3. Zero e infinito: le cose si complicano

Quanto vale 0∙0? Direi che non ci sono problemi ad arrivarci con facilità. La moltiplicazione è un’operazione che ci dice solo di  addizionare un fattore a se stesso tante volte quanto indica l’altro fattore.  Prendiamo allora 0 e addizioniamolo a se stesso … 0 volte. Ma che vuole dire tutto ciò? Semplicemente prendere zero e non fargli niente! Per cui

0 ∙ 0 = 0

Calcoliamo adesso l’espressione  ∞ ∙ ∞.

Analogamente a prima, dobbiamo addizionare infinito a se stesso per infinite volte. Ossia: ∞ + ∞ + ∞ + ∞ +  ecc., ecc, per un numero infinito di volte.  No, non possiamo esagerare. Sappiamo già il risultato dato che la somma di due infiniti è ancora infinito. Oltre l’infinito non vi è nient’altro che infinito, se no che infinito sarebbe! Sommare 10, 50, 1000000 volte l’infinito continua a essere infinito. Ne deriviamo che:

∞ ∙ ∞ = ∞

Come casi generali di quanto detto sopra, potremmo scrivere che :

qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero. Beh, quasi sempre, teniamolo ben presente. Vale però anche ∞ ∙ 2 = ∞,  ∞ ∙ 57  = ∞, ecc., ecc. In parole matematiche: qualsiasi numero moltiplicato per infinito deve dare infinito, tranne che … Ci arriveremo fra pochissimo.

Prima di continuare con le moltiplicazioni è utile passare alle divisioni: fidatevi.

Proviamo con 0/0.

Sembra semplice ma non lo è. Sì, è vero, avevamo detto la volta scorsa che qualsiasi numero diviso per zero deve dare infinito. Ma non se il numero è proprio zero (ricordate che avevamo escluso questa possibilità). D’altra parte sappiamo anche che moltiplicare qualcosa per zero dovrebbe dare zero (ma non 1/0).  Paragonare zero con se stesso è un bel problema e non si può certo concludere che faccia 1. Vi ricordate il discorso sui treni su due linee ferroviarie che vanno a diversa velocità? Ebbene, il ragionamento si ripete. Quali dei due arriva prima nel punto in cui le rotaie si incontrano (nel punto all’infinito)? Se vediamo i treni dal nostro punto di osservazione saremmo sicuri che il più veloce arriva prima dell’altro (uno sparisce all’orizzonte e l’altro no). Potremmo concludere che uno zero è più zero dell’altro, dato che viene raggiunto prima. Cosa vuol dire tutto ciò? Che se il treno più veloce è quello al numeratore la relazione 0/0 diventa uguale a zero, dato che quello al denominatore è già un numero piccolo, ma non piccolo come quello superiore. E come se la relazione diventasse 0/0.000000000001 che è , comunque, uguale a 0.

Se, invece, il treno più veloce fosse al denominatore, le cose si invertirebbero e otterremmo qualcosa del tipo 0.00000000000001/0 = ∞.  Insomma, la soluzione non si può ottenere con le solite operazioni. Bisogna anche conoscere la velocità del treno! In altre parole, quale dei due treni si avvicina più velocemente allo zero. Al “limite” (mai vocabolo è stato scelto meglio!), potrebbero anche avere la stessa velocità e il risultato sarebbe uno. Non preoccupatevi, torneremo presto su questo concetto.

Cosa siamo costretti a dire? Ormai lo sappiamo (purtroppo): zero diviso zero ha una soluzione indeterminata. In altre parole, più esatte, possiamo anche dire che la forma 0/0 è indeterminata.

Le cose migliorano se facciamo ∞/∞ ? Nemmeno per sogno. Potrei dirvi che paragonare due infiniti pone lo stesso problema visto prima. Chi è più infinito dell’altro? Impariamo, però, a usare la poca matematica che abbiamo già imparato. Quante vale 1/∞? Beh, lo sappiamo già: è uguale a 0. Possiamo allora sostituire 1/∞ con 0. Su questo fatto non abbiamo dubbi. Scriviamo, allora:

∞/∞ = ∞ ∙ 1/∞ = ∞ ∙ 0

Beh, non abbiamo ottenuto molto di meglio, a prima vista. Tuttavia, possiamo continuare, dato che sappiamo anche (ma è la stessa cosa) che 1/0 = ∞. Sostituiamo ancora nella relazione di prima e troviamo:

∞/∞ = ∞ ∙ 0 = (1/0) ∙ 0 = 0/0.

Siamo ritornati al caso precedente, ossia alla forma 0/0. Ma questa è una forma indeterminata e di conseguenza lo è anche la forma ∞/∞.

E’ immediato dire che anche il prodotto tra zero e infinito è indeterminato. Infatti, guardando qualche riga sopra, abbiamo proprio scritto che ∞ ∙ 0 = 0/0. Accidenti, le cose diventano pesanti… Dobbiamo confessare che anche ∞ ∙ 0 è una forma indeterminata. Non ce ne va più bene una che sia una! Ecco perché prima avevo titubato a dire che qualsiasi numero moltiplicato zero dà come risultato zero. Qualsiasi numero tranne infinito! Idem per qualsiasi numero moltiplicato infinito: dà infinito solo se non è zero! E casi così ce ne sono parecchi…

Possiamo rifarci un po’, moltiplicando o dividendo un numero n qualsiasi per zero e infinito. Sì, sì, per loro è tutto facile, ma questo lo sapevamo già. Infatti:

n ∙ 0 = 0  e  n ∙ ∞ = ∞.

Non  avrei nemmeno bisogno di spiegarlo, ma è come se sommassi n volte 0 e ∞. Le loro somme valgono 0 e ∞, rispettivamente (andate a vedere cosa avevamo concluso nelle addizioni).

Continuiamo: n/0 = ∞ e n/∞ = 0. Anche questo lo avevamo già stabilito fin dall’inizio dell’articolo scorso e ribadito poco fa. Meno male, qualcosa sta funzionando.

Concludiamo con qualche altra divisione:

0/∞ e ∞/0. Non dovreste avere problemi a trovare da soli la soluzione, anche in modo “matematico” e non concettuale. Ormai sapete come fare: basta sostituire ∞  con 1/0 e la prima espressione si trasforma in 0 ∙ 0 che sappiamo essere uguale a 0. Nella seconda sostituiamo 0 con 1/∞ e troviamo ∞ ∙ ∞ = ∞. Tutto bene, insomma; le soluzioni sono alla nostra portata.

Probabilmente vi sto riempiendo la testa di zeri e di infiniti. E’ meglio fermarsi un attimo e ricapitolare quanto abbiamo trovato nella moltiplicazione e nella divisione (se dimentico qualcosa fatemelo presente…).

1/∞ = 0

1/0 = ∞

0 ∙ 0 = 0

∞ ∙ ∞ = ∞

0/∞ = 0

∞/0 = ∞

0/0          indeterminata

∞/∞         indeterminata

∞ ∙ 0        indeterminata

n ∙ 0 = 0

n ∙ ∞ = ∞

n/∞ = 0

∞/n = ∞

0/n = 0

n/0 = ∞

E se volessimo passare a espressioni esponenziali, del tipo a^b ? Proviamoci, cercando di ricordare le proprietà delle potenze… (per adesso prendiamole per buone, tra un paio di articoli ci torneremo sopra). In particolare, ricordiamo che elevare a potenza vuol solo dire moltiplicare la base a per se stessa tante volte quante dice l’esponente b. Se a fosse uguale a 3 e b uguale a 5 (ossia 3⁵) significherebbe fare 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 .

Vi dico subito che le cose si complicano un po’. Potrei darvi i risultati senza tante spiegazioni. Ma andrei contro il senso di tutti questi discorsi che cominciano a sembrare privi di senso (meno male che la MQ ci ha abituati alle cose illogiche…). Proviamo e poi magari mi chiederete ulteriori chiarimenti senza alcun timore.

Cominciamo con 0⁰ . La soluzione sembrerebbe banale dato che sappiamo che un numero elevato a zero fa sempre uno. Perché? Beh, questa è una specie di convenzione che si è scelta non avendo praticamente senso concreto moltiplicare un numero per se stesso zero volte. Si scrive perciò n⁰ = 1. Tuttavia, sappiamo anche che 0 moltiplicato per se stesso n volte fa sempre zero, ossia 0⁵ = 0 ∙ 0 ∙ 0   ∙ 0 ∙ 0 = 0. Siamo di fronte a un dilemma.

0 è un numero, ma a seconda che lo consideriamo tale nella base o nell’esponente il risultato è diverso. Potremmo concludere facilmente che la forma è indeterminata perché non sappiamo proprio come trattarla. (Attenzione, non confondiamola con 0 ∙ 0. In questo caso è come dire 0² e questa vale senz’altro 0). Potremmo, però, anche arrivarci in modo puramente matematico.

Seguitemi attentamente… dire 0 vuole anche dire 1 – 1: non vi sono dubbi. La relazione diventa allora 0^(1-1) . Una proprietà delle potenze ci dice però che a^(b-c) = a^b/a^c. Vi sembra una cosa strana e nuova? No, no. Pensate al rapporto a⁶/a². E’ vero o no che si può semplificare dividendo sopra e sotto per a²? Direi proprio di sì e il risultato diventa a⁴. In altre parole, non ho fatto altro che fare a⁶/a² = a^(6-2) = a⁴. Torniamo allora alla nostra relazione 0⁰.

0⁰ = 0^(1-1) = 0¹/0¹ = 0/0

Fermi tutti! Questa è una relazione che conosciamo molto bene e sappiamo che è indeterminata. Lo sarà, quindi, anche 0⁰.

E se facessimo ∞⁰ ? Le cose cambierebbero di poco, dato che potremmo usare lo stesso sistema:

∞⁰ = ∞^(1-1) = ∞¹/∞¹ = ∞/∞

Ma anche questa la conosciamo bene ed è una forma indeterminata.

Più semplici e immediate sono invece le soluzioni delle relazioni 0^∞ e ∞^∞. In questo caso l’elevazione a potenza ci dice solo che dobbiamo prendere 0 e moltiplicarlo per se stesso infinite volte. Nessun problema. Sappiamo benissimo che moltiplicare zero per se stesso, quante volte vogliamo, resta sempre 0. Così come moltiplicare infinito per se stesso infinite volte vale sempre infinito.

Non vi sono nemmeno problemi a fare ∞ⁿ e n^∞ (con n maggiore di 1… vedremo tra poco perché…).

Entrambi danno ∞. E’ ovvio: moltiplicare infinito n volte per se stesso è ovviamente infinito. Moltiplicare un numero n, maggiore di 1, infinite volte per se stesso non può che essere infinito.

Tuttavia, nel secondo caso, se il numero n è più piccolo di 1, le cose cambiano … Accidenti questo non ce lo saremmo aspettati. Proviamo a vedere perché.

Se n è più piccolo di uno, può esprimersi sempre come una frazione del tipo m/M, dove M > m. Riscriviamo allora la nostra relazione n^∞ come (m/M)^∞ = m^∞/M^∞. Questa forma sembrerebbe dirci che siamo ricaduti nel caso ∞/∞. E qui casca l’asino! Ossia, caschiamo tutti veramente!

Devo ammettere di avere lasciato questo caso per ultimo proprio perché ci mette veramente di fronte a un problema che abbiamo finora solo sfiorato, senza avere il coraggio di affrontarlo, tentando di risolvere (o non risolvere) le varie espressioni con le operazioni della matematica più elementare, alla portata di tutti. Adesso, non possiamo più nascondere la polvere sotto al tappeto e dire che la forma è indeterminata.

Ripensiamo ai treni che viaggiano a velocità diverse verso il punto all’infinito. Ebbene, se la base della potenza è più grande di un’altra, vuol dire che il treno fa prima ad arrivare all’infinito e quindi M^∞ arriva a infinito prima di m^∞. Dobbiamo accettare il fatto (già accennato) che l’infinito al denominatore è più infinito di quello al numeratore e quindi il risultato vale 0, come se fossimo nel caso 1000000000000/∞, già trattato precedentemente.

No, non possiamo più accontentarci di parlare di treni più o meno veloci. Dobbiamo veramente imparare qualche nuova operazione per lavorare a nostro agio con 0 e ∞. Anche perché l’ultimo caso trattato ci porta a una situazione estremamente ambigua che forse vi è sfuggita. La ribadisco:

n^∞ ha una doppia soluzione. Se n > 1 vale ∞; se n < 1 vale 0.

E se n fosse proprio 1. Non potremmo rispondere e saremmo veramente imbarazzati. Non ci resta che concludere che anche 1^∞ è una forma indeterminata, proprio perché è al bordo (al limite…) di due soluzioni opposte.

Sono senza parole, scusate…

Ricapitoliamo gli ultimi risultati e poi passiamo alla discussione finale.

0⁰    indeterminata

∞⁰   indeterminata

0^∞ = 0

∞^∞ = ∞

0ⁿ = 0

n⁰ = 1

∞ⁿ = ∞

n^∞ = ∞   ( se n > 1)

n^∞ = 0    ( se n < 1)

1^∞    indeterminata

Abbiamo tentato di andare avanti con le operazioni più semplici, ma, alla fine ci siamo trovati di fronte a un muro.

Che dirvi? Mi ero illuso, inutilmente, di trattare due numeri speciali come ∞ e 0 al pari di due numeri qualsiasi. A volte ci sono riuscito, a volte ho usato la frase (anzi la scappatoia) “forma indeterminata”, ma alla fine la situazione “un numero elevato a infinito” mi ha bloccato la strada e mi ha convinto di avere sbagliato tutto.

No, non mi picchiate. In realtà l’ho fatto apposta! Lavorando in questo modo abbiamo sentito un po’ alla volta la necessità di introdurre un nuovo tipo di operazione. Un’operazione che diventa essenziale quando si parla di infinito e di zero, ma che è utilissima e fondamentale anche in altri casi meno eclatanti.

Se vi avessi introdotto subito questa operazione, qualcuno avrebbe potuto dite: “Le solite farneticazioni matematiche. Sempre a cercare di rendere difficili le cose semplici. A cosa potrà mai servire introdurre una nuova operazione? Solo a complicare le cose e a divertirsi con i numeri, senza  un bisogno veramente pratico”. Ebbene, ho provato a camminare lungo le rotaie con le normali operazioni che tutti conoscono e vi ho mostrato che ci scontriamo con difficoltà insuperabili. E’ quindi necessario fare un passo in più. Necessario proprio per rendere concrete soluzioni che non riusciamo a trovare.

Questa nuova operazione non è altro che il passaggio al limite. ossia avvicinarsi a un valore numerico, compresi zero e infinito, studiando il modo con cui lo fa. Chiamatela pure “velocità con cui il treno viaggia sulle rotaie”, l’ importante è che ci servirà a stabilire una gerarchia tra gli zeri e gli infiniti. Anche loro non sono tutti uguali! Invece di usare la frase “uguale a”, impareremo a usare la più generale frase “tende a”.

Prima, però, è opportuno saltare di palo in frasca e iniziare a parlare di funzioni matematiche. Perché? Proprio adesso che si poteva iniziare a risolvere le forme indeterminate? Ebbene sì. Le funzioni matematiche sono proprio quelle cose che ci permettono di sapere con che velocità ci stiamo avvicinando a certi valori numerici. Sono proprio i treni che potremo prendere di volta in volta.

Solo conoscendo loro potremo risolvere le forme indeterminate. O, in altre parole, loro sono i casi pratici che portano alle situazioni indeterminate (ma anche determinate) che abbiamo visto in questi tre articoli introduttivi. Parlare di funzioni, vuol dire dare una veste pratica e concreta alle formule matematiche. Oltretutto ci permettono di vedere continuamente un’espressione matematica sotto la sua veste geometrica, molto più comprensibile e immediata.

Concludo con una tabella riepilogativa dei “magnifici sette”, ossia i sette casi che abbiano definito come indeterminati. Li risolveremo tutti, anche se qualcuno ha poco interesse pratico (soprattutto nella fisica) e necessita di funzioni veramente astruse e ben poco note.

Vi consiglio di rileggere questi primi tre capitoli con attenzione. Cercate di capire i concetti affrontati. E’ inutile cercare di imparare a memoria i risultati. Sono serviti solo ad arrivare al nocciolo del problema. Potete sempre riferirvi alla tabella finale. Se avete digerito la logica dei vari passaggi, potrete sempre ricavarveli da soli.

Questa è la VERA  matematica. La memoria serve a poco… per la tabellina pitagorica e poco di più. Se le si dà la mano e si capisce il suo metodo di ragionare, la memoria è quasi inutile. Ogni soluzione è sempre deducibile attraverso i concetti base. Cercate di seguire questa strada e vedrete che farete vostra la sua bellezza sintetica e la sua logica quasi artistica.

di Vincenzo Zappalà – tratto da: L’Infinito Teatro del Cosmo