tutto è simmetria.

Se ci fate caso, nella natura esistono moltissime cose che sono simmetriche, anche in se in modi diversi.
Prendiamo un albero: se lo osservate, noterete che potremmo ottenere due parti praticamente uguali se lo dividessimo in orizzontale o in verticale. I rami somigliano molto alle radici, ed il fusto è quasi perfettamente cilindrico. Lo stesso vale per il corpo umano: solitamente un volto è simmetrico verticalmente, e anzi, più simmetrico è e più ci risulta gradevole. Lo stesso vale per l’intero corpo, e nel mondo vivente possiamo citare moltissimi esseri simmetrici, come ad esempio le stelle marine, le conchiglie, i fiori ecc…

Simmetria di un albero
Simmetria di un albero
Simmetria del corpo umano
Simmetria del corpo umano

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ancora, nella natura troviamo bellissimi cristalli di minerali, e anch’essi presentano evidenti simmetrie: pensate ad esempio ad un fiocco di neve o ad un cristallo di pirite…

Simmetria di un cristallo di neve
Simmetria di un cristallo di neve
Simmetria di un cristallo di pirite
Simmetria di un cristallo di pirite

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Perché la simmetria è presente ovunque nella natura? Semplice! Perché essa è contenuta l’interno delle leggi fisiche che la governano. Ma qui siamo al punto di prima, abbiamo solo spostato di un grado il problema: perché le leggi fisiche contengono una simmetria? E il peggio deve ancora venire: non esiste un’unica simmetria.  Ce ne sono parecchie…

Ma quante simmetrie ci sono….

Si, sono veramente tante… E il fiocco di neve qui sopra ne contiene già diverse. La prima che mi viene in mente si chiama simmetria rotazionale: se qualcuno fa ruotare un fiocco di neve perfetto di 60 gradi intorno l’asse centrale mentre noi non vediamo, non avremo mai la possibilità di accorgercene. In questo caso, si può dire che il fiocco di neve è invariante per una rotazione di questo tipo. E lo è, ovviamente, anche per rotazioni di 120°, 180°, 240° e 360°. Non solo; se lo guardiamo in uno specchio e non ci sono altri riflessi, ben difficilmente potremo capire quale delle due immagini è il fiocco vero e qual’è il riflesso. Il fiocco, quindi, è invariante per simmetria speculare, o, che è lo stesso, invariante per parità.

Cambiando esempio, consideriamo un cerchio: possiamo vedere facilmente che è invariante per qualsiasi tipo di rotazione, piccola o grande che sia. Quindi, rispetto al fiocco di neve che è invariante per simmetrie discrete, il cerchio è invariante per simmetria continua.

E nelle leggi fisiche, quali simmetrie troviamo?

Beh, in questo caso le simmetrie hanno un significato che va oltre la semplice geometria. In effetti, non ci si domanda se un esperimento è uguale se lo ruotiamo, ma se lo è la legge fisica che lo governa.

Facciamo un esempio. Se giocando con delle biglie su  una tovaglia a scacchi ne faccio scontrare due, è facile capire se la tovaglia e le biglie su di essa sono state ruotate. Ma alle leggi fisiche poco importa: se l’angolo tra le biglie e la loro velocità non cambia, anche la velocità e l’angolo dopo lo scontro non cambieranno.

E’ in questo senso che è intesa l’invarianza per rotazioni in un sistema fisico: anche se si ruota l’esperimento, i risultati non cambiano. E, poiché possiamo ruotare l’esperimento a piacere senza che nulla cambi, questa simmetria è continua.

Però, come possiamo verificare che le leggi siano veramente invarianti per una simmetria continua? In teoria, dovremmo fare un’infinita serie di esperimenti “virtuali”, nel caso sopra uno per ogni più piccola frazione di angolo, e calcolarne i risultati tramite l’equazione che codifica la legge fisica. C’è una strada più breve e semplice? Sì. Basta controllare che l’equazione stessa sia simmetrica.

Per farlo, dobbiamo scomporre l’equazione e distinguere le quantità che sono sensibili alla direzione da quelle che non lo sono. Le grandezze sensibili alla direzione sono definite grandezze vettoriali, e sono rappresentate graficamente con una freccia chiamata vettore. Questa freccia ha una dimensione, ma anche una direzione e un verso, i quali possono essere codificati matematicamente. Le quantità che non sono sensibili alla direzione, invece, sono ovviamente invarianti per una rotazione. Fatto questo, dobbiamo ruotare matematicamente tutte le grandezze vettoriali e controllare se l’equazione risultante è uguale a quella di partenza. Se è così, la legge fisica è invariante per una rotazione. E, a dir la verità….. Tutte le leggi fisiche conosciute lo sono!


La gran parte delle leggi fisiche possiede, oltre alla simmetria rotazionale continua, altre due simmetrie: la simmetria di traslazione nello spazio (e sono così invarianti per traslazioni spaziali) e la simmetria di traslazione nel tempo (e sono così invarianti per traslazioni temporali).
In parole povere, questo vuol dire che un esperimento non cambia i suoi risultati se è fatto a Roma o Pechino, o se è fatto adesso o tra una settimana. Ovvero, le condizioni puramente locali (i sistemi di riferimento nello spazio e nel tempo) non influenzano i risultati, finché sono equivalenti.

Ma allora: perché le simmetrie sono così importanti?

Beh, questa cosa non si è capita, fintanto che non ci ha ragionato sopra una brillante ma sfortunata scienziata, Amalie Emmy Noether. Questa grandissima ma misconosciuta donna, nata nel 1882, era una matematica tedesca, che in gioventù lavorò col grande matematico David Hilbert sulla teoria della relatività generale di Einstein. Purtroppo, per l’epoca aveva due tremende pecche: era donna ed era ebrea. E questo la portò a lavorare per lunghi anni gratis, prima come matematica e poi come docente, tra l’altro non a nome proprio ma a nome di Hilbert. Come se non bastasse, fu costretta dai nazisti ad emigrare negli Stati Uniti, dove morì solo due anni dopo, nel 1935.
Nonostante le sue sfortune, Emmy riuscì a diventare uno dei fondatori di un particolare ramo della matematica moderna: l’algebra astratta. E durante i suoi studi formulò uno dei teoremi più importanti per i fisici, che è ovviamente noto come teorema di Noether.
In parole povere, il teorema di Noether afferma che ad ogni simmetria continua di un sistema fisico è associata una quantità che si conserva.
Ecco perché troviamo simmetrie ovunque! Ognuna di quelle simmetrie nasce dalla conservazione di una quantità fisica! Per la precisione, l’invarianza per traslazioni spaziali conserva la quantità di moto (ovvero l’inerzia di un oggetto legata al suo movimento), l’invarianza per rotazione conserva il momento angolare (cioè quanto un oggetto ruota sul suo asse) e l’invarianza per traslazioni temporali conserva l’energia.
Questo principio può essere esteso a qualsiasi cosa. Pensate ad esempio alla molecola del DNA. Che cosa conserva la sua simmetria? Semplice! L’informazione che consente alle cellule di organizzarsi fino a costituire un organismo.
Da oggi in poi, ogni volta che vedete qualsiasi cosa presentare una simmetria, chiedetevi che conserva……

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43 Commenti    |    Aggiungi un Commento

  1. Interessantissimo Red, grazie. Domandina! (forse e sciocca, ma mi é entrato il tarlo in testa e non ci salto fuori....nel caso lo fosse chiedo scusa) Se non ho capito male tutte le leggi fisiche rispettano quello che hai esposto, quindi questo fenomeno della "conservazione di una quantità fisica" dovrebbe essere presente anche nel processo che regola l'espansione accelerata dello spazio? o non c'entra nulla?

  2. Citazione Originariamente Scritto da etruscastro Visualizza Messaggio
    bellissimo articolo Red, spiegato con grandissima chiarezza.
    Citazione Originariamente Scritto da Vincenzo Zappalà Visualizza Messaggio
    di meglio non si poteva fare....
    Grazie, amici! Ma non esagerate.....

  3. Citazione Originariamente Scritto da Andrea I. Visualizza Messaggio
    Interessantissimo Red, grazie. Domandina! (forse e sciocca, ma mi é entrato il tarlo in testa e non ci salto fuori....nel caso lo fosse chiedo scusa) Se non ho capito male tutte le leggi fisiche rispettano quello che hai esposto, quindi questo fenomeno della "conservazione di una quantità fisica" dovrebbe essere presente anche nel processo che regola l'espansione accelerata dello spazio? o non c'entra nulla?
    In teoria, l'espansione dell'universo è legata alla rottura di una simmetria. In effetti, il campo che spiegherebbe l'inflazione, l'inflatone appunto, ha caratteristiche simili al campo di Higgs e all'energia oscura, e l'inflazione si originerebbe poco prima della rottura della simmetria originariamente presente. Tra l'altro, anche la separazione delle forze dipende dalla rottura spontanea di una simmetria....

  4. Citazione Originariamente Scritto da Red Hanuman Visualizza Messaggio
    In teoria, l'espansione dell'universo è legata alla rottura di una simmetria. In effetti, il campo che spiegherebbe l'inflazione, l'inflatone appunto, ha caratteristiche simili al campo di Higgs e all'energia oscura, e l'inflazione si originerebbe poco prima della rottura della simmetria originariamente presente. Tra l'altro, anche la separazione delle forze dipende dalla rottura spontanea di una simmetria....
    A parte il fascino dell'argomento trattato nel tuo articolo e la bellezza espositiva che lo rende fruibile anche per chi come me ha competenze molto minime (così stimola a cercare risposte..) se non ho capito male uno potrebbe costruirci sopra un racconto di fantascienza dove la nascita e la crescita possono costituire una rottura d'equilibrio, dunque una negatività (della serie quando si nasce si inizia a morire) per i comunii modelli di valori dove il valore massimo è essere, vivere, esistere; in contrapposizione alla non esistenza che precede la nascita (dell'universo ma non solo, anche delle sue creature visto che tutto è universo) ,che quindi non è più una non esistenza ma una diversa forma di esistenza e quindi assume un valore positivo, di equilibrio perfetto.
    Se vai avanti a spiegare così farai concorrenza divulgativa a Enzo.... tutto a vantaggio di noi comuni mortali ...
    Il bello di questo sito è che qualunque domanda si abbia , c'è sempre qualcuno che sa rispondere e ha voglia di farlo, e che anche se non sai come fare la domanda perchè non ti è chiara la cosa, c'è sempre , prima o poi , qualcuno che farà la domanda giusta anche per te, basta aspettare... fantastico !

  5. Citazione Originariamente Scritto da manuela Visualizza Messaggio
    A parte il fascino dell'argomento trattato nel tuo articolo e la bellezza espositiva che lo rende fruibile anche per chi come me ha competenze molto minime
    Grazie mille, ma non esagerare... Non farti ingannare: la matematica che descrive l'universo è sicuramente complessa, ma alla fine i concetti che sono alla base delle formule sono alla portata di tutti...

    Citazione Originariamente Scritto da manuela Visualizza Messaggio
    (così stimola a cercare risposte..) se non ho capito male uno potrebbe costruirci sopra un racconto di fantascienza dove la nascita e la crescita possono costituire una rottura d'equilibrio, dunque una negatività (della serie quando si nasce si inizia a morire) per i comunii modelli di valori dove il valore massimo è essere, vivere, esistere; in contrapposizione alla non esistenza che precede la nascita (dell'universo ma non solo, anche delle sue creature visto che tutto è universo) ,che quindi non è più una non esistenza ma una diversa forma di esistenza e quindi assume un valore positivo, di equilibrio perfetto.
    Beh, è una questione di.... Simmetria... Visto che la nostra esistenza è basata sulla fisica di questo universo, come può non rispecchiarla? Come in Cielo, così in Terra....
    Spesso dimentichiamo che non c'è luce senza buio. I taoisti, che vedevano bene la ciclicità dell'esistenza e l'equilibrio che governa il cosmo, avevano sintetizzato il tutto nel simbolo del Tao. Anche ciò che ci appare completamente negativo ha in sé qualcosa di positivo. Basta sforzarsi di coglierlo...

    Citazione Originariamente Scritto da manuela Visualizza Messaggio
    Se vai avanti a spiegare così farai concorrenza divulgativa a Enzo....
    No, impossibile. Enzo è inarrivabile....

    Citazione Originariamente Scritto da manuela Visualizza Messaggio
    tutto a vantaggio di noi comuni mortali ... Il bello di questo sito è che qualunque domanda si abbia , c'è sempre qualcuno che sa rispondere e ha voglia di farlo, e che anche se non sai come fare la domanda perchè non ti è chiara la cosa, c'è sempre , prima o poi , qualcuno che farà la domanda giusta anche per te, basta aspettare... fantastico !
    Fantastici siete voi che ci seguite e stimolate. Anche troppo. Povero Enzo.....

  6. Citazione Originariamente Scritto da Red Hanuman Visualizza Messaggio
    No, impossibile. Enzo è inarrivabile....
    pensare che volevo mettermi in pensione (per la seconda volta)... tanto ormai Red è padrone del Cosmo... devo inchinarmi ai giovani!!!!

    Oltretutto quel maledetto libro di fisica mi fa penare non poco... sto scrivendo Coriolis, ma senza derivate è dura... Accidenti a voi... non riesco nemmeno a stare dietro alle news...