Un cono di luce casalingo

In questa prima parte vorrei descrivere lo spazio-tempo che ci circonda, come si può facilmente rappresentarlo e come possa portare automaticamente alla definizione di cono di luce. Concetti essenziali per capire come mai vediamo nello stesso momento la luce di stelle  inviata in epoche completamente diverse. Insomma, capire veramente bene il “mix” di spazio e tempo che ci offre il Cielo, con o senza telescopi e oculari.

Inizio con uno spazio-tempo vicino a noi, legato ad azioni quotidiane. Posso, quindi, permettermi di  trascurare alcune situazioni che nella seconda parte dovranno, invece, fare la loro comparsa. La semplificazione più importante (ma più che accettabile per il teatro della nostra avventura) è l’espansione dello spazio e -a maggior ragione- le deformazioni dello stesso a causa delle masse. Gli oggetti celesti mantengono, perciò, la stessa distanza tra di loro e lo spazio è immutabile. Li consideriamo fermi, ossia senza alcun movimento proprio: si muovono solo nella direzione del tempo (nascono, crescono, invecchiano e si trasformano).

Per adesso, però, non occupiamoci di stelle, ma solo di scolari che alla mattina devono andare a scuola.

Lo spazio-tempo in un paese di montagna.

L’inizio delle lezioni è fissato per le ore 9. Siamo in un piccolo paese e anche la scuola è piccola e non ha luoghi riparati dove poter aspettare il primo suono della campanella.  E’, inoltre, un luogo di montagna, molto freddo: aspettare all’esterno è decisamente sconsigliato. E’ stato, perciò, espressamente chiesto ai genitori di fare arrivare gli scolari all’ora esatta di apertura, alle 9 in punto, non un secondo prima e nemmeno uno dopo. Il custode è sulla porta della scuola a controllare l’arrivo degli scolari.

Come dicevo, il paese è piccolo e non ci sono mezzi pubblici. Fortunatamente, non vi sono nemmeno pericoli e gli scolari possono benissimo recarsi a scuola a piedi. Ovviamente, però, c’è che abita vicino alla scuola e chi abita molto più lontano. Per potere arrivare tutti assieme all’ora esatta i vari scolari devono partire da casa a orari diversi. La montagna, però, insegna a camminare e a usare un passo cadenzato e costante. Ne segue che tutti gli  scolari camminano alla stessa velocità. Ossia, percorrono la stessa distanza nello stesso intervallo di tempo. In particolare, tutti gli scolari percorrono dieci metri in un minuto. Una velocità bassa, ma almeno non sudano e il vento freddo che scende dalle vette imbiancate non gli causa mal di gola o raffreddore.

La Fig. 1 ci mostra il villaggio. Ho messo in evidenza quattro scolari (A, B, C, D) che devono recarsi alla scuola S. A abita a 400 metri dalla scuola, B a 100 metri, C a 200 metri e D, il più fortunato, a 50 metri. Dato che la velocità di ognuno è 10 metri al minuto, A impiega 40 minuti per arrivare a scuola, B ne impiega 10, C 20 e D soltanto 5 minuti (può dormire più a lungo di tutti).

In Fig.2  ripetiamo la stessa figura di prima, aggiungendo alla distanza tra case e scuola, anche il tempo che gli scolari devono impiegare per coprire il percorso da compiere. La domanda è allora: “Sappiamo il tempo necessario per arrivare a scuola e sappiamo che tutti e quattro devono arrivarci alle 9 esatte. A che ora ogni scolaro deve uscire da casa per essere sicuro che con il suo passo cadenzato e preciso (la velocità costante) raggiunga la scuola all’ora giusta?”

La risposta è veramente banale e qualsiasi bambino delle elementari è capace di rispondere. A sa che deve camminare per 40 minuti, per cui deve uscire da casa alle ore 9 meno 40 minuti, ossia alle 8 e 20. Analogamente, B deve partire alle 8 e 50, C alle 8 e 40 e D (non commentiamo più la sua fortuna) alle 8 e 55. Scriviamo anche questi orari vicini alle case della Fig. 1 e 2 e otteniamo la Fig. 3.

A questo punto, abbiamo in mano tutti i dati per descriver percorso e tempi necessari. Tuttavia, nella figura vi sono troppi numeri, alcuni legati allo spazio da percorrere e altri legati al tempo che passa. Si può fare confusione.

Facciamo allora finta che il paese in cui si muovono gli scolari sia il piano in cui ho disegnato le case e la scuola. “Schiacciamo” tutto su questo piano. Immaginiamo, in altre parole, che le abitazioni, la scuola e gli scolari non abbiano altezza. Le case e la scuola si riducono a dei rettangoli e gli scolari a dei cerchietti. In altre parole, è come se vedessimo tutto da grande altezza, appiattito, o come se il paese fosse dipinto su un quadro.

Perché lo facciamo? Per disegnare anche il tempo. Al posto delle altezze mettiamo il tempo che scorre andando verso l’alto, come indicato nella Fig. 4.

Il paese, le sue abitazioni e la scuola vengono rappresentati in Fig. 5. Avendo un asse del tempo, possiamo benissimo eliminare gli orari di partenza e di arrivo e il tempo necessario ad arrivare a scuola. Questi numeri li possiamo leggere direttamente nel nuovo tipo di figura, proprio lungo l’asse del tempo.

Prima di andare avanti nel discorso, riflettiamo un momento su ciò che già comporta questa semplice e utilissima rappresentazione. Lo spazio, ossia il piano in cui ho disegnato il paese, le sue case e abitanti, è relativo solo e soltanto a un tempo t ben determinato. Un minuto (ma anche un secondo o una frazione di secondo) dopo, il paese è già diverso da prima. Le case hanno magari una piccola fessura in più. Gli abitanti sono impercettibilmente più vecchi e si sono spostati, la neve caduta è leggermente superiore, e via dicendo.

L’intero paese è cambiato, anche se a prima vista non si nota. Che cosa voglio dire? Che lo spazio cambia costantemente con il tempo. A ogni secondo (o frazione di secondo) dovrei rappresentare un nuovo spazio. Ciò vuole anche dire che mentre lo scolaro si muove dalla sua casa verso la scuola non percorre soltanto una distanza nello spazio, ma descrive una traiettoria spazio temporale. Ossia si muove nello spazio e nel tempo.

Abbiamo definito una traiettoria spazio-temporale! Ed è quella che fa ciascuno di noi quando cammina, ma anche quando sta fermo. Nell’ultimo caso, non si è mosso nello spazio, ma è lo spazio a essersi mosso, cambiando continuamente al variare del tempo. L’utilizzo delle Figura 4 o 5 ci permette di disegnare questa traiettoria spazio-temporale, come possiamo vedere nella Fig. 6, relativa al percorso fatto dallo scolaro che abita nella casa A.

Alle ore 8 e 20 minuti la casa di A è il rettangolino rosso scuro e la scuola S il rettangolino azzurro chiaro. Entrambe stanno nello stesso spazio, quello relativo al tempo 8 ore e 20 minuti. In questo spazio la distanza da percorrere tra casa e scuola è sA. Questa distanza non cambia al passare del tempo, dato che sia la casa A che la scuola S non si muovono. Infatti, al tempo 9 ore e 0 minuti la casa si viene a trovare in A’ (rettangolino rosa chiaro), mentre la scuola S si è spostata in S’ (rettangolino blu scuro). La loro distanza, nel nuovo spazio relativo al tempo 9 ore e 0 minuti, non è assolutamente cambiata.

Quali sono stati esattamente i loro spostamenti nello spazio-tempo? Facile a dirsi: le traiettorie AA’ e SS’, parallele tra loro e all’asse del tempo. Non essendosi mosse nello spazio hanno viaggiato solo nel tempo. La distanza è la stessa, ma il tempo è passato comunque. Entrambe avranno sul tetto un po’ più di neve, un vetro si sarà sporcato, il vento avrà fatto cadere una tegola, e cose del genere.

Possiamo perciò dire senza paura che sia la casa che la scuola si sono spostate nello spazio-tempo, ma di un movimento spaziale uguale a zero e di un intervallo di tempo uguale a 9 ore e 0 minuti meno 8 ore e 20 minuti, ossi a 40 minuti. La velocità, che si misura in spazio diviso per il tempo, è quindi data da zero metri divisi per 40 minuti. Abbiamo zero al numeratore e quindi anche il risultato della divisione è zero, quindi la loro velocità è zero. Come volevasi dimostrare: non si sono mosse.

Ben diversa è la situazione dello scolaro che in quei quaranta minuti percorre lo spazio che va da A a S. Ad ogni istante, lui si trova in uno spazio diverso (questo succede anche alle case e alla scuola) ma anche in una posizione diversa rispetto al tempo precedente. Ad ogni istante si avvicina sempre di più alla scuola e si allontana sempre più da casa. La sua traiettoria spazio temporale è il segmento AS’.

Cerchiamo di comprender bene la situazione. AS’ non può misurarsi in metri o in minuti, dato che è una traiettoria che avviene sia nello spazio che nel tempo. Infatti, lo spazio percorso dallo scolare è comunque solo e soltanto sA. Questa traiettoria, che esiste solo in un grafico che non riusciamo a vedere praticamente, ma che rappresenta veramente la realtà dell’Universo, indica molto bene la velocità con cui si è mosso lo scolaro. L’angolo che la traiettoria AS’ fa con l’asse del tempo indica proprio di quanto lo scolaro si sposta nell’unità di tempo. Se quest’angolo diventa più piccolo vuol dire che lo scolaro va più piano: nello stesso intervallo di tempo percorre uno spazio minore. Se, invece, l’angolo si allarga vuol dire che lo scolaro va di corsa, percorrendo, sempre nella stesso intervallo di tempo, uno spazio ben maggiore.

Se, infatti, facessi partire da casa tutti e quattro gli scolari alla stessa ora (per esempio alle 8 e 20) vedrei che la traiettoria BS’, CS’ e, a maggior ragione, DS’ formerebbero angoli diversi con l’asse del tempo (ossia con SS’). Tutti sarebbero più “acuti” rispetto a quello di AS’, dato che tutte e tre le case sono più vicine alla scuola. In particolare, l’angolo di DS’ sarebbe estremamente piccolo, ossia lo scolaro di D andrebbe veramente al rallentatore! Questa figura la lascio disegnare a voi per vedere se avete compreso bene il concetto.

Il cono di luce della scuola.

A noi interessa, invece, ciò che capita se gli scolari hanno voglia di dormire il più a lungo possibile, ossia se vogliono muoversi all’ora giusta per arrivare puntuali a scuola, andando tutti alla stessa velocità. Questa situazione la vediamo nella Fig. 7.

Cosa succede esattamente? Ve la descrivo passo dopo passo. Iniziamo con lo scolaro di A. La sua traiettoria spazio-temporale la conosciamo già: è data da AS’. Lui è partito alle 8 e 20 ed è arrivato esattamente a scuola alle 9. Lo scolaro di B, invece, impiega solo 10 minuti per raggiungere la scuola e allora può stare tranquillamente a casa (magari anche a dormire) fino alle 8 e 50, ossia fino al punto B’. Poi esce e raggiunge la scuola in dieci minuti, arrivando anche lui esattamente alle 9. Qual è stata la sua traiettoria spazio temporale dalle 8 e 20 fino alle 9? Facile a vedersi nella figura. Dalle 8 e 20 fino alle 8 e 50 é stata una traiettoria solo temporale, avendo seguito esattamente quella della sua casa (BB’). Poi, dalle 8 e 50 alle 9 ha percorso il segmento spazio-temporale B’S’. L’angolo tra B’S’ e l’asse del tempo è uguale a quello formato da AS’, dato che entrambi gli scolari vanno alla stessa velocità.

Analogo discorso vale per C. Esso descrive il tratto da C a C’ e poi il segmento C’S’, che (devo ancora ripeterlo?) forma un angolo con l’asse del tempo uguale a quello delle traiettorie precedenti. Infine, D se ne sta tranquillo fino a D’ e poi percorre la breve traiettoria D’S’. Notate, ancora una volta, che lo spazio percorso dai quattro scolari è quello che è, come nel caso della Fig. 1. Anche il tempo è passato ugualmente per tutti e quattro. E cambiata, invece, la traiettoria spazio-temporale.

Mettiamoci, adesso, nei panni del custode della scuola che aspetta sulla porta con l’orologio in mano. Lui non si è mai mosso e ha seguito la traiettoria della scuola da S a S’. Ormai conosce bene gli scolari e non si meraviglia di certo di vederli arrivare, contemporaneamente, all’ora esatta. Li vede arrivare tutti assieme, anche se provenendo da direzioni diverse. Il custode non abita, però, in paese e non conosce le abitazioni dei ragazzi. Per lui sono soltanto scolari puntuali.

Li vede arrivare nello stesso momento ma non può sapere a che ora sono partiti e che distanza hanno dovuto percorrere.

Vi rendete conto di quello che ho appena detto? Una frase fondamentale per chi osserva il Cielo notturno. Analogamente al custode della scuola, anche il nostro osservatore vede contemporaneamente centinaia di oggetti luminosi senza poter sapere quando è partita la loro luce e quale traiettoria spazio-temporale ha dovuto percorre. Di conseguenza, non sa nemmeno quanto distanti sono da lui. Possono essere come D che abita vicinissimo a scuola o come A che ha una casa molto lontana.

La visione delle stelle non ci permette di sapere se sono vicine o se sono lontane. Nemmeno possiamo sapere se la loro luce è partita migliaia di anni prima o solo da pochi anni. Di fronte all’Universo siamo esattamente come il custode della scuola: vediamo soltanto la luce di oggetti celesti che arriva puntualmente a scuola, ossia al nostro occhio, nello stesso istante preciso, ad esempio OGGI. Da dove è partita e per quanto ha viaggiato rimane un mistero (che gli astronomi hanno però risolto). In altre parole, possiamo vedere stelle lontane e antiche (rispetto a noi) o stelle giovani e vicine, tutte nello stesso istante.

A titolo di esempio, vediamo contemporaneamente sia la luce della Luna che è partita solo poco più di un secondo prima sia quella di una stella che è partita migliaia di anni fa. Proprio un “mix” fantastico di spazio e di tempo, come volevasi dimostrare.

Vale la pena fare l’ultimo piccolo passo e definire il cono di luce della scuola e di conseguenza quello della nostra Terra o di qualsiasi altro oggetto celeste.

Finora abbiamo parlato di scolari che si recano a scuola. Immaginiamo, però, che la tormenta di neve sia proprio terribile. Il custode è riuscito ad arrivare a scuola, ma lo stesso non possono fare gli scolari. Tuttavia, il custode è una persona gentile e sensibile. Non riesce a stare tranquillo e ha chiesto un particolare favore a tutti gli scolari: all’ora esatta in cui avrebbero dovuto partire da casa devono accendere una luce molto intensa. Vedere le luci gli darebbe la garanzia che i ragazzi non siano dispersi nella bufera, ma siano al caldo delle loro case.

Purtroppo, questo stratagemma non funziona molto bene. Perché? Beh la luce delle lampadine non viaggia alla velocità degli scolari. E’ molto più veloce. Invece di dieci metri al minuto percorre ben trecentomila chilometri al secondo.

Si devono perciò rifare tutti i calcoli per sapere esattamente quando accendere le luci tenendo conto della distanza dalla scuola. Ovviamente, trattandosi di un paese che si estende per poche centinaia di metri, sarà sufficiente che accendano tutti e quattro la luce alle 9. Il custode le vedrà praticamente tutte assieme anche se in direzioni diverse. La luce percorre, infatti, le varie distanze in frazioni infinitesime di un secondo, come riporta la Fig. 8.

La sola differenza rispetto alla figura 7 è che i tempi di accensione differirebbero teoricamente tra loro solo di frazioni impercettibili di un secondo. Immaginiamo, quindi, che l’ultima figura abbia un asse del tempo che copra molto meno di un secondo, ossia sia dilatato in modo enorme. Facendo un po’ di calcoli si riuscirebbe comunque a disegnare la figura esatta.

Le traiettorie spazio-temporali, indicate, come al solito, dai segmenti rossi, sono adesso relative alla luce delle lampadine. Anch’essa ha una velocità costante (i famosi 300 000 km/sec) e quindi l’angolo tra esse e l’asse del tempo deve rimanere uguale, anche se adesso, nella scala della Fig. 7, sarebbe enormemente più grande (maggiore spazio percorso nell’unità di tempo).

Le varie linee rosse, facendo lo stesso angolo con SS’, descrivono una superficie conica (il cono è proprio descritto dall’insieme delle rette che formano un angolo costante rispetto a una retta fissa). Questo cono prende il nome di cono di luce e rappresenta proprio la direzione della luce inviata da punti diversi nello spazio e nel tempo che giunge in un certo momento all’osservatore.

Quello della figura è il cono di luce della scuola o  -se preferite- del suo custode. Dato che è un cono diretto verso il passato (è descritto dalle direzioni della luce che proviene dal tempo passato) rappresenta solo la parte relativa al passato. Vedremo, la prossima volta, cosa rappresenta la sua parte proiettata verso il futuro.

Se per la scuola e le abitazioni la luce che arriva alle 9 può essere tranquillamente inviata anche alle 9, dato che la luce percorre le distanze del paese in un tempo ridicolo, lo stesso non è più vero se invece di luci accese nelle case si considerano le luci delle stelle e delle galassie che distano migliaia, milioni o miliardi di miliardi di chilometri. Per loro il tempo può essere di anni, di milioni di anni e anche di miliardi di anni prima che riescano a raggiungere il custode.

Tuttavia, il cono di luce è sempre lo stesso, sia a piccole dimensioni che a dimensioni spaventosamente più grandi. Basta allungare le traiettorie spazio-temporali che confluiscono verso il custode. Se non ci fosse neve e non fosse giorno, lui vedrebbe contemporaneamente sia la luce delle lampadine che quella di stelle che hanno inviato la loro luce migliaia o milioni o miliardi di anni prima (negli ultimi casi dovrebbe però avere un telescopio molto potente!).

La Fig. 9 rappresenta, infine, il cono di luce applicato alle stelle e all’Universo nel suo insieme. Al posto del custode e della scuola inserisco tranquillamente la Terra T che posso considerare ferma rispetto alle stelle così lontane. Il custode, la scuola, il villaggio, coincidono con l’intera Terra, a questa scala.

Ogni stella (A, B, C, D) percorre la sua traiettoria temporale lungo le linee verdi, parallelamente a quella della Terra e dell’asse del tempo. Il cono di luce passato della Terra è il cono di color giallo-bruno. Ovviamente le stelle emettono luce continuamente, ma quella che riceviamo sulla Terra all’istante OGGI è solo quella che è partita dalle stelle nelle posizioni A’, B’, C’ e D’ (ai tempi tA’, tB’, tC’ e tD’) e che percorre le linee rosse che giacciono sul cono di luce della Terra relativo all’istante OGGI. Esattamente come capitava per gli scolari e la scuola. Ieri o domani il cono di luce era o sarà diverso, dato che la Terra T si sposta lungo l’asse del tempo. In altre parole, ieri e domani ha ricevuto o riceverà la luce delle stelle inviate in tempi diversi da quelli di oggi.

Per concludere: il cono di luce rappresenta tutto l’Universo che riusciamo a vedere in un certo istante. Non ditemi che l’Universo sembra stare tutto su una circonferenza (quella dell’intersezione del cono con uno spazio qualsiasi)! Ciò capita perché abbiamo considerato lo spazio schiacciato su un piano. Se potessimo disegnare lo spazio a tre dimensioni e aggiungere nella figura anche la quarta dimensione (il tempo), la circonferenza diventerebbe una sfera, proprio la sfera celeste che tutti conoscete molto bene e che vi mostra tutte le stelle visibili in un certo momento, senza però sapere quanto siano lontane e quanto siano vecchie.

Tanto per prendere dimestichezza con le traiettorie tipiche dell’Universo, le linee verdi delle stelle, parallele tra loro, vengono chiamate linee di Universo e rappresentano le traiettorie temporali degli oggetti celesti che non si muovono nello spazio, rimanendo sempre immobili. Chi viaggia, anche  nello spazio, è solo la loro luce (con le ipotesi fatte all’inizio).

Tuttavia, le linee sono parallele tra loro solo perché non ho considerato l’espansione dello spazio. Lo vedremo alla prossima puntata…

Ribadisco che questo non è l’inizio di un nuovo libro di divulgazione elementare dell’astrofisica. Quello (quelli) ci sono già. E’ solo un aiuto per permettere ai veri appassionati di aiutarmi nel  trasmettere concetti, solo apparentemente difficili, ai figli, ai nipoti, agli amici. Un piccolo regalo per chi ha già le giuste nozioni di base o se le è costruite con fatica e volontà. Spero che, nel frattempo, invogli anche altri a seguire il loro esempio. Di più non posso fare.

Alla prossima.