Com’è dura fuggire da una nana rossa!

Le nane rosse sono le stelle più diffuse nel cosmo, ed è ovvio che si cerchino forme di vita intorno ad esse. Rispetto al Sole, però, sono poco luminose e fredde; ne consegue che loro zona abitabile è molto più vicina a loro di quella solare, con conseguenze non banali…

Sono anni che gli scienziati studiano le stelle a noi più prossime per scorgere eventuali pianeti in orbita. Oltre a raccogliere informazioni utili a capire la formazione del nostro sistema solare e la sua evoluzione, la speranza più intima di questo studio è quella di trovare forme di vita. Per aumentare le chances di successo l’attenzione si concentra sui pianeti la cui orbita è all’interno della cosiddetta “zona abitabile”. Tale zona è costituita da una manciata di orbite possibili ove il pianeta potrebbe mantenere acqua allo stato liquido. Ovviamente, questa zona è strettamente legata alla luminosità della stella (che è in relazione alla sua temperatura superficiale), e quindi stelle piccole e poco luminose avranno zone abitabili più prossime alla loro superficie di quelle grandi e luminose.

Un’immagine di Proxima Centauri (nana rossa) ripresa da Hubble.

Dato che il concetto di “zona abitabile” dipende da una serie di variabili, per comodità useremo la distanza della Terra dal Sole (unità astronomica, UA) come modello, e su questa effettueremo un paio di calcoli.

Visto che l’intensità della luce varia in relazione inversa rispetto al quadrato della distanza dalla fonte (a parità di superficie illuminata, ad una distanza doppia corrisponde un quarto dell’intensità iniziale, a distanza tripla un nono, e così via) si può ricavare la seguente formula: (1)

 

dove d(UA) è la distanza in unità astronomiche dal centro di massa, LS  è la luminosità dell’astro e L è la luminosità del Sole.

Quindi, per una stella con luminosità complessiva pari ad un quarto di quella solare si avranno condizioni simili a quelle terrestri intorno alle 0,5 UA, mentre per una stella luminosa il doppio le avremo intorno alle 1,4 UA.

Schema di variazione della zona abitabile in relazione alla luminosità della stella

A sua volta, la luminosità è in relazione alla massa dell’astro (la quale influenza anche la modalità di trasferimento dell’energia dal core alla superficie). Mediamente, per una stella in condizioni di equilibrio (cioè nella sequenza principale) si ricava empiricamente la seguente formula: (2)

dove LS è la luminosità dell’astro, L è la luminosità del Sole, MS è la massa della stella, M è la massa del Sole e n è un numero che varia a seconda della classificazione della stella, la cui media più meno vale 3,5.

Nel caso specifico, per un astro di massa pari a quella di una nana rossa (tra 0,08 e 0,4 M) la formula diventa: (3)

Conti alla mano, la luminosità delle nane rosse è all’incirca tra 0,0007 (7 decimillesimi) e 0,028 (circa 3 millesimi) luminosità solari, il che comporta uno scivolamento della zona “terrestre” tra 0,026 e 0,17 UA.

Per darvi un’idea, il semiasse maggiore dell’orbita di Mercurio è di 0,387 UA.

 

E qui, il dato si fa interessante. Supponiamo di voler esplorare lo spazio intorno a noi. Per poterlo fare, dovremo uguagliare ed eventualmente superare la cosiddetta velocità di fuga, ovvero imprimere alla nostra astronave una velocità sufficiente a lasciare la superficie del pianeta per sempre.

Come la calcoliamo, questa velocità?

Bene, l’energia di un corpo nello spazio è data dalla somma di energia potenziale gravitazionale e energia cinetica. Per il principio di conservazione dell’energia, l’energia che il corpo possiede inizialmente dovrà essere pari alla sua energia finale.

Quindi, consideriamo due istanti: la partenza del razzo dal pianeta con una velocità pari alla velocità di fuga ed un momento in cui sarà ad una distanza infinita da esso e con una velocità pari a zero.

Possiamo scrivere questa formula: (4)

Eci+Epi=Ecf+Epf

dove Ec e Ep sono rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale posseduta da un oggetto (nel nostro caso il razzo) agli istanti i (iniziale) e f (finale).

Utilizzando le formule canoniche per ricavare il valore dell’energia a quei rispettivi istanti otterremo: (5)

 

ove m è la massa del razzo, V è la sua velocità agli istanti i e f, M la massa del corpo celeste (in questo caso il pianeta) ed R la distanza tra i centri di massa dei due corpi agli istanti i e f.

Ora, poiché abbiamo supposto che all’istante finale la velocità sia pari a zero e la distanza infinita, sia l’energia cinetica che quella potenziale all’istante finale saranno pari a zero. La velocità iniziale, invece, sarà pari alla velocità di fuga, e l’energia potenziale gravitazionale la ricaveremo a livello del suolo (di fatto, il raggio del pianeta).

Possiamo perciò scrivere: (6)

E, con un po’ di passaggi, arriveremo al seguente risultato: (7)

Questo ci dice due cose sulla velocità di fuga:

1) non dipende dalla massa del mezzo che se ne va (il razzo);

2) essa, invece, dipende dalla massa del corpo principale e dalla distanza dal suo centro di massa.

Per un pianeta con caratteristiche identiche a quelle della Terra (massa = 5,9726 × 1024 kg, raggio = 6,372797 × 106 m), parliamo di una velocità pari a circa 11 km/s.

E se volessimo allontanarci dalla superficie solare? Facile, basta inserire i valori di massa (1,9891 × 1030 kg) e di raggio medio (6,9548 × 108 m) nella formula (7) e otteniamo circa 618 km/s.

Bene, ma se volessimo esplorare il sistema solare? Semplice, dobbiamo raggiungere la velocità di fuga dal Sole alla distanza in cui ci troviamo (1 UA). Quindi, sostituendo nella (7) a Rp la distanza a cui ci troviamo dal centro di massa del Sole, ricaviamo una velocità pari a circa 42 km/s.

Facciamo adesso la stessa operazione per un pianeta come la Terra in orbita attorno ad una nana rossa e con la stessa luminosità percepita da Terra.

Troviamo che, per una nana rossa al limite inferiore (0,08 M, a cui corrisponde una distanza di 0,026 UA), dobbiamo raggiungere circa 74 km/s, mentre per una nana rossa all’altro estremo (0,4 M, a cui corrisponde una distanza di 0,17 UA) corrisponde una velocità di fuga pari a più o meno 65 km/s.

Niente male. Tra 1,8 e 1,5 volte maggiore di quella che serve a noi. E qui viene il bello…

Eh sì, perché qui entra in gioco il COME trasportiamo della massa in orbita terrestre o solare.

Se utilizziamo i razzi a combustione, la velocità finale raggiunta del razzo dipende dal principio di azione e reazione: maggiore è la massa al secondo che se ne va dal razzo ad una certa velocità, e maggiore è la spinta che si ricava in senso opposto alla direzione di uscita.

Schema propulsione a razzo con propellente a gas caldo.

Per motivi pratici, la massima velocità raggiungibile dai gas di propulsione (Ve, velocità efficiente) per i sistemi di propulsione a gas caldo convenzionali (non nucleari) è pari a circa 2,5 km/s. Quindi, la gran parte della velocità raggiungibile da un razzo è data dalla massa che riusciamo a far espellere e dal tempo in cui manteniamo viva la propulsione.

Con una serie di calcoli (utilizzando la cosiddetta equazione del razzo di Ciolkovskij: vi risparmio come si ricava, potete trovarlo QUI e QUI), si può dimostrare che, in assenza di resistenza aerea e trascurando la gravità, la velocità finale di un razzo monostadio inizialmente a riposo è data dalla seguente formula: (8)

Dove V è la velocità finale, Ve (come già detto) la massima velocità raggiungibile dei gas di scarico, mi è la massa iniziale del razzo alla partenza (carburante + carico utile) e mf è la massa finale (data dal carico utile, cioè de quello che vogliamo rimanga in orbita).  Una relazione esponenziale lega dunque la velocità al rapporto tra massa iniziale e massa utile.

Mettiamoci dunque a fare un paio di conti, e vediamo quanto carburante serve in teoria per portare un carico utile di 1 ton con razzo monostadio alla velocità di fuga nei diversi casi, considerando di utilizzare la massima velocità efficiente (2,5 km/s):

velocità di fuga da Terra: 11 km/s  —>  88 tonnellate

velocità di fuga dal Sole a 1 UA: 42 km/s   —>  2,09 x 107 tonnellate (quasi 21 milioni di ton)

velocità di fuga da una nana rossa a 0,17 UA: 65 km/s   —>  1,7 x 1011 tonnellate (170 miliardi di ton)

velocità di fuga da una nana rossa a 0,026 UA: 74 km/s   —>  7,0 x 1012 tonnellate (7 mila miliardi di ton)

Costruire razzi così poderosi pone senz’altro grossi problemi costruttivi e di costi, il che probabilmente rende impossibile e/o non economicamente sostenibile l’esplorazione del sistema solare di una nana rossa.

Fastidi che a noi, fortunatamente, sono risparmiati (almeno in gran parte).

 

Articoli di riferimento QUI e QUI.

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Red Hanuman è nato poco tempo prima che l'uomo mettesse piede sulla Luna, e cresciuto a pane e fantascienza. Poteva non sentire il richiamo delle stelle? Chimico per formazione e biologo autodidatta per necessità, ha da sempre desiderato essere un astrofisico per vocazione e diletto, ma non ha potuto coronare il suo sogno. Attualmente, lavora nel settore ambiente. Da pochi anni studia il violino. Perché continua ad usare un nickname? Perché la realtà non può essere richiusa in un nome, e perché πάντα ῥεῖ ὡς ποταμός : tutto scorre come un fiume. Ma, soprattutto, perché Red Hanuman è chiunque coltiva in sé un desiderio di conoscenza ...

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