Il modello cosmologico standard ΛCDM – Parte II: quanta materia ed energia oscura?

Nella prima parte di questo articolo, che trovate QUI (assolutamente necessario da leggere prima di proseguire, per chi non lo avesse già fatto), abbiamo introdotto il modello cosmologico standard ΛCDM descrivendo gli elementi necessari a ricavarlo e l’equazione di Friedmann che lo rappresenta formalmente, la quale come abbiamo detto ci spiega il modo in cui i vari costituenti energetici dell’Universo, ovvero quello relativo alla materia (barionica e oscura), rappresentato dal parametro Ω_M, e quello dato dall’energia oscura, indicato con il parametro Ω_Λ, possono modificare la sua evoluzione nel tempo e la geometria dello spazio-tempo.

Nel discorso introduttivo sulla cosmografia, abbiamo accennato al fatto che la metrica di Robertson-Walker ci permette di spiegare matematicamente e geometricamente come i raggi luminosi si propaghino nello spazio-tempo, permettendoci cosi di definire un concetto di distanza tra due sorgenti luminose che sia dipendente dal tipo di geometria adottata, cioè dal valore della costante di curvatura k (che può assumere i valori -1, 0, +1 se ricordate) e dal fattore di scala cosmico a(t).

Ma prima di arrivare a ciò è bene fare alcune premesse essenziali. Poichè il discorso è abbastanza articolato e affronteremo più dettagli di quanto fatto nella prima parte, sarà necessario introdurre alcune quantità ed equazioni e da qui in poi affronteremo il problema passo passo in sezioni separate in modo da fornire una lettura più semplice e organizzata anche per i meno esperti.

Sezione 1. Il redshift cosmologico

Cominciamo con il discutere un parametro fisico importante in cosmologia, ovvero il cosiddetto redshift z. Come probabilmente noto dall’effetto Doppler, una sorgente luminosa che ci invia il suo segnale elettromagnetico e che si muove verso di noi, fa si che la lunghezza d’onda del segnale elettromagnetico diminuisca, spostandosi cioè verso il blu. Viceversa, se la sorgente si allontana, la lunghezza d’onda aumenta, spostandosi così verso il rosso. Questo tipo di effetto è tipicamente misurabile dal cosiddetto spettro di luce, che riporta il flusso osservato in funzione della lunghezza d’onda, cioè ci permette di visualizzare il segnale elettromagnetico scomposto in tutte le sue componenti. Da qui è possibile definire il $redshift$ z, come

dove λ_osservata è la lunghezza d’onda dello spettro della sorgente preso in esame, mentre λ_emessa è quella di riferimento prodotta in laboratorio, cioè a riposo (non in movimento). Dalla formula possiamo subito vedere che se le due lunghezze d’onda sono uguali, cioè se la sorgente è ferma rispetto a noi, allora z = 0, mentre se la sorgente si allontana z > 0 e se si avvicina z < 0. Tuttavia nel caso cosmologico, il $redshift$ può essere provocato da un fenomeno totalmente diverso da quello dell’effetto Doppler discusso fin’ora. Ma quale?

Abbiamo visto nel precedente articolo (reperibile QUI) che l’Universo è attualmente in espansione, e tra l’altro accelerata. Questo fa si che tra di noi ed altre sorgenti, soprattutto se poste a distanze molto elevate rispetto a noi, si venga a formare molto nuovo spazio con il passare del tempo, cioè lo spazio stesso tra noi e la sorgente aumenta in dimensione. Lo spazio generato sarà tanto più grande quanto più lontana è la sorgente, a causa del fatto che l’espansione è accelerata e l’accelerazione è diventata visibile solo dopo un certo tempo di vita dell’Universo. Cosa comporta tutto ciò? La diretta conseguenza è che la velocità con cui vediamo queste sorgenti distanti allontanarsi da noi aumenta con l’aumentare della distanza tra noi e gli oggetti stessi, ma non perchè le sorgenti stesse si muovano di per sè ma perchè è lo spazio in espansione a trascinarsele dietro. Quello che accade dunque è che si crea anche in questo caso uno spostamento verso il rosso, detto però redshift cosmologico, perchè causato dall’allontanamento tra due oggetti (noi e la sorgente) per effetto dell’espansione dell’Universo. Le onde elettromagnetiche prodotte vengono letteralmente “stirate” per effetto di questa espansione e l’effetto prodotto sullo spettro di luce è perfettamente analogo a quello causato dall’effetto Doppler.

Come possiamo immaginare riflettendoci un attimo, il $redshift$ cosmologico è praticamente nullo se considerato per sorgenti a piccole distanze (ad esempio nella nostra galassia), dove non riusciamo a percepire l’espansione dell’Universo perchè sono in gioco i moti propri delle stelle e delle galassie che possono anche al contrario essere in avvicinamento fra loro e verso di noi. L’effetto dell’espansione però diventa dominante per grandi distanze, diciamo già nell’ordine di quelle che definiscono le dimensioni del nostro ammasso di galassie, il gruppo locale, e quindi intorno alla decina di milioni di anni luce. Il motivo di ciò è che è proprio su questa scala di distanze che l’espansione dell’Universo diventa ben visibile ai nostri occhi, cioè produce un effetto tangibile e misurabile. In tutto questo discorso puntualizziamo ancora una volta che il $redshift$ cosmologico, anche se definito sempre con la stessa formula di quello dato dall’effetto Doppler, non comporta affatto che la sorgente sia effettivamente in moto rispetto a noi perchè si sta spostando con una sua velocità, ma semplicemente che essa si allontani perchè è lo spazio stesso ad espandersi. Ciò significa che la sorgente potrebbe avere un $redshift$ cosmologico elevato, ma essere comunque ferma nel riferimento dello spazio ad essa circostante, quindi la vedremo in questo caso allontanarsi molto velocemente solo per effetto dell’espansione dell’Universo.

Inoltre, questa definizione di $redshift$ cosmologico consente anche di avere (e spiegare) velocità di allontanamento (dette anche velocità di recessione) di sorgenti che superano la velocità della luce, arrivando anche a valori due o tre volte superiori. Ma tranquilli, gli oggetti non si stanno realmente muovendo a velocità superiori alla velocità della luce, trattasi solo di un effetto apparente provocato dallo spazio che si può espandere a velocità anche elevatissime senza violare il postulato della teoria della Relatività Ristretta che afferma che nessun segnale elettromagnetico si può propagare ad una velocità superiore a circa 299 792 km/s. Questo ci consente di avere oggetti con valori di $redshift$ z > 1, senza che essi di fatto si muovano a velocità superiori a quelle della luce. Giusto per darvi un’idea di quale possa essere il $redshift$ di un oggetto posto ai confini dell’Universo osservabile, basti pensare al quasar ULAS J1120+0641, il quale ha il più alto $redshift$ misurato ad oggi, pari a circa z = 7, ed è posto a ben 12.9 miliardi di anni luce da noi.

Come intuibile per quanto detto fin’ora, possiamo pertanto pensare al $redshift$ cosmologico come ad un indicatore di distanza, vale a dire che tanto più è elevato il $redshift$ cosmologico misurato e tanto più ci aspettiamo che la distanza dell’oggetto sia elevata.

Per distanze relativamente piccole, diciamo fino a qualche decina di milioni di anni luce, la relazione tra $redshift$ e distanza si può approssimare ad una semplice retta, è cioè lineare, come mostra l’immagine qui a fianco, e costituisce la cosiddetta legge di Hubble. Questo succede perchè localmente, cioè in zone relativamente prossime a noi, l’espansione dell’Universo avviene ad un tasso pressoché costante, cioè l’accelerazione non è visibile. L’inclinazione di questa retta è il fattore di conversione tra $redshift$ e distanza, ed è dato dalla costante di Hubble al tempo odierno, H₀, che abbiamo già introdotto nell’articolo precedente per un generico istante t di tempo. Spostandoci invece a distanze sempre più grandi, l’effetto di accelerazione dell’espansione si fa sentire sempre di più. Questo succede perchè più distante guardiamo nello spazio, più lontano guardiamo nel tempo, vedendo così l’effetto dell’energia oscura prendere il sopravvento sull’espansione dell’Universo. Questo fa si che la velocità di recessione delle sorgenti molto lontane diventi molto elevata, e di conseguenza il $redshift$ aumenta più di quanto non faccia la distanza corrispondente. Questo ci fa perdere la condizione di linearità tra redshift cosmologico e distanza data dalla legge di Hubble, ma ritorneremo nuovamente su questo aspetto con dati alla mano nella parte finale di questo articolo.

Sezione 2. La distanza di luminosità ed il modulo di distanza

La seconda quantità che dobbiamo introdurre è la cosiddetta distanza di luminosità e di conseguenza, il modulo di distanza, concetti molto diffusi tra gli astronomi. Partiamo dall’assumere che una determinata sorgente, che chiameremo S per comodità, abbia una luminosità intrinseca, che denotiamo con L. Essa rappresenta la quantità di energia emessa nel tempo (la potenza), ed è direttamente legata alla temperatura ed al raggio della sorgente (nel caso in cui essa sia una stella). Tuttavia, per effetto della distanza, non misuriamo direttamente la luminosità della sorgente ma il cosiddetto flusso osservato, ovvero la luminosità L distribuita su di una superficie sferica centrata sulla sorgente S ed avente raggio dato dalla distanza tra S e noi osservatori. Il flusso osservato, che denotiamo con F, è dato dalla semplice relazione 

dove d_L è proprio la distanza tra sorgente ed osservatore, che compare al quadrato al denominatore del secondo membro. La figura a lato ci illustra che questa legge è di tipo quadratico per la distanza a causa della definizione geometrica di superficie sferica, la quale cresce con il quadrato del raggio, facendo si che all’aumentare della distanza da S, la luminosità intrinseca della sorgente venga distribuita su di una superficie sempre più grande. Il flusso osservato F è pertanto ciò che misuriamo direttamente da terra, o dallo spazio, con appositi strumenti di rivelazione. Come si definisce quindi la distanza di luminosità? Semplicemente invertendo la relazione che abbiamo appena citato per la distanza d_L, ottenendo così la definizione di distanza di luminosità.

Ma perchè si chiama distanza di luminosità? Perchè è definita utilizzando la luminosità della sorgente. In astronomia, infatti, esiste anche una definizione diversa di distanza, nota come distanza da diametro angolare, d_A, la quale è invece definita a partire dalla dimensione angolare della sorgente, e che coincide con d_L solo per $redshift$ molto bassi, praticamente per z = 0. La relazione tra distanza di luminosità e distanza da diametro angolare, ricavabile da alcune considerazioni geometriche, è difatti data come d_L = (1 + z)²d_A. Quindi per $redshift$ già poco più grandi di zero, le due distanze cominciano a differire notevolmente. Il motivo per cui ciò accade è che quando misuriamo il diametro angolare di una sorgente, siamo esenti dall’effetto di spostamento della lunghezza d’onda verso il rosso causato dall’espansione dell’Universo o da un eventuale moto di allontanamento/avvicinamento della sorgente rispetto a noi per effetto Doppler. Il diametro angolare di un oggetto è infatti una misura puramente geometrica proiettata in direzione perpendicolare a quella che invece riguarda il moto di allontanamento/avvicinamento, ed è dunque indipendente dalla velocità che la sorgente stessa ha rispetto a noi. Perchè allora non utilizzare più semplicemente il diametro angolare per tutte le misure di distanza? Ci semplificherebbe molto la vita direte voi. In realtà no, perchè è praticamente impossibile con le strumentazioni disponibili ad oggi, misurare il diametro angolare di sorgenti poste anche a miliardi di anni luce da noi. Sarebbero così minuscole e perfettamente puntiformi da rendere vano ogni tentativo anche con i telescopi più potenti che abbiamo a disposizione. Misurare il diametro angolare di un oggetto risulta possibile solo quando è ragionevolmente vicino a noi, per intenderci entro i limiti della nostra Galassia se parliamo di sorgenti stellari. Ecco che la distanza di luminosità diventa più vantaggiosa, anche perchè per una qualsiasi sorgente luminosa, se pur distante, abbiamo comunque la possibilità di misurarne il $redshift$ grazie allo spettro elettromagnetico emesso dalla sorgente.

A questo punto molti astrofili sapranno bene che se abbiamo un flusso osservato, possiamo convertirlo in una magnitudine apparente m tramite la cosiddetta legge di Pogson. Facendo lo stesso per una $magnitudine$ assoluta M, corrispondente al flusso osservato per la stessa sorgente ma posta ad una distanza da noi pari a 10 parsec (per la definizione di magnitudine assoluta di una sorgente), possiamo esprimere la $magnitudine$ apparente in funzione della distanza di luminosità e della $magnitudine$ assoluta secondo la seguente legge

dove abbiamo reso esplicito il fatto che, sulla base di quanto detto precedentemente, sia la distanza di luminosità d_L, sia di conseguenza la $magnitudine$ apparente della sorgente S presa in esame, sono funzioni del $redshift$ z della sorgente. Se adesso portiamo la $magnitudine$ assoluta M al primo membro, introduciamo il cosiddetto modulo di distanza in funzione del $redshift$, dato da μ(z) = m(z) – M. Dalla formula che abbiamo considerato otteniamo quindi l’espressione del modulo di distanza in termini della distanza di luminosità della sorgente. Questo parametro è fondamentale nella misura delle distanze di sorgenti di cui è nota la $magnitudine$ assoluta M e ovviamente quella apparente m. Specifichiamo per chiarezza, che dire di aver nota la $magnitudine$ assoluta M di una sorgente, equivale a conoscere la sua luminosità intrinseca L ed automaticamente la sua distanza di luminosità tramite la magnitudine apparente, quest’ultima facilmente misurabile. Quindi se avessimo la magnitudine assoluta M della sorgente, avremmo già risolto il problema…ma le cose nella realtà non so mai semplici! Come intuibile infatti, la luminosità intrinseca L non è conosciuta a priori perchè non sappiamo a che distanza la sorgente sia posta rispetto a noi senza altri elementi a nostra disposizione. Tuttavia esistono delle particolari sorgenti, note come candele standard, in cui la luminosità intrinseca è un valore ben preciso conosciuto tramite processi fisici noti, e che non cambia al variare della sorgente considerata per una particolare tipologia di oggetti. Per riassumere dunque, ricostruendo il modulo di distanza delle candele standard, otteniamo una misura diretta della loro distanza di luminosità. Unendo questa informazione al redshift della sorgente, otteniamo uno strumento potente per poter calibrare il modello cosmologico, come vedremo nella Sezione 6 di questo articolo. Ritorneremo sulle candele standard nella Sezione 5 e su come il modulo di distanza si distribuisce in funzione del $redshift$ della sorgente nella Sezione 6.

Sezione 3. La distanza di luminosità in cosmografia

Fatta questa premessa sul $redshift$ ed in particolare quello cosmologico, e su come si definiscono la distanza di luminosità ed il modulo di distanza in termini osservativi e pratici, affrontiamo adesso il concetto di distanza di una sorgente luminosa da un punto di vista completamente diverso, e puramente matematico, cioè quello della cosmografia. Cerchiamo di capire adesso come si esprime una distanza creata dal percorso fatto dai fotoni nello spazio-tempo, ovvero dal segnale luminoso che da una determinata sorgente giunge fino a noi, in termini dei parametri che descrivono la metrica dello spazio-tempo, cioè il fattore di scala cosmico a(t) e la costante di curvatura k. Per i meno curiosi, dato che quanto segue è un pò più tecnico e meno entusiasmante da un punto di vista divulgativo, si può in caso saltare e andare direttamente alla Sezione 4, anche se visionare il modo in cui si arrivi al risultato è certamente molto consigliato.

Ritornando al nostro discorso, dalla metrica di Robertson-Walker, quindi senza ancora considerare il modello cosmologico vero e proprio per il momento, possiamo ricavare la relazione tra la lunghezza d’onda di un segnale elettromagnetico relativo ad una sorgente, ed il fattore di scala cosmico a(t). Questo perchè la metrica di Robertson-Walker, come qualunque metrica, è di per sè una cosiddetta forma differenziale, vale a dire che sotto opportune condizioni essa si può integrare fornendoci una funzione matematica che ci descrive esattamente la distanza di un particolare oggetto in funzione delle coordinate dello spazio-tempo. Ancora una volta però eviteremo di entrare nei dettagli matematici, perchè ciò richiederebbe nozioni di analisi matematica che esulano dallo scopo di questo articolo. In ogni caso affronteremo a seguire alcune considerazioni tecnico-pratiche che richiedono comunque una lettura un pò più attenta.

La relazione che otteniamo per la distanza di luminosità si ricava con delle considerazioni geometriche e fisiche a partire dallo schema presentato in figura. Facciamo prima una considerazione sul sistema di coordinate utilizzato in cosmografia per descrivere lo spazio-tempo con la metrica di Robertson-Walker. Esso è dato dalle quattro coordinate (r, θ, φ, t), dove t è il tempo cosmico standard iniziato all’orgine dell’Universo e r, θ, φ sono le tre coordinate spaziali dette coordinate comoventi poichè sono indipendenti dal tempo. Le tre coordinate spaziali definiscono un sistema di coordinate sferico, in modo similare al sistema di coordinate equatoriale tanto noto in astronomia. Supponiamo di centrare questo sistema di coordinate spaziali su di noi in quanto osservatori. Avremo allora che la coordinata comovente r, detta radiale poichè definita lungo la congiungente tra l’origine (noi) e la sorgente, sarà r = 0 in corrispondenza della Terra. A questo punto, immaginiamo di avere una sorgente posta ad una coordinata comovente $radiale$ r = r₁. Ma la coordinata comovente come abbiamo detto non dipende dal tempo e quindi non tiene conto del fatto che l’universo si espande. Per includere questo effetto e ottenere così la coordinata effettiva della sorgente al passare del tempo, dobbiamo considerare il prodotto r₁ a(t₀), cioè la coordinata $radiale$ comovente moltiplicata per il fattore di scala cosmico al tempo attuale t = t₀. Questo perchè il fattore di scala ad oggi, ha tenuto conto di quanto l’Universo si sia espanso fino ad oggi.

Chiarita dunque la natura delle coordinate spaziali e temporali utilizzate in cosmografia, affrontiamo il metodo per ricavare la distanza di luminosità della sorgente considerata. Quello che intendiamo fare è raccogliere la luce emessa da questa sorgente tramite un telescopio posto a terra, avente uno specchio circolare di raggio b. Come ci mostra la figura a lato, i raggi di luce provenienti dalla sorgente formano un angolo |ε| con la congiungente tra la sorgente e il centro dello specchio, dando origine quindi ad un cono con un angolo solido (cioè l’angolo in tre dimensioni) dato da π|ε|². Utilizzando la trigonometria di base per un triangolo rettangolo e seguendo lo schema illustrato nella figura possiamo scrivere che b = a(t₀) r₁ sin|ε| ≈ a(t₀) r₁ |ε|, dove l’ultima approssimazione sussiste perchè l’angolo |ε| è tipicamente molto piccolo per sorgenti luminose presenti nel nostro Universo, e dunque il seno dell’angolo è ben rappresentato dall’angolo stesso.

Calcolando a questo punto la porzione di potenza ricevuta sulla superficie dello specchio del telescopio rispetto al totale emesso dalla sorgente e distribuito su di una superficie sferica, avente angolo solido pari a 4π, possiamo ricavare una espressione del flusso osservato a terra in termini del raggio dello specchio, del fattore di scala cosmico e della coordinata comovente della sorgente. Sostituendo questo valore del flusso osservato nella definizione di distanza di luminosità che abbiamo introdotto precedentemente, otteniamo la distanza di luminosità in cosmografia, data da

dove a(t₀), o più brevemente a₀, è il fattore di scala cosmico al tempo in cui riceviamo il segnale dalla sorgente, t₀, e a(t₁) è invece il fattore di scala cosmico al tempo in cui il segnale è stato emesso dalla sorgente, t₁, chiaramente con t₀ > t₁ perchè la luce emessa dalla sorgente, a causa della sua velocità finita, impiega un tempo maggiore di zero per arrivare fino a noi e quindi deve essere stata emessa prima per poter essere visibile. La coordinata comovente della sorgente, r₁, è anch’essa calcolabile dalla metrica di Robertson-Walker ed è data da

cioè r₁ è una funzione particolare, chiamata in cosmologia funzione S, di una quantità (indicata tra parentesi) che dipende dall’evoluzione del fattore di scala cosmico tra il tempo in cui il segnale è inviato a quello in cui è ricevuto. Questa funzione S può assumere tre differenti forme, in base al tipo di geometria dello spazio-tempo, cioè in base al valore della costante tricotomica k che abbiamo introdotto nel primo articolo, se ricordate. Essa sarà data dal seno della quantità tra parentesi se k = + 1 (cioè la geometria è sferica), dalla stessa quantità tra parentesi se k = 0 (cioè la geometria è Euclidea) e dal seno iperbolico della quantità tra parentesi se k = -1 (cioè se la geometria è iperbolica). Ed è quindi qui che entra in gioco il tipo di geometria dello spazio-tempo. La geometria dunque cambia il valore della coordinata comovente in esame, e cioè cambia letteralmente la distanza della sorgente.

Ma non ci dilunghiamo ulteriormente sulle considerazioni matematiche, ci basta sapere a questo punto che la distanza di luminosità in cosmografia dipenderà dal tipo di geometria che ha lo spazio-tempo, cioè dal valore della costante tricotomica k.

Sezione 4. La distanza di luminosità nel modello ΛCDM

Come possiamo adesso legare l’espressione della distanza di luminosità in cosmografia al modello cosmologico standard ΛCDM, cioè ai costituenti fisici dell’Universo? La chiave è sempre l’equazione di Friedmann, che abbiamo introdotto e spiegato QUI nella prima parte dell’articolo dedicato al modello ΛCDM. Calcolando l’equazione di Friedmann per il solo istante di tempo attuale t = t₀, avremo

con Ω_K,0 il termine di curvatura, cioè il valore legato al budget energetico totale Ω_tot,0 calcolato al tempo attuale, già introdotto precedentemente (Ω_K,0 = 1 – Ω_tot,0). H₀ è ancora una volta la costante di Hubble al tempo attuale. Invertendo questa equazione ricaviamo l’espressione del fattore di scala cosmico al tempo attuale in funzione dei costituenti dell’Universo e della $costante di Hubble$, data da

e che adesso possiamo utilizzare nella espressione di distanza di luminosità cosmografica. Pertanto sostituendo a₀ nella espressione della distanza di luminosità, calcolando la quantità rappresentata dall’integrale tra parentesi tramite le stesse definizioni di redshift cosmologico e $costante di Hubble$, e sfruttando la relazione tra $costante di Hubble$ e i contributi energetici dell’Universo data sempre dall’equazione di Friedmann, con un pò di passaggi algebrici otteniamo l’espressione finale e più comune della distanza di luminosità del modello cosmologico standard per il caso di geometria Euclidea (k = 0) ed un Universo dominato da materia non-relativistica, cioè da materia ordinaria la cui densità decresce con il volume dello spazio occupato. Capiremo nella Sezione 6 perchè consideriamo proprio il caso con k = 0.

Vediamo di capire meglio questa formula, di per sè non immediata. Al primo membro vediamo la distanza di luminosità in funzione del $redshift$. A secondo membro compaiono quindi il $redshift$ z, e dal momento che abbiamo incluso il modello cosmologico standard vediamo adesso apparire la $costante di Hubble$ al tempo attuale H₀, ed i contributi energetici di massa ed energia oscura, Ω_M,0 e Ω_Λ,0, sempre al tempo attuale ma posti dentro un integrale. L’integrale che compare fa si che vengano tenuti in considerazione tutti i contributi del $redshift$ dalla posizione dell’osservatore, z’ = 0, a quella in cui si trova la sorgente luminosa z’ = z sotto la presenza di materia ed energia oscura. Il motivo per cui il $redshift$ che compare dentro l’integrale ha simbolo z’ è solo una questione di forma, perchè z’ è una variabile di integrazione in questo caso e non va confusa con il $redshift$ z della sorgente per cui la distanza di luminostà viene calcolata tramite la formula.

Abbiamo così finalmente l’espressione chiave che ci servirà per ottenere le percentuali energetiche di materia ed energia oscura e la $costante di Hubble$. Questa equazione lega la distanza di luminosità di una sorgente al suo redshift, includendo l’effetto causato dalla materia e dall’energia oscura. Come visibile, la funzione geometrica S che abbiamo introdotto prima per la cosmografia, qui non compare più poichè ci siamo focalizzati sul caso k = 0. Perchè vi chiederete proprio k = 0, cioè geometria Euclidea? Perchè come vedremo più avanti, ciò che osserviamo corrisponde proprio al caso k = 0, per cui adottiamo questa semplificazione per non complicarci la vita ulteriormente.

Sezione 5. Il dato osservativo: le supernovae Tipo Ia

Adesso una domanda sorge spontanea. Ma come si fa dunque a calcolare questi valori energetici di materia ed energia oscura usando l’ultima formula? Per farlo servono i dati, cioè le osservazioni. I dati, in qualunque contesto astrofisico e cosmologico, sono di vitale importanza infatti. Senza di essi, non avremo mai modo di capire se la nostra comprensione ed i nostri studi si stanno muovendo nella direzione giusta. I dati ci servono per calibrare i modelli e per metterli alla prova. Possono confermare un modello, così come anche portarci ad escluderlo totalmente. Nel nostro caso in particolare, i dati ci servono anche per capire se la formula che abbiamo ottenuto per la distanza di luminosità è adeguata.

Ma quali dati ci sono utili in questo caso? Fin’ora abbiamo parlato di distanze e di redshift legati alle sorgenti luminose. Ci serve dunque un tipo di sorgente che ha la particolarità di avere un valore di luminosità intrinseca ben noto, in modo da consentirci di avere la sua magnitude assoluta e dunque la distanza. Se ricordate, abbiamo già fatto riferimento prima a queste sorgenti con il termine di candele standard. Le candele standard più note in ambito cosmologico sono un tipo particolare di Supernovae (SNe), ovvero le cosiddette SNe Tipo Ia. Esse non sono da confondere con un’altra classe nota di supernovae, le SNe Tipo II. Per non rendere l’articolo eccessivamente lungo, non ci occuperemo in questa sede di capire come si formano e si classificano le diverse supernovae (affronteremo la cosa successivamente in un articolo dedicato).

Quello che ci basta sapere in questo contesto è che le SNe Tipo Ia sono prodotte da una nana bianca originata da una stella di massa intermedia (5-7 masse solari) posta in un sistema binario, con un meccanismo ben preciso che dà luogo ad una luminosità caratteristica ben nota, producendo nella fase del massimo di luminosità una magnitudine assoluta M  = -19.5 nella luce visibile, come ci mostra la figura qui sopra, dove vediamo una tipica curva di luce tipica di SNe Tipo Ia ed un esempio di curva di luce di SNe Tipo II, quest’ultime in media meno luminose delle Tipo Ia di circa due magnitudini. Le SNe Tipo II sono originate invece da stelle singole molto massive, 10-11 masse solari, che arrivano al loro ultimo stadio evolutivo, andando a costituire un nucleo di ferro ed esplodendo. A differenza delle Tipo Ia, le Tipo II non sono utilizzate come candele standard perchè la luminosità del massimo può variare considerevolmente in base alla stella presa in considerazione, e dunque non in un modo tipico da cui si può estrapolare un solo valore di luminosità al massimo.

Sezione 6. Vincolare i parametri cosmologici del modello ΛCDM

La parte finale di questo percorso che abbiamo affrontato ci permetterà di capire come effettivamente riusciamo ad ottenere le fatidiche percentuali di materia ed energia oscura che spesso leggiamo in giro quando si parla di Universo e dei suoi costituenti.

Ricapitolando abbiamo:

1. capito cos’è il $redshift$ cosmologico e come misurarlo
2. ricavato la distanza di luminosità di una sorgente con un determinato $redshift$ ed espressa in termini dei costituenti Ω_Λ e Ω_M e della $costante di Hubble$ H₀
3. identificato il tipo di sorgenti ideali per cui abbiamo noti sia il $redshift$ che la distanza di luminosità.

Quindi da un lato abbiamo la teoria, il modello che ci fornisce una espressione matematica della distanza di luminosità in funzione del redshift e che la lega ai costituenti dell’Universo, e dall’altro lato abbiamo i dati, cioè le distanze di luminosità ed i corrispondenti redshift di un certo numero di sorgenti luminose. Il nostro obiettivo è calibrare il modello teorico per riprodurre al meglio i dati a disposizione.

Il prossimo passo da fare è vedere come la distanza di luminosità di tali sorgenti si distribuisca in funzione dello stesso $redshift$, qualcosa che abbiamo già visto quando abbiamo parlato della legge di Hubble nella Sezione 1 di questo articolo. Guardando il diagramma qui sotto, vediamo nuovamente la distanza, qui espressa dal modulo di distanza, in funzione del $redshift$ della sorgente. I punti indicati con dei pallini (pieni per osservazioni del telescopio Hubble e vuoti per osservazioni da terra) in nero sono invece un campione di SNe Tipo Ia.

Vediamo anche una curva tratteggiata che passa in mezzo a questi punti, ma che cos’è? Si tratta della distanza di luminosità teorica che abbiamo ricavato partendo dalla cosmografia ed includendo il modello cosmologico, data dall’ultima formula in Sezione 4. Questa distanza di luminosità è stata calcolata per i valori di Ω_Λ e Ω_M che meglio rappresentano tutti i dati osservativi che abbiamo a disposizione. Infatti, cambiando i valori di Ω_Λ e Ω_M la distanza di luminosità associata ad una sorgente di $redshift$ z cambia. Esiste dunque una coppia di valori Ω_Λ e Ω_M per cui d_L diventerà il più simile possibile alla distanza osservata con le sorgenti, rappresentata in verticale dalla posizione dei cerchi neri. Estendendo questo calcolo per tutti i dati a disposizione, possiamo ricavare che Ω_Λ = 0.70 (o 70%) e Ω_M = 0.30 (o 30%) circa, ed un valore della $costante di Hubble$ odierna pari a circa H₀ = 69.5 km/s Mpc^-1. Abbiamo così vincolato i parametri liberi del modello cosmologico, ottenendo cioè i valori che ci permettono di riprodurre i dati osservati nel migliore dei modi.

Facciamo adesso alcune considerazioni importanti. La parte terminale di questo diagramma, cioè quella ad alto $redshift$ sulla destra, rappresenta la zona più delicata perchè come intuibile al crescere delle distanze e del $redshift$ diventa più complicato per noi osservare supernovae e quindi trovarne. Come visibile infatti, per $redshift$ z > 1 i punti diventano pochi, e si esauriscono rapidamente avvicinandosi a z = 2. Tuttavia, le supernovae a $redshift$ più alto sono quelle che risentono di più dell’espansione accelerata dell’Universo, proprio perchè sono quelle più remote rispetto a noi. Questo rende queste supernovae le più critiche per calcolare il bilancio tra materia ed energia oscura, le quali giocano un ruolo opposto sull’espansione dell’Universo, dove la materia tende a frenare l’espansione mentre l’energia oscura tende ad accelerarla (ricordate quello che abbiamo detto nella parte finale del primo articolo sul modello cosmologico standard).

La parte iniziale del diagramma, invece, cioè quella per piccoli $redshift$, z < 0.2, è quella che delimita il valore della $costante di Hubble$ al tempo odierno. Se ci pensate un attimo infatti, avevamo visto in precedenza che la legge di Hubble è data proprio per le sorgenti relativamente vicine a noi, con un $redshift$ cosmologico basso. L’espansione dell’Universo è infatti non accelerata se ci manteniamo a distanze non troppo elevate rispetto a noi, cioè quelle del nostro ammasso di galassie e degli ammassi vicini come il Virgo e il coma. Dunque i dati delle supernovae ci consentono di ottenere i valori di percentuale di materia (sia barionica che oscura), di energia oscura, e la $costante di Hubble$ odierna dall’espressione stessa della distanza di luminosità.

Nella prima parte di questo articolo ci siamo comunque chiesti anche qualche altra domanda importante. In particolare, ci siamo chiesti come riusciamo a capire qual è la geometria dello spazio-tempo. Se ricordate, quando abbiamo presentato la distanza di luminosità per il modello cosmologico abbiamo specificato che essa era quella per uno spazio-tempo a geometria Euclidea (k=0). Abbiamo dunque tralasciato gli altri due casi, cioè per k= -1 e k = +1, che darebbero luogo a due distanze di luminosità con espressioni un pò diverse da quella vista. Perchè abbiamo fatto questa scelta? Vediamo di spiegarlo a seguire.

Ipotizziamo di fare la stessa operazione sui dati delle supernovae utilizzando le distanze di luminosità per k= +1 e k = -1. Otterremo altre due condizioni ottimali di valori per i costituenti di materia ed energia oscura. Tuttavia, tra le tre relazioni, cioè al variare di k, una in particolare sarà quella che riprodurrà meglio i dati rispetto alle altre due. Ciò che si trova di fatto è che la relazione per k = 0 è la migliore. Questo ci mostra che effettivamente i dati seguono una geometria di tipo Euclideo, e non diversamente.

Per verificare che effettivamente ciò che abbiamo trovato corrisponde alla condizione di geometria Euclidea dello spazio-tempo, dobbiamo ricostruire il valore del budget energetico totale Ω_tot a partire dai due contributi, Ω_Λ e Ω_M.. Utilizzando i valori citati poco prima abbiamo che Ω_tot = Ω_Λ + Ω_M = 0.7 + 0.3 = 1. Questo ci dice che il valore del budget totale è praticamente pari a quello dato dalla densità critica di energia dell’Universo, che abbiamo già introdotto nella prima parte. L’unica geometria possibile per questo caso è proprio quella Euclidea.

La seconda domanda che ci siamo posti è se questa geometria dello spazio-tempo può essere soggetta a cambiamento. Di fatto ciò non è possibile, perchè la geometria è determinata dalle condizioni iniziali dell’Universo, cioè dalla quantità di materia generata con la sua nascita e dal valore della densità di energia oscura, la quale è una costante al passare del tempo.

In un prossimo articolo vedremo di introdurre e studiare un modello cosmologico differente da quello standard, detto modello cosmologico con legge di potenza, che riesce a riprodurre i dati delle SNe Tipo Ia in modo altrettanto soddisfacente e senza la necessità di introdurre materia ed energia oscura per spiegare l’espansione accelerata!